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條件機率與獨立性

        

       有時得到一些資訊, 則根據所獲得的資訊, 要修訂樣本空間, 因而機率空間可能也會改變。這就是所謂條件機率(conditional probability)。

     

  定義 1. 設$A,B$為樣本空間$\Omega$中二事件, 且$P(B)>0$。則在給定$B$發生之下, $A$之條件機率, 以$P(A\vert B)$表之, 定義為

$\displaystyle P(A\vert B)=\frac {P(A\cap B)}{P(B)}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.1)


       在條件機率的定義中, $B$成為新的樣本空間: $P(B\vert B)=1$。所有事件發生之機率, 都要先將其針對與$B$的關係做修正。


例 1. 在梭哈遊戲裡, 要拿到四條的機率很低。但若發了三張牌, 皆拿到$K$, 則此時會拿到四條之機率為何?  提示

      由(2.1)式得

$\displaystyle P(A\cap B)=P(A\vert B)P(B)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.2)

故若知道$P(A\vert B)$及$P(B)$, 則可得到$P(A\cap B)$。當然亦有

$\displaystyle P(A\cap B)=P(B\vert A)P(A),$

(2.3)

只要$P(A)>0$。結合(2.2)與(2.3)式, 得

$\displaystyle P(A\vert B)=\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.4)

(2.4)式為貝氏定理(Bayes' Rule)之一特例。 

　

  定理 1. 設 $A_1,A_2,\cdots$為某樣本空間之一分割.則對任一事件$B$,

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^{\infty} P(B\vert A_i)P(A_i)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.5)

    

  定理 2. 貝氏定理. 設 $A_1,A_2,\cdots$為樣本空間之一分割, 則對任意$i\geq 1$及任一事件$B$, 只要$P(B)>0$,

$\displaystyle P(A_i\vert B)=\frac {P(B\vert A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{\infty}P(B\vert A_j)P(A_j)}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.6)

例 2. 有甲、乙、丙三囚犯, 國王以抽籤決定釋放其中一位, 處決另兩位。然後他告訴獄卒那一位將被釋放, 但要求獄卒不可先透露。甲先是要求獄卒告訴他那一位會被釋放, 遭到拒絕後, 改為問獄卒, 乙,丙中那一位會被處決。獄卒經過一番思考, 遂告訴甲, 乙會遭處決。他認為這樣做並未違反國王的規定, 原因為:

        乙、丙二人, 至少有一會遭處決, 因此他並未提供甲有關甲是否會被釋放的有用資訊。

       甲聽到獄卒說乙會被處決後很高興。原先他只知道自己有$1/3$的機會遭釋放, 現因只剩他與丙了, 所以他會被釋放的機會提高至$1/2$。

        究竟獄卒與甲誰的分析, 何者才是正確的呢?  提示

                   

  定義 2.二事件$A,B$, 稱為相互獨立(mutually independent, 簡稱獨立), 若滿足

$\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.7)


        在討論條件機率時, 有時事件$A$之發生, 對事件$B$之發生的機率沒有影響。即

　

$\displaystyle P(B\vert A)=P(B)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(2.8)

又由(2.4)式得

$\displaystyle P(A\vert B)=\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}=P(A),$

(2.9)

在(2.8)及(2.9)二式中, 分別要有$P(A)$, 及$P(A)$與$P(B)$為正的條件。不過(2.7)式對$P(A)$或$P(B)$為0仍成立。以(2.7)式當做$A,B$獨立的條件。

         當事件$A$與$B$獨立時, 由$B$之發生, 對事件$A$得不到任何推論(inference)。因此直觀上$A$與$B$獨立, 會導致$A$與$B^c$獨立。

 

  定理 3.設$A$與$B$獨立, 則$A$與$B^c$, $A^c$與$B$, $A^c$與$B^c$皆獨立。


例 3. 投擲一公正的骰子兩次, 則樣本空間為  

\begin{eqnarray*} \Omega=\{ (1,1), (1,2),\cdots,(1,6),\cdots,(6,1),\cdots,(6,6) \}, \end{eqnarray*}

共包含36個元素, 其中$(i,j)$表第一次出現點數$i$, 第二次出現點數$j$。取$\sigma$-體為包含$\Omega$所有子集合之集合(共有$2^{36}$個元素)。令$A$表兩次投擲出現的點數相同, $B$表兩次投擲點數和介於7與10間, $C$表兩次投擲點數和為2,7或8。因此,$A$,$B$與$C$是否相互獨立? 提示

　

  定義 3.對 , 事件 , 若滿足 與 獨立, , 則為每對獨立, 或稱兩兩獨立(pairwise independent); 若對所有 , 及 , 滿足

則為相互獨立。

　

 系理 1.設 為相互獨立, 則對所有, 及 , 為相互獨立; 特別地 為每對獨立。

　

      由定義  3, 一般而言, n 個事件要相互獨立, 就須有

個等式成立。


例 4. 考慮投擲一銅板三次的試驗。令`` 正正反'' 表頭兩次出現正面, 第三次出現反面, 餘類推。則樣本空間為

$\Omega$={正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反}。

對每一樣本點給定機率1/8。又令表第$i$次投擲得到正面之事件。則

同理 。 試驗證對此機率模型, 事件 為相互獨立。 提示


例 5. 假設生男與生女的機率均為$1/2$。若一家庭中有兩個小孩, 已知其中之一為男孩, 試求另一為女孩之機率。 提示


例 6. 在上例中, 若亦知該男孩為老大, 試回答同樣的問題。 提示

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 基本概念。數理統計講義第一章。國立高雄大學應用數學系。

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