2.2連續型均勻分佈

連續型分佈

連續型在區間之均勻分佈, 以 $\mathcal{U}[a,b]$ 表之。設隨機變數有 $\mathcal{U}[a,b]$
分佈, 其中。則之p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{b-a}, x\in [a,b]\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.1)

分佈函數則為

$\begin{eqnarray*} F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ,x<a,\cr (x-a)/(b-a) & ,a\leq x\leq b,\cr 1 & ,x\geq b, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

圖3.1給出 $\mathcal{U}[a,b]$ 分佈之p.d.f., 及分佈函數之圖形。

$\begin{picture}(0,90)(140,5)\thicklines\put(-10,0){\vector(1,0){130}} %x \put(0,... ...,36){1} \put(201,0){\line(1,1){40}} \put(241,40.1){\line(1,0){40}} \end{picture}$

圖3.1 $\mathcal{U}[a,b]$ 分佈之p.d.f.及分佈函數之圖形

又

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{a}^{b} \frac {x}{b-a} dx=\frac {b+a}{2}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Var}(X) &=& \int_{a}^{b} \frac {x^2}{b-a} dx-(\frac {b+a... ...frac {(b+a)^2}{4}\\ &=& \frac {(b-a)^2}{12}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(s)=E(e^{-sX})=\int_a^b e^{-sx} \frac {1}{b-a} dx =\left \... ...-a)} & ,s> 0,\cr 1 & ,s=0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

通常自一有限的區間隨機地取一點, 所得的點便有 $\mathcal{U}[a,b]$ 分佈。但不可以是無限的區間。

對一實數上的集合, 令

則稱為之指示函數。若採用此符號, $\mathcal{U}[a,b]$ 之p.d.f.可寫成 $\frac {1}{b-a} I_{[a,b]}(x)$ 。

Gamma 分佈

隨機變數, 若其p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}, x>0,$

(3.2)

其中 $\alpha,\beta>0$ 為二正數, 便稱為有參數 $\alpha,\beta$ 之gamma分佈(gamma distribution), 以 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 表之, 此gamma函數(gamma function)之定義為

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt, \alpha>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.3)

Gamma函數有不少性質。例如,

$\displaystyle \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha), \alpha>0,$	(3.4)
$\displaystyle \Gamma(1)=1,$	(3.5)
$\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)!, n\mbox{為正整數}\raisebox{-1.2mm}{.}$	(3.6)

如何驗證(3.2)式的確定義出一p.d.f.呢? 首先由(3.3)式, 立即得知

$\displaystyle g(t)=\frac {t^{\alpha-1}e^{-t}}{\Gamma(\alpha)}, t>0,$

(3.7)

對每一 $\alpha>0$ 皆為一p.d.f.。經由變數代換, 假設隨機變數, 具有如(3.7)式
之p.d.f., 令 $X=\beta T$ , 其中 $\beta>0$ , 則得之p.d.f.如(3.2)式所給。

由 $\int_{0}^{\infty} f(x)dx=1$ , 我們亦得下述公式:

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x/\beta} dx=\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}, \alpha,\beta>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.8)

圖3.2 Gamma 分佈p.d.f.之圖形, 1,2,3,4分別對應
$\alpha=0.5$ , 1, 1.5, 2, $\beta$ 則皆為2

Gamma分佈之動差極易求出。對 ,

$\begin{eqnarray*} E(X^k) &=& \int_{0}^{\infty} x^k f(x) dx \\ &=& \int_{0}^{\in... ...{-y} dy\\ &=& \frac {\beta^k \Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha)}, \end{eqnarray*}$

此處用到積分的變數代換, 令 $y=x/\beta$ , 以及因 $\alpha+k>0$ , 故由(3.3)式得

其實不須為整數。可看出只要實數 $k>-\alpha$ , 便有

$\displaystyle E(X^k)=\frac {\beta^k\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha)}=(\alpha+k-1)\cdots (\alpha+1)\alpha\beta^k\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.9)

由(3.9)式得

$\begin{eqnarray*} E(X)=\alpha\beta,\quad E(X^2)=\alpha(\alpha+1)\beta^2, \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray*} \mbox{Var}(X)=\alpha\beta^2\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

又

$\begin{eqnarray*} \phi(s)&=& E(e^{-sX})=\int_{0}^{\infty} e^{-sx}f(x) dx \\ &=&... ...a}=\frac {1}{(1+\beta s )^{\alpha}}, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

註 1 有些書的gamma分佈, 其p.d.f.寫成

$\displaystyle h(x)=\frac {\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, x>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.10)

由於 $\alpha,\beta$ 只是參數, 本質上此二形式並無差異, 只是此時期望值及變異數分別要改成 $\alpha/\beta$ , 及 $\alpha/\beta^2$ , 而拉普拉斯轉換成為

$\begin{eqnarray*} \frac {\beta^{\alpha}}{(\beta+s)^{\alpha}}, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

Gamma分佈與波松分佈之間, 有一有趣的關係。

例 1. 設有 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 分佈, 且 $\alpha$ 為一正整數。則

$\displaystyle P(X\leq x)=P(Y\geq \alpha), x>0,$

(3.11)

其中有 $\mathcal{P}(x/\beta)$ 分佈。上式之另一表示法為

$\displaystyle F_X(x)=1-F_Y(\alpha-1)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.12)

卡方分佈

如果取 $\alpha=p/2$ , 其中為一正整數, $\beta=2$ , 便得到卡方分佈(chi-squared distribution)。此分佈只有一參數, 稱為其自由度(degrees of freedom), 而p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{\Gamma(p/2)2^{p/2}}x^{p/2-1} e^{-x/2}, x>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.13)

此分佈以 $\chi_p^2$ 表示。圖3.2中之gamma分佈p.d.f.之圖形, 由於對應 $\beta=2$ , 故亦皆為卡方分佈p.d.f.之圖形, 分別為 $\chi_1^2$ , $\chi_2^2$ , $\chi_3^2$ , 及 $\chi_4^2$ 。

當有 $\chi_p^2$ 分佈, 利用關於gamma分佈的結果, 可得

$\begin{eqnarray*} && E(X)=p,\\ && \mbox{Var}(X)=2p,\\ && E(e^{-sX})=\frac {1}{(1+2s)^{p/2}}, s\geq 0, \end{eqnarray*}$

及

$\displaystyle E(X^r)=\frac {2^r \Gamma(p/2+r)}{\Gamma(p/2)}, r>-p/2,$

(3.14)

其中並不須為整數。

例 2 設有 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 分佈。則對 , 有 $\Gamma(\alpha, a\beta)$ 分佈。

此由拉普拉斯轉換可唯一決定分佈即可得知:

$\begin{eqnarray*} E(e^{-sY})=E(e^{-(sa)X})=\frac {1}{(1+a\beta s)^{\alpha}}, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

指數分佈

在 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 分佈裡, 若取 $\alpha=1$ , 就會得到gamma分佈之另一特例: 指數分佈。不過為了簡便, 通常再取 $\beta=1/\lambda$ , 而得p.d.f.

$\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.15)

此為參數 $\lambda$ 之指數分佈, 以 $\mathcal{E}(\lambda)$ 表之。可以符號 $\Gamma(1,\linebreak 1/\lambda)=\mathcal{E}(\lambda)$ 表指數分佈與gamma分佈之關係。又其p.d.f.之圖形如圖3.3。

圖3.3 $\mathcal{E}(\lambda)$ 分佈p.d.f.之圖形

指數分佈之分佈函數形式簡單:

$\begin{eqnarray*} F(x)=1-e^{-\lambda x}, x>0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

又由gamma分佈之結果可得

$\begin{eqnarray*} && E(X)=\frac {1}{\lambda},\\ && \mbox{Var}(X)=\frac {1}{\lam... ...e^{-sX})=\frac {\lambda}{\lambda+s}, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

由 $\phi(s)$ 立即得

$\begin{eqnarray*} E(X^n)=\frac {n!}{\lambda^n}, n\geq 1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

指數分佈亦有無記憶性質:

$\begin{eqnarray*} P(X>s+t\vert X>s) &=& \frac {P(X>s+t)}{P(X>s)}= \frac {e^{-\la... ...mbda s}}\\ &=& e^{-\lambda t}=P(X>t), s,t>0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

韋伯分佈

韋伯分佈(Weibull distribution)以指數分佈為一特例. 其p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\alpha \beta x^{\beta-1} e^{-\alpha x^{\beta}}, x>0,$

(3.16)

其中 $\alpha,\beta>0$ 。若取 $\beta=1$ , 則得 $\mathcal{E}(\alpha)$ 分佈, 以 $\mathcal{W}(\alpha,1)=\mathcal{E}(\alpha)$ 表之。 $\mathcal{W}(\alpha,2)$ 分佈即參數 $\alpha$ 之瑞萊分佈。又若令 $Y=X^{\beta}$ , 則有 $\mathcal{E}(\alpha)$ 分佈。韋伯分佈族與gamma分佈族的交集, 就是指數分佈族。圖3.4給出一些韋伯分佈p.d.f.之圖形。

圖3.4 韋伯分佈p.d.f.之圖形, 1,2,3,分別對應
$\beta=1,3,5$ , $\alpha$ 則皆為1.

$\mathcal{W}(\alpha,\beta)$ 分佈的分佈函數為

$\begin{eqnarray*} F(x)=1-e^{-\alpha x^{\beta}}, x>0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

期望值及變異數則可利用(3.9)式而得: 當有 $\mathcal{W}(\alpha,\beta)$ 分佈, 我們已指出 $Y=X^{\beta}$ 有 $\mathcal{E}(\alpha)=\Gamma(1,1/\alpha)$ 分佈。因此(在(3.9)式中令 $\alpha=1, \beta=1/\alpha, k=1/\beta$ )

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(Y^{1/\beta})=\frac {(1/\alpha)^{1/\beta}\Gamma(1+1/\... ... \alpha^{-1/\beta}\Gamma(1+\frac {1}{\beta})\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

又(在(3.9)式中令 $\alpha=1, \beta=1/\alpha, k=2/\beta$ )

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = E(Y^{2/\beta})=\frac {(1/\alpha)^{2/\beta}\Gamma(1+2... ... \alpha^{-2/\beta}\Gamma(1+\frac {2}{\beta})\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

故

$\begin{eqnarray*} \mbox{Var}(X)=\alpha^{-2/\beta}(\Gamma(1+\frac {2}{\beta})-(\Gamma(1+\frac {1}{\beta}))^2)\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

常態分佈

常態分佈(normal distribution)又稱高斯分佈(Gaussian distribution)。

常態分佈有二參數 $\mu$ 及 $\sigma^2$ , $\mu\in R$ , $\sigma>0$ , 以 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 表此分佈, p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.17)

若有 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈, 則

$\begin{eqnarray*} Z=\frac {X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 稱為標準常態(standard normal)分佈。其p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.18)

由至的一變換稱為將標準化, $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈經標準化後, 便成為 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈。由於有此性質, 雖有二參數, 常態分佈之機率值皆可藉由標準常態分佈之機率值而得。通常令

$\displaystyle \Phi(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2} du, x\in R,$

(3.19)

表標準常態分佈之分佈函數。則對任意,

$\displaystyle P(a<X\leq b)$	(3.20)
$\displaystyle =P(\frac {a-\mu}{\sigma}<\frac {X-\mu}{\sigma}\leq \frac {b-\mu}{\sigma})$
$\displaystyle =P(Z\leq \frac {b-\mu}{\sigma})-P(Z\leq \frac {a-\mu}{\sigma})$
$\displaystyle =\Phi(\frac {b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac {a-\mu}{\sigma})\raisebox{-1.2mm}{.}$

又因之p.d.f.為偶函數, 故

$\displaystyle \Phi(-x)=1-\Phi(x), x>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.21)

利用附表4, 可得常態分佈的機率值。在此設有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 對 $\forall 0<p<1$ , 令滿足

$\displaystyle \Phi(z_p)=P(Z\leq z_p)=p\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.22)

可看出 $z_p=\Phi^{-1}(p)$ , 為標準常態分佈函數的第分位數。

例 3. 由附表4得 $\Phi(1.12)\doteq 0.8686$ , $\Phi(2.58)\doteq 0.9951$ 。又若 $\Phi(x)\doteq 0.9750$ , 則 $x\doteq 1.96$ 。

另外, $\Phi(-1.35)=1-\Phi(1.35)\doteq 1-0.9115=0.0885$ 。

對一般的常態分佈, 則可先利用(3.20)式, 轉換成標準常態分佈而得其機率值。例如, 設有 $\mathcal{N}(1,9)$ 分佈, 欲求。

最後利用(3.21)式, 對有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 立即可得

$\displaystyle P(\vert Z\vert\leq c)=2\Phi(c)-1, c\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.23)

之期望值及變異數, 也可藉由之期望值及變異數而得:

$\begin{eqnarray*} E(Z) &=& \int_{-\infty}^{\infty} \frac {1}{\sqrt{2\pi}} z e^{-... ...frac {1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2} dz\\ &=& 1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

故

$\begin{eqnarray*} \mbox{Var}(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^2=1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

即標準常態分佈之期望值為0, 變異數為1。由此即得

$\begin{eqnarray*} && E(X)=E(\mu+\sigma Z)=\mu+\sigma E(Z)=\mu,\\ && \mbox{Var}(... ...mu+\sigma Z)=\sigma^2 \mbox{Var}(Z)=\sigma^2\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

故之期望值為 $\mu$ , 變異數為 $\sigma^2$ 。也就是在 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈裡, 二參數 $\mu$ , $\sigma^2$ , 分別為之期望值及變異數。

我們給出標準常態之圖形如圖3.5。

圖3.5 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈p.d.f.之圖形

常態分佈之特徵函數存在, 列出如下:

$\displaystyle \psi(t)=E(e^{itX})=e^{i\mu t-\sigma^2 t^2/2}, t\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.24)

動差母函數亦存在:

$\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2}, t\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.25)

利用(3.25)式, 可得到 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈之所有動差。對於標準常態分佈, 其所有動差皆有簡潔的公式: 設有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 利用分部積分可得

$\displaystyle E(Z^k)=(k-1)E(Z^{k-2}), k\geq 2\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.26)

又因, 且, 故

$\displaystyle E(Z^{2k})=\prod_{i=1}^{k} (2i-1), k\geq 1,$

(3.27)

且

$\displaystyle E(Z^{2k+1})=0, k\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.28)

應注意到, 我們其實尚未檢驗(3.17)式所定義的的確為一p.d.f.。
由於可利用標準化的變換, 我們只要檢驗

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2} dz=1 \end{eqnarray*}$

即可。而因 $g(z)=e^{-z^2/2}$ , $z\in R$ , 為一偶函數, 故只要證出

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-z^2/2} dz=\frac {\sqrt{2\pi}}{2}=\sqrt{\frac {\pi}{2}}$

(3.29)

即可。(3.29)式中的定積分之值, 只要用到重積分:

$\begin{eqnarray*} && (\int_{0}^{\infty} e^{-z^2/2}dz)^2=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2... ...i}{2}\left.(-e^{-r^2/2}\right\vert _0^{\infty})= \frac {\pi}{2}, \end{eqnarray*}$

此處用到極坐標變換, 令 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , $0<\theta<\pi/2$ , $0<r<\infty$ 。因此(3.29)式成立。附帶一提, (3.29)式等價於

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-z^2} dz=\frac {\sqrt{\pi}}{2}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.30)

(3.30)式之積分與gamma函數關係密切。令, 則(3.30)式成為

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{2}w^{-1/2}e^{-w}dw=\frac {\sqrt{\pi}}{2}, \end{eqnarray*}$

即得

$\displaystyle \Gamma(\frac 12)=\int_{0}^{\infty} w^{-1/2}e^{-w}dw=\sqrt{\pi}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.31)

由此可得 $\Gamma((2k+1)/2)$ 之值, $k=0,1,2,\cdots$ 。

圖3.6給三個有相同的 $\mu$ , 但 $\sigma^2$ 不同之p.d.f.的圖形, 以做比較。

圖3.6 $\mathcal{N}(1,2)$ 、 $\mathcal{N}(1,1)$ 及 $\mathcal{N}(1,1/2)$ 分佈p.d.f.圖形之比較

當有 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈, 會在 $\mu$ 的1個, 2個及3個標準差內之機率, 分別約為

$\begin{eqnarray*} && P(\vert X-\mu\vert\leq \sigma)=P(\vert Z\vert\leq 1)\doteq ... ...vert X-\mu\vert\leq 3\sigma)=P(\vert Z\vert\leq 3)\doteq 0.9974, \end{eqnarray*}$

其中有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈。

例 4. 假設6歲小孩之智商(Intelligence Quotient, 簡稱IQ)可以 $\mathcal{N}(104.5,\linebreak 263.66)$ 分佈當做模式。則任一6歲小孩, 其智商介於 $(104.5-3\sqrt{263.66},\linebreak 104.5+3\sqrt{263.66})$ 間, 即介於間之機率約為0.9974。此區間長度為6個標準差。而任一6歲小孩, 智商超過160之機率為何？

最後, 常態分佈與gamma分佈亦有關係。當有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 則有
$\chi_1^2$ 分佈。又因當有 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈時, $(Y-\mu)/\sigma$ 有 $\mathcal{N}(0,1)$ 分佈, 故 $(Y-\mu)^2/\sigma^2$ 有 $\chi_1^2$ 分佈。

Beta 分佈

Beta分佈(beta distribution)定義在區間, 有二參數 $\alpha,\beta>0$ , 以
$\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ 表之, 其p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, 0<x<1\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.32)

在微積分裡, 可證明下述積分:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx \end{eqnarray*}$

對 $\alpha,\beta>0$ 皆存在。先定義函數 $B(\alpha,\beta)$ 為

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}dx, \alpha,\beta>0,$

(3.33)

稱為beta函數(beta function)。利用重積分, 可證明

$\displaystyle \int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} dx=\frac {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}, \alpha, \beta>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.34)

即

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\frac {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}, \alpha, \beta>0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.35)

因此(3.32)的確定義出一p.d.f.。

Beta分佈, 是少數取值在一有限區間的常見分佈, 可用來當做取值在0至1的母體之機率模式。 $\mathcal{U}(0,1)$ 分佈也是一種beta分佈, 即為 $\mathcal{B}e(1,1)$ 。

由於有二參數, 參數的改變, 可使圖形有很大的變化(見圖3.7)。

圖3.7 Beta分佈p.d.f.之圖形, 1,2,3,4,5,6分別對應
$(\alpha,\beta)=(1,1), (1,2), (3,2), (4,4), (1,1/2)$ , 及

Beta分佈之動差可很容易地求出:

$\displaystyle E(X^k)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac {1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^k x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} dx$	(3.36)
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac {1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^{\alpha+k-1} (1-x)^{\beta-1} dx$

$\begin{eqnarray*} &=& \frac {B(\alpha+k,\beta)}{B(\alpha,\beta)} \hspace*{2.2cm}... ...beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)\Gamma(\alpha)}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

上式對 $\alpha+k>0$ , 即 $k>-\alpha$ , 皆成立。由此即得

$\begin{eqnarray*} && E(X)=\frac {\alpha}{\alpha+\beta}\raisebox{-1.2mm}{.}\\ && ... ...lpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

柯西分佈

隨機變數稱為有 $\mathcal{C}(\theta,a)$ 分佈, $\theta\in R$ , , 若其p.d.f.
為

$\displaystyle f(x)=\frac {a}{\pi(a^2+(x-\theta)^2)}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.37)

因

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac {a}{\pi(a^2+(x-\theta)^2)}dx=\fr... ...eft.\arctan\frac {x-\theta}{a}\right\vert _{-\infty}^{\infty}=1, \end{eqnarray*}$

故(3.37)式的確定義出一p.d.f.。又分佈函數為

(3.38)

對有 $\mathcal{C}(\theta,a)$ 分佈, 令 $Y=(X-\theta)/a$ , 則有 $\mathcal{C}(0,1)$ 分佈。

柯西分佈有二參數 $\theta, a$ , p.d.f.之圖形亦為鐘形, 不仔細看, 還不容易與常態分佈p.d.f.之圖形區別。圖3.8將 $\mathcal{N}(0,1)$ 及 $\mathcal{C}(0,1)$ p.d.f.之圖形放在一起比較。

圖3.8 $\mathcal{N}(0,1)$ 與 $\mathcal{C}(0,1)$ p.d.f.圖形之比較

雖然都是鐘形, 與常態分佈p.d.f.之圖形有一很大的差異, 就是柯西分佈p.d.f.之圖形下降至0的速度慢很多。可證明

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \infty} \left.\frac {1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\right/\frac {1}{\pi(1+x^2)}=0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

即使,

對任一 $\mathcal{C}(\theta,a)$ 分佈, 其任意次動差皆不存在。柯西分佈之拉普拉斯轉換, 及動差母函數也皆不存在, 但特徵函數存在。即若有 $C(\theta,a)$ 分佈, 則

$\displaystyle E(e^{itX})=e^{-a\vert t\vert+it\theta}, t\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.39)

對數常態分佈

隨機變數, 若滿足 $\log X$ 有 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈, 便稱有對數常態分佈(log-
normal distribution), 參數為 $\mu,\sigma^2$ 。利用變數代換, 可得之p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-(\log x-\mu)^2/(2\sigma^2)}, x>0,$

(3.40)

其中 $\mu\in R$ , $\sigma>0$ 。由於 $Y=\log X$ 有 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈, 利用常態分佈之動差母函數, 可得(注意)

$\begin{eqnarray*} E(X) &=& E(e^{Y})=e^{\mu+\sigma^2/2}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Var}(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=E(e^{2Y})-(e^{\mu+\sigma^2/2}... ...\ &=& e^{2(\mu+\sigma^2)}-e^{2\mu+\sigma^2}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}$

甚至任意次動差皆可求出:

$\displaystyle E(X^k)=E(e^{kY})=e^{\mu k+\sigma^2 k^2/2}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.41)

上式其實對 $\forall k\in R$ 皆成立。我們給一些對數常態p.d.f.的圖形如圖3.9.。

圖3.9 對數常態分佈一些p.d.f.的圖形

註 2 一隨機變數, 若滿足 $E((X-\mu_X)^3)>0$ , 其中, 則其分佈稱為右傾, 或稱正傾(positively skewed); 若 $E((X-\mu_X)^3)<0$ , 則稱其分佈為左傾(skewed to the left), 或稱負傾(negatively skewed)。若之p.d.f.為偶函數, 且存在, 則 $E((X-\mu_X)^3)=0$ 。

雙指數分佈

若隨機變數有p.d.f.

$\displaystyle f(x)=\frac {\lambda}{2} e^{-\lambda \vert x\vert}, x\in R,$

(3.42)

其中 $\lambda>0$ , 則稱有參數 $\lambda$ 之雙指數分佈(double exponential distribution), 以 $\mathcal{D}$ - $\mathcal{E}(\lambda)$ 表之。雙指數分佈之p.d.f.為一偶函數。其圖形約略如圖3.10. 不難看出 $Y=\vert X\vert$ 有 $\mathcal{E}(\lambda)$ 分佈。

圖3.10 $\mathcal{D}$ - $\mathcal{E}(\lambda)$ p.d.f.之圖形

$\mathcal{D}$ - $\mathcal{E}(\lambda)$ 分佈p.d.f.之圖形並非鐘形, 事實上p.d.f.之圖形在不可微。由於p.d.f.含有 $\vert x\vert$ 項, 在做積分時, 要分 $x\geq 0$ 及。又可求出

$\displaystyle E(X)=0,$	(3.43)
$\displaystyle \mbox{Var}(X)=E(X^2)=\frac {2}{\lambda^2},$	(3.44)

及動差母函數

$\displaystyle E(e^{tX})$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac {\lambda}{2} e^{tx} e^{-\lambda\vert x\vert} dx$	(3.45)
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac {\lambda}{2}\int_{-\infty}^{0} e^{(\lambda+t)x}dx +\frac {\lambda}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t)x}dx$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac {\lambda}{2(\lambda+t)}\left.e^{(\lambda+t)x}\right\vert _{... ...}-\frac {\lambda}{2(\lambda-t)}\left.e^{-(\lambda-t)x}\right\vert _{0}^{\infty}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac {\lambda}{2(\lambda+t)}+\frac {\lambda}{2(\lambda-t)}= \frac {\lambda^2}{(\lambda^2-t^2)},$

對每一 $\vert t\vert<\lambda$ 皆存在。

雙指數分佈又稱拉普拉斯分佈(Laplace distribution)。較一般的形式之p.d.f.為

$\displaystyle f(x)=\frac {\lambda}{2} e^{-\lambda \vert x-\alpha\vert}, x\in R, \lambda>0, \alpha\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.46)

有二參數 $\alpha,\lambda$ 。此分佈之期望值為 $\alpha$ , 變異數為 $2/\lambda^2$ 。

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 基本概念。數理統計講義第二章。國立高雄大學應用數學系。