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隨 機 變 數        

             

       所謂隨機變數, 就是一個定義在樣本空間的實函數。若以$X$表一隨機變數, 則此函數的定義域為$\Omega$, 對應域是實數$R$, 值域則為$R$的一個子集合。換句話說對 $\forall \omega\in \Omega$, $X(\omega)\in R$。

        對於隨機變數$X$, 可以想成原先觀測到$\omega$, 再轉換至$X(\omega)$, 樣本空間由$\Omega$轉為$R$。 但也可想成所觀測到的結果就是$X$。

        隨機變數定義於樣本空間, 樣本空間中的元素之出現情況是隨機的, 以一機率函數來描述。

        由於在樣本空間$\Omega$上, $\sigma$-體$\mathcal{F}$選取的不同, 使得並非每一由$\Omega$映至$R$的函數, 皆可當做隨機變數。一般要求還要滿足

$\displaystyle \mbox{對}\forall x\in R, \{\omega\vert X(\omega)\leq x \}\in \mathcal{F}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(3.1)

       隨機變數常以大寫的英文字母表示, 而它的觀測值則以對應的小寫字母表示。有時會說`` 隨機變數$X$取值$x$'', 或說`` 求$X=x$之機率''。

        假設樣本空間 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$, 取$\mathcal{F}$為包含$\Omega$之所有子集合所形成的$\sigma$-體。定義一隨機變數$X$, 其值域以 $\Omega_1=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$表之。則會觀測到$X=x_i$, 若且唯若原試驗的結果為 $\omega\in \Omega$, 使得$X(\omega)=x_i$。即

(3.2)

為了簡便, 常簡單地寫成$P_X(X=x_i)$。(3.2)式之左側函數$P_X$, 就是由原機率函數引發出來的定義在$\Omega_1$上的機率函數, $\Omega_1$為新的機率空間, 且$P_X$的確滿足柯莫果洛夫公理。雖然$P_X$與$P$為不同的函數, 但因有(3.1)式, 今後如果不會混淆, 我們通常只寫$P(X=x_i)$, 且將$P$解釋為`` 機率 ''的意思。

例 1. 投擲一銅板3次, 樣本空間

$\Omega$={正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反}, 

且設每一樣本之機率為1/8。 令$X$表共得之正面數。顯然$X$之值域為$\{0,1,2,3\}$。則

同理可得$P_X(X=0)=1/8$, $P_X(X=2)=3/8$, $P_X(X=3)=1/8$。

次令$Y=$正面數$-$反面數。則Y 之值域為$\{-3,-1,1,3\}$。且

同理可得 $P_Y(Y=-1)=P_Y(Y=1)=3/8$, $P_Y(Y=3)=1/8$。


例 2. 投擲一公正的銅板100次, 則樣本空間$\Omega$中共有$2^{100}$個元素。由於此銅板為公正, 所以每個樣本點之機率均相同, 皆為$1/2^{100}$。令$X$表所得之正面數。欲求$X=10$之機率。 提示

　

        一般而言, 令$\Omega_1$表隨機變數$X$所引發出來的樣本空間, 則對 $\forall A\subset \Omega_1$, 我們定義引發出來的機率函數

\begin{eqnarray*} P_X(X\in A)=P(\{\omega\vert\omega\in \Omega, \mbox{且} X(\omega)\in A\})\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}


例 3. 如果$\Omega$本來就是實數的一個子集合, 則 $X(\omega)=\omega$為一很自然的隨機變數。例如, 一袋中有10張紙牌, 分別寫數字1至10。隨機地取一張, 觀測所得之點數。則樣本空間 $\Omega=\{1,2,\cdots,10\}$。可令 $X(\omega)=\omega$, 而得一隨機變數。另一種講法是自袋中隨機地取一張紙牌, 並令$X$表所得之點數。這種講法就是直接引進隨機變數。

　

       常數也是一隨機變數。對一實數$c$, 若 , 則$X$為一隨機變數。有時以 表之。 這種只取一個值之隨機變數, 由於並不會變, 雖然仍視為隨機變數, 但稱之為退化的(degenerate)。

例 4. 設$A$為樣本空間$\Omega$之一子集.令$I_A$表$A$之指示函數(indicator function), 即若$A$發生, 則$I_A=1$, 否則$I_A=0$。$I_A$便是`` 指示'' 事件$A$是否發生。因此

\begin{eqnarray*} I_A(\omega)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & ,\omega\in A,\cr 0 & ,\omega\not\in A\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

則$I_A$為一隨機變數, 它只取1與0兩個值, 且

\begin{eqnarray*} && P(I_A=1)=P(A),\\ && P(I_A=0)=1-P(A)\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

利用指示函數, 可將每一事件對應一隨機變數。


進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 基本概念。數理統計講義第一章。國立高雄大學應用數學系。

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