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聯合及邊際分佈 

        到目前為止, 我們所討論的隨機變數, 都是所謂單變數,本章我們要引進多變數, 或說多維(或說多變量)隨機變數。

　　在進行一隨機試驗, 較少的時候才只觀測一隨機變數。 很少有說只收集一 個數據的。 例如, 做民調, 不會只調查一個人;要了解某地區之國民所得, 不會只取得一個人的所得。有時候我們要比較兩次考試的成績, 則對同一個學生便有兩個數據。身高與體重間之關係, 也是兩個變數。 這些例子,足以說明多維隨機變數也是我們必須熟悉的。

　　所謂維的隨機向量,為一由樣本空間映至維歐氏空間的函數。 有時會說維(或變數)的隨機變數。本章頭幾節, 我們主要討論的情況,的情況至第3.7節再介紹。

　　假設對, 有一二維的點與其對應, , 則便定義出一個二維的隨機向量。

例 1. 投擲一公正骰子兩次, 樣本空間給在第一章例 2.3, 共有36個元素。
對一樣本點, 表第一次出現,第二次出現。 現定義二隨機變數

例如, 若, 則。 而對, 亦有
。

　　定義出隨機向量, 我們便可以求經由所定義出的事件之機率。 這種事件, 當然都還是的一個子集合, 因此才能求出其機率。 例如, 我們可以問, 即且, 之機率為何? 即要求, 或是。 為了簡便, 我們常將後者寫成,即以逗號“ ,”表“且”。


　　不難驗證中, 使且的元素, 恰就是, 二樣本點。 由於每一樣本點之機率皆為。 故

另外,

表1.1  例1中之聯合p.d.f.及邊際p.d.f.


　　上例中的隨機向量為離散型, 因它所有可能的值是可數的(事實上為有限)。 對離散型的隨機向量, 令

稱為(或省略括號, 只寫)之聯合機率密度函數,或聯合p.d.f.。 有時為了強調是之聯合p.d.f.,也可寫成。 表1.1給出例1中之聯合p.d.f.。

　　如同單變數的情況, 由之聯合p.d.f., 可完全決定之機率分佈。 即對,

(1.1)

由於為一離散型的隨機向量, 只對可數個才不等於0。 所以即使包含不可數個點, 如上一長方形,(1.1)式的右側, 只會是一可數個的和。 例如,取。 這是中一半線, 有不可數個點。 但由表1知, 在中只有或才會使。 故

如預期的, 與例1中所得相同。 當求出之聯合p.d.f.後, 在求關於之機率時,通常會較回到樣本空間上(如例1的作法)去求容易。

　　對離散型的隨機向量, 其聯合p.d.f., 要滿足, 且存在一可數的集合, 使得

(1.2)

反之, 若為一由至的非負函數,且只有在一可數的集合才不 為0,並滿足(1.2)式,必為某一隨機向量之聯合p.d.f.。 如同單變數的情況,這種並不唯一。 不同的隨機向量, 可以有相同的聯合p.d.f.。

　　雖然在考慮隨機向量, 但有時會對其中某一變數有興趣。 例如, 我們可能想知道諸如之機率。 若為一隨機向量, 則分別為隨機變數。 對離散的情況, 令,, 分別稱為及之邊際機率密度函數, 或說邊際p.d.f.。 下述定理給出由聯合p.d.f.來求邊際p.d.f.的方法。

  定理 1.設有離散型隨機向量, 以為其聯合p.d.f.。 則 　　　

(1.3)

(1.4)

提示

　　如果取非負整數值, 則(1.3)式成為

如果取值在正偶數, 則

又, 須滿足

(1.5)

(1.6)

因只是對所有可能的值相加, 為了簡便, 常以

分別取代


例 2. 利用定理 1, 可求出例1中之邊際p.d.f.。　提示

 

由$(X,Y)$之聯合p.d.f., 除了知道關於$(X,Y)$之事件的機率, 也可知道僅關於$X$, 或僅關於$Y$之事件的機率。

　　再來我們考慮連續型的隨機向量。 一由$R^2$映至$R$的非負函數$f(x,y)$, 若滿足對 $\forall A \subset R^2$,

$\displaystyle P((X,Y)\in A)=\int\int_Af(x,y)dxdy,$
 (1.7)

便稱為連續型隨機向量$(X,Y)$之聯合p.d.f.。 至於$(X,Y)$之邊際p.d.f., 則定義為
$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy,-\infty < x < \infty,$
 (1.8)
$\displaystyle f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx,-\infty < y < \infty\raisebox{-1.2mm}{。}$
 (1.9)

　　反之, 任一二變數的非負函數$f(x,y)$, 若滿足
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1,$
 (1.10)

必為某一連續型的隨機向量$(X,Y)$之聯合p.d.f.。 如果(1.10)式中之$f(x,y)$ 只在一有限的區域, 例如長方形 $[a,b]\times[c,d]$, 其中$a < b,c < d$, 不為0, 則(1.10)式成為

\begin{eqnarray*} \int_c^d\int_a^bf(x,y)dxdy=1\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}

要注意的是, 有時候不同的聯合p.d.f., 會導致相同的邊際p.d.f.。 也就是有可能$(X,Y)$與$(U,V)$分佈不同, 但 $X \stackrel{d}{=} U$, $Y \stackrel{d}{=} V$。


例 3. 設$(X,Y)$之聯合p.d.f.為

\begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 24xy &, 0 \leq x \leq 1, 0 ... ... \\ 0 &, \mbox{其他}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{array} \right. \end{eqnarray*}

　　 驗證$f(x,y)$確為一p.d.f.，並計算$X$之值。　提示


例 4. 設$(X,Y)$之聯合p.d.f.為

\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-y}, 0<x<y<\infty\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}

求$P(X+Y\leq 1)$之值。 提示

　　隨機向量之聯合分佈函數的定義為：

$\displaystyle F(x,y)=P(X \leq x,Y \leq y)\raisebox{-1.2mm}{。}$
 (1.11)

　　對離散型的隨機向量, 聯合分佈函數常沒有簡單的型式, 應用上不是那麼方便。但對連續型的隨機向量, 如同單變數的情況, 若$(X,Y)$之聯合p.d.f.為$f(x,y)$, 則
$\displaystyle F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(u,v)dvdu\raisebox{-1.2mm}{。}$
 (1.12)

利用兩變數的微積分基本定理, 在每一$f(x,y)$之連續點$(x,y)$, 上式導致
$\displaystyle \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}=f(x,y)\raisebox{-1.2mm}{。}$
 (1.13)
最後對隨機向量$(X,Y)$, 令$g(x,y)$為一實值函數, 則$g(X, Y)$仍為一隨機變數。對離散型及連續型, $g(X, Y)$之期望值分別為

\begin{eqnarray*} E(g(X,Y))&=&\sum_{x,y}g(x,y)f(x,y), \\ E(g(X,Y))&=&\int_{-\in... ...fty \int_{-\infty}^\infty g(x, y)f(x,y)dxdy\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}

例 5. 承例3。求$E(X)$和$E(X)$之值。　　提示


例 6. 設$(X,Y)$之聯合p.d.f.為

\begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} c & ,0\leq y\leq x\leq 2,\cr 0 & ,\mbox{其他}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

試求(i) $c$之值, (ii) $P(X\geq Y+1)$, 及(iii) $P(X>x)$, $x \in R$。 提示

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 多維隨機變數。數理統計講義第三章。國立高雄大學應用數學系。

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