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分佈函數與機率密度函數  

       

      對一隨機變數$X$, 其累積分佈函數(cumulative distribution function, 縮寫為c.d.f.), 通常簡稱為分佈函數, 縮寫為d.f., 又稱分布函數, 或分配函數:　

$\displaystyle F_X(x)=P_X(X\leq x), x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.1)

如果隨機變數$X$很清楚, $F_X(x)$也可只寫成$F(x)$。

        分佈函數是一定義域為實數, 對應域為區間$[0,1]$的函數。完全不同的機率空間, 是可能得到相同的分佈函數。

         

例 1. 投擲一公正的銅板3次, 令$X$表所得之正面數。 則其分佈函數為何？  提示

　

         分佈函數是定義在整個實數上, 而非只定義在$X$取值的集合 。

         

  定理 1. 一函數$F$為一分佈函數, 若且唯若下述諸條件成立:

(i) $0\leq F(x)\leq 1$, $\forall x\in R$;

(ii) $F$為一非漸減函數;

(iii) $F$為一右連續函數;

(iv) $\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0$, 且 $\lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1$。

        設隨機變數$X$之分佈函數為$F$, 則對$\forall a<b$, 因 $\{X\leq a\}\subset \{X\leq b\}$, 故

\begin{eqnarray*} P(a<X\leq b) &=& P(\{X\leq b\}\setminus \{X\leq a\})=P(X\leq b)-P(X\leq a)\\ &=& F(b)-F(a)\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

即

$\displaystyle P(a<X\leq b)=F(b)-F(a), a<b\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.3)

以$F$表示出一些與$X$有關之常見事件的機率如下:

$P(X=a)=F(x)$之圖形在$x=a$跳升之高度,

$P(X>a)=1-F(a)$,

$P(X\geq a)=1-F(a)+P(X=a)$,

$P(X\leq b)=F(b)$,

$P(X<b)=F(b)-P(X=b)$.

又對$a<b$,

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$,

$P(a<X<b)=F(b)-F(a)-P(X=b)$,

$P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)+P(X=a)$,

$P(a\leq X<b)=F(b)-F(a)+P(X=a)-P(X=b)$.

例 2. 投擲一出現正面的機率為$p$之銅板, $0<p<1$, 直到出現一正面才停止。令$X$表總共之投擲數。則

$\displaystyle P(X=x)=p(1-p)^{x-1}, x\geq 1\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.4)

因此對$x=1,2,\cdots$,則其分佈函數為何？  提示

 

例 3. 設

\begin{eqnarray*} F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ,x< 0,\cr x & ,0\leq x<1,\cr 1 & ,x\geq 1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

圖4.2給出$F$之圖形。$F$為一連續函數, 滿足定理1中之四個條件, 故為一分佈函數。


\begin{picture}(0,90)(60,10)\thicklines\put(-10,0){\vector(1,0){130}} %x \put(0,... ...-10,36){1} \put(0,0){\line(1,1){40}} \put(40,40.1){\line(1,0){50}} \end{picture}

    


圖4.2 例 3中$F(x)$之圖形


例 4. 考慮

$\displaystyle F(x)=\frac {1}{1+e^{-x}}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.5)

驗證此函數是否為一分佈函數？  提示

　

圖 4.3 $\displaystyle y=F(x)=\frac {1}{1+e^{-x}}$, $x\in R$, 之圖形

　

         隨機變數$X$之分佈函數$F$若為連續函數, 便稱$X$為連續型; 若$F$為階梯函數, 便稱$X$為離散型。也可稱分佈函數為連續型或離散型。不過也有既非離散亦非連續的隨機變數。

        離散型隨機變數, 其分佈函數的圖形, 有跳升之處的集合, 必為可數的, 可能是一有限集合, 或可數的無限集合。

       　

分佈函數可決定一隨機變數之機率分佈。

      在同一樣本空間, 可以有不同的隨機變數, 但分佈函數卻相同, 在不同的樣本空間, 亦可分別定義隨機變數, 而有相同的分佈函數。

　

  定義 1. 二隨機變數$X,Y$, 若滿足

$\displaystyle P(X\leq x)=P(Y\leq x), x\in R,$

(4.6)

則稱分佈相同, 並以 $X\stackrel{d}{=} Y$表之。


       若以$F,G$分別表$X$及$Y$之分佈函數。$X$與$Y$分佈相同, 表$F(x)=G(x)$, $\forall x\in R$。即$X$與$Y$有相同的分佈函數。分佈相同就是分佈函數相同, 也可說有共同的分佈。


例 5. 投擲一公正的銅板三次, 令$X$表所得之正面數, $Y$表所得之反面數。則$X$當然不等於$Y$($X\neq Y$)。因若$X=0$則$Y=3$。事實上, 可看出
$X$與$Y$二者永不相等, 即 $X(\omega)\neq Y(\omega)$, $\forall \omega\in \Omega$, 其中$\Omega$如例2. 5所給(如當
$\omega=$正正正, 則 $X(\omega)=3\neq 0=Y(\omega)$)。但因

\begin{eqnarray*} P(X=i)=P(Y=i), i=0,1,2,3, \end{eqnarray*}

故$X$與$Y$有相同的分佈函數, 即 $X\stackrel{d}{=} Y$。

       雖 $X\stackrel{d}{=} Y$時不一定導致$X=Y$, 但$X=Y$卻必導致 $X\stackrel{d}{=} Y$。此因
$X=Y$表 $X(\omega)=Y(\omega)$, $\forall \omega\in \Omega$, 故

\begin{eqnarray*} P(X\leq x)=P(\{\omega\vert X(\omega)\leq x\})=P(\{\omega\vert Y(\omega)\leq x\})=P(Y\leq x)\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

      

        對一隨機變數$X$, 除了伴隨分佈函數$F_X$, 亦有一與其關係密切的函數, 即機率密度函數(probability density function, 縮寫為p.d.f.), 或是機率質量函數(probability mass function, 縮寫為p.m.f.), 前者是對連續型, 後者是對離散型。不過為了簡便, 通常我們不分連續或離散, 皆說是機率密度函數。

　

 (離散型)設$X$為一隨機變數, 以$F_X$為其分佈函數。若$X$為離散型, 則下述函數$f_X$, 便稱為$X$之機率密度函數:

\begin{eqnarray*} f_X(x)=P(X=x),x\in R\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

　       

例 6. 設隨機變數$X$之機率密度函數為


求(i)其分佈函數為何？

   (ii)$F(2.5)$= ？  提示

    
        離散型機率密度函數之圖形, 有時以線段表之。 而對只取整數值之隨機變數, 其機率密度函數的圖形, 有時以一些小長方形表示, 每一小長方形之底部中點為取值處, 高度為該點之機率, 因此小長方形面積和為1。 這樣表示機率密度函數的圖形, 稱為直方圖(histogram), 機率便對應直方圖之面積。例 7中之$f(x)$亦可繪成如圖4.5中之二圖, 右圖即直方圖。


\begin{picture}(0,135)(-12,0) \setlength{\unitlength}{1mm}\put(-5,0){\vector(1,0... ...ne(1,0){10}} \put(100,0){\line(0,1){4}} \put(90,4){\line(1,0){10}} \end{picture}


圖4.5 例 7中$f(x)$之圖形

    

　

　

 (連續型)若$X$為連續型, 則其機率密度函數的定義為滿足下式之非負函數$f_X$(稍後在例 9會指出$f_X$並不唯一):

$\displaystyle F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.7)

由定理4.1, 因

\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \infty} F_X(x)=1, \end{eqnarray*}

故知$f_X$除了非負之外, 尚須滿足

即$f_X(x)$之圖形與$x$軸間之面積為1。

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx=1\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.8)

       對連續型的隨機變數$X$, 由於$P(X=x)=0$, $\forall x\in R$, 即$X$取任一定值的機率為0。故

\begin{eqnarray*} P(a<X<b) &=& P(a\leq X< b)=P(a\leq X\leq b)\\ &=& P(a< X\leq b)=F_X(b)-F_X(a), \end{eqnarray*}

$\forall a<b$。


例 7. 設隨機變數$X$之分佈函數為

\begin{eqnarray*} F(x)=\frac {1}{1+e^{-x}}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

求 之值。  提示


       由微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus), 若$f_X$為連續函數, 則由(4.7)式,

$\displaystyle F_X^{'}(x)=f_X(x), x\in R\raisebox{-1.2mm}{.}$

(4.9)


可藉由上式得到此時之機率密度函數。又二隨機變數, 若有相同的機率密度函數, 則其分佈相同。


例 8. 設隨機變數$X$之分佈函數 

\begin{eqnarray*} F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ,x< 0,\cr x & ,0\leq x<1,\cr 1 & ,x\geq 1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}


。則其機率密度函數為何？  提示

例 9.考慮標準的羅吉斯分佈, 即

\begin{eqnarray*} F_X(x)=\frac {1}{1+e^{-x}}, x\in R\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

則其機率密度函數為何？  提示


        一函數$f$若滿足$f(-x)=f(x)$, $\forall x\in R$, 便稱為偶函數(even function)。偶函數之圖形對稱於$x=0$。 若存在一常數$a$, 使得

$\displaystyle f(a-x)=f(a+x), x\in R,$

(4.11)

或等價地

$\displaystyle f(x)=f(2a-x), x\in R,$

(4.12)

便說 $\mbox{\mathversion{bold}{$f$}}$對稱於 $\mbox{\mathversion{bold}{$a$}}$。即若一隨機變數之p.d.f.對稱於$a$, 便稱其分佈對稱於$a$。分佈函數$F$若滿足

$\displaystyle F(a-x)=1-F(a+x), x\in R,$

(4.13)

或等價地

$\displaystyle F(x)=1-F(2a-x), x\in R,$

(4.14)

便稱分佈對稱於$a$。函數$f$若滿足$f(-x)=-f(x)$, $\forall x\in R$, 便稱為奇函數(odd function)。

       連續型的分佈不一定有機率密度函數, 此因一連續函數不一定可微。 對連續型的隨機變數, 除非特別聲明, 我們均假設其機率密度函數存在。

　

 定理 2. 一函數$f$若滿足下述二條件, 必為某一隨機變數之機率密度函數:

(i) $f(x)\geq 0$, $\forall x\in R$,

(ii) $\sum_{x}f(x)=1$(離散型), 或 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$(連續型)。

　

例 10. 設函數

  (i)\begin{eqnarray*} f(i)=3^{-i}, i=1,2,3,\cdots\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

(ii)\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-3x}, x> 0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

是否為機率密度函數？  提示

　

       對一隨機變數$X$, 以$F(x)$為分佈函數, $f(x)$為機率密度函數, 有時可以$X\sim F(x)$或$X\sim f(x)$表之。若 $X\stackrel{d}{=} Y$, 也可以$X\sim Y$表之。對一隨機變數, 給定其機率密度函數, 或分佈函數, 或其他可以唯一決定其機率如何分配的規則, 皆稱為給定其分佈。

        給一非負的函數$f$, 只要其圖形與$x$軸間之面積為1, 便是一機率密度函數。最簡單的機率密度函數, 是在一有限的區間中為常數。即設有一區間$(a,b)$, $a<b$, 且$f$在該區間為一常數。即

\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {1}{b-a}, a<x<b\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

具有這種機率密度函數的隨機變數, 稱為在區間$(a,b)$有均勻分佈(uniform distribution), 以 $\mathcal{U}(a,b)$表之。

例 11. 考慮如圖4.9之函數$f$的圖形, 其中$a<b$, 且$f(a)=0$，$f(b)$=$2/(b-a)$。求其機率密度函數及分怖函數。  提示


\begin{picture}(0,90)(60,10)\thicklines\put(-10,0){\vector(1,0){130}} %x \put(0,... ...,1){50}} \put(83.2,-3){\line(0,1){54}} \put(60,60){$(b, 2/(b-a))$} \end{picture}

    


圖4.9 例 12中$f(x)$之圖形

　

例 12. 假設我們希望圖4.10中之圖形為一機率密度函數$f$的圖形。則機率密度函數$f$為何 ？  提示


\begin{picture}(0,90)(60,10)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){120}} %x \put(0,0)... ...){23}} \qbezier[15](60.5,0)(60.5,20)(60.5,59) \put(50,65){$(8,c)$} \end{picture}

    


圖4.10 例4.13中$f(x)$之圖形

    

例 13. 設隨機變數$X$之機率密度函數為


圖4.11給出$f(x)$之圖形。


\begin{picture}(0,90)(60,-5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){120}} %x \put(0,0)... ...t(-10,33){3} \put(-10,21){2} \put(-10,9){1} \put(55,55){$(8.1,4)$} \end{picture}

    

圖4.11 例 14中$f(x)$之圖形

求$X>8$之機率.  提示

       對連續型的隨機變數, 不只機率密度函數$f(x)$的值可大於1, $f$也可不為有界(bounded)。所謂有界即存在一常數$k>0$, 使得$\vert f(x)\vert<k$, $\forall x\in R$。


例 14. 設隨機變數$X$之機率密度函數為$f(x)=e^{-x}$, $x>0$。求

(i) 之值。

(ii)分佈函數$F(x)$何？  提示

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 基本概念。數理統計講義第一章。國立高雄大學應用數學系。

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