4.5順序統計量

順序統計量

　　在一組隨機樣本中, 有時候最大值、最小值或中間值, 是我們較有興趣的。例如, 過去五十年最大降雨量, 幾次跑步最短的時間, 台北市房價的中間值等, 這些都涉及順序統計量。
　

定義 1.設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為一組隨機樣本, 按照小至大排出, 而得 $X_{(1)}, \cdots , \linebreak X_{(n)}$ , 便稱順序統計量。

　　順序統計量滿足 $X_{(1)} \leq \cdots \leq X_{(n)}$ 。特別地,

另外,

$\begin{displaymath}R=X_{(n)} -X_{(1)} \end{displaymath}$

稱為樣本全距, 或稱全距統計量, 表最大值與最小值之差距。譬如說班上身高最高與最矮的差距。如果樣本數是很清楚的, 則為了簡便, 也可僅以 $\min X, \max X$ 分別表 $X_{(1)}$ 及 $X_{(n)}$ 。又

表樣本中位數 。當為偶數時, 有些書對任意介於 $X_{(n/2)}$ 與 $X_{(n/2+1)}$ 間的值, 皆稱為樣本中位數。

　　在美國, 職業球隊裡, 例如職棒、職籃, 極少數的球員薪水(或收入)很高, 但大部分的球員薪水是很低的。報紙上, 有時會刊出某位球員與球隊簽下新的合約, 五年薪水一億美元。平均一年兩千萬美元, 尚不包括廣告等收入! 當球員抱怨薪水太低時, 老闆可能會想全隊平均年薪已有百萬美元了, 但球員會想有一半以上的球員年薪少於二十萬美元 (職業球員由於球齡短以及會因受傷而結束球員生涯, 所以薪水是較其他行業高)。這兩個觀點都是正確的, 只是一計算平均, 一計算中位數。當討論到收入、價格等含有一些較極端的值 (過高或過低), 中位數可能是一較合理的指標值。

　　若 $X_1, \cdots ,X_n$ 為一由連續型的母體所產生之隨機樣本, 則任二隨機變數 $X_i, X_j, i \neq j$ , 會相等的機率為 0, 因此 $P(X_{(1)}< \cdots < X_{(n)})=1$ 。下述定理給出任一順序統計量之分佈。

定理 1.設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為由連續分佈函數, 且p.d.f.為, 所產生之隨機樣本, $X_{(1)}, \cdots ,X_{(n)}$ 表其順序統計量。則 $X_{(j)}$ 之p.d.f.為

(5.1)

例 1. 設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為由 $\mathcal{U}(0,1)$ 分佈所產生隨機樣本。則 $X_{(j)}$ 有 $\mathcal{B}e(j, n-j+1)$ 分佈。

例 2. 設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為由分佈函數所產生之隨機樣本。求 $X_{(1)}$ 及 $X_{(1)}$ 之分佈。

　　例如, 若 $X_1, \cdots ,X_n$ 之共同分佈為 $\mathcal{E}(\lambda)$ , 則由(1.4)式, 即得 $X_{(1)}\sim \mathcal{E}(n\lambda)$ , 仍有指數分佈, 只是參數改為 $n\lambda$ 。此為一有趣的結果。

定理 2.設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為由連續分佈函數, 且 p.d.f.為, 所產生之隨機樣本, $X_{(1)}, \cdots ,X_{(n)}$ 表其順序統計量。則 $X_{(i)},X_{(j)}, 1 \leq i <j \leq n$ , 之聯合p.d.f.為

	(5.5)

　　上定理的證明我們略去了。三個或更多個順序統計量的聯合 p.d.f.亦可求出。如設整數 $1 \leq k_1<\cdots<k_r \leq n$ , 則 $X_{(k_1)}, \cdots ,X_{(k_r)}$ 之聯合p.d.f.為

$\displaystyle \hspace*{0.5cm} f_{X_{(k_1)}, \cdots, X_{(k_r)}} (y_{k_1}, \cdots , y_{k_r})$	(5.6)
$\displaystyle \hspace*{0.5cm} =\frac {n!}{(k_1-1)!(k_2-k_1-1)! \cdots (n-k_r)!} (F(y_{k_1}))^{k_1-1}$
$\displaystyle \hspace*{0.5cm} \qquad \cdot (F(y_{k_2})-F(y_{k_1}))^{k_2-k_1-1} \cdots (1-F(y_{k_r}))^{n-k_r} f(y_{k_1}) \cdots f(y_{k_r}),$
$\displaystyle \hspace*{0.5cm} \qquad -\infty < y_{k_1} <\cdots<y_{k_r}<\infty\raisebox{-1.2mm}{。}$

又 $X_{(1)}, \cdots ,X_{(n)}$ 之聯合p.d.f.為

$\displaystyle f_{X_{(1)}, \cdots ,X_{(n)}} (y_1, \cdots ,y_n)=n! f(y_1) \cdots f(y_n),$	(5.7)
$\displaystyle \quad -\infty<y_1 <\cdots <y_n <\infty \raisebox{-1.2mm}{。}$

　　在(5.7)式中, 的出現是很顯然的: 對任一組 $y_1<\cdots <y_n$ , 有組 $x_1, \cdots ,x_n$ , 其順序統計量均對應 $y_1, \cdots ,y_n$ 。

　　底下給幾個例子。

例 3. 設為由p.d.f., , 所產生之隨機樣本。試求 $X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}$ 之聯合p.d.f., $X_{(1)}$ 之邊際p.d.f.及 $X_{(1)}, X_{(3)}$ 之聯合p.d.f.。　

例 4. 設 $X_1, \cdots ,X_n$ 為由 $\mathcal{U}(0,1)$ 分佈所產生之隨機樣本。令全距 $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ , 半全距 $V=(X_{(1)}+X_{(n)})/2$ 。試求之聯合p.d.f., 邊際p.d.f., 及。

例 5. 某廠牌燈管宣稱可使用 $10,\!000$ 小時, 某辦公室最近安裝40支該廠牌的燈管, 才使用1個月便壞了一支。這是否合理呢? 至於5個月( $1,\!250$ 小時)內至少壞一支燈管的機率有多大呢？雖平均壽命為小時, 但至少有一燈管10年( $30,\!000$ 小時)後仍可使用的機率有多大呢?

　　底下我們來看一些關於順序統計量之極限結果。