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期  望  值  

                  

        設隨機變數$X$之p.d.f.為$f$, 則其期望值以$E(X)$表示, 定義為

(6.1)

只要上述積分或和存在。此處$\sum_x xf(x)$表對所有可能的$x$相加。通常以 (或只以$\mu$)表$E(X)$。

        至於$X$之一函數$g(X)$的期望值, 則定義為  

(6.2)

例 1. 設離散型隨機變數$X$之p.d.f.為

\begin{eqnarray*} && f(0)=\frac {1}{16},\quad f(1)=\frac {2}{16},\quad f(2)=\fra... ... f(5)=\frac {1}{16},\quad f(6)=\frac {1}{16}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

求$E(X)$及$E((X-3)^2)$之值。  提示

 

例 2. 設隨機變數$X$之p.d.f.為

\begin{eqnarray*} f(x)=2x, x\in [0,1]\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

求$E(X)$及$E(X^2)$之值。  提示

　

例 3. 在微積分裡有下述結果:

\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}{i^2}=\frac {\pi^2}{6}\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

故

$\displaystyle f(i)=\frac {6}{\pi^2} \frac {1}{i^2}, i=1,2,\cdots,$

(6.3)

為一p.d.f.。但因

\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1i=\infty, \end{eqnarray*}

故若隨機變數$X$之p.d.f.如(6.3)式, 則$X$之期望值不存在。

　


例 4. 設隨機變數$X$有 $\mathcal{C}(0,1)$分佈, 則其期望值不存在。  提示

　

         當一隨機變數$X$之p.d.f.為偶函數, 則$E(X)$若存在必為0。

        期望值有不少性質。一有界的隨機變數, 期望值必存在。在此對一隨機變數$X$, 若存在一常數$M>0$, 使得 $P(\vert X\vert\leq M)=1$, 便稱該隨機變數為有界的。

　

  定理 1.設$X$為一隨機變數, $a,b,c$為常數, $g_1,g_2$為二函數, 使得$E(g_1(X))$, $E(g_2(X))$皆存在。則

(i) $E(a g_1(X)+b g_2(X)+c)=a E(g_1(X))+b E(g_2(X))+c$;

(ii) 若$g_1(x)\geq 0$, $\forall x\in R$, 則 $E(g_1(X))\geq 0$;

(iii) 若 $g_1(x)\geq g_2(x)$, $\forall x\in R$, 則 $E(g_1(X))\geq E(g_2(X))$;

(iv) 若 $a\leq g_1(x)\leq b$, $\forall x\in R$, 則 $a\leq E(g_1(X))\leq b$。

　

只要$E(X)$存在, 則

$\displaystyle E(aX+b)=aE(X)+b,$

(6.5)

$\displaystyle E(b)=b\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.6)

即一常數之期望值等於該常數。

        期望值是一隨機變數之" 最佳'' 常數的代表值。所謂最佳, 指的是誤差平方的期望值最小。

　

  定理 2.設隨機變數$X$滿足$E(X^2)<\infty$。則對所有$a\in R$, $E((X-a)^2)$之極小值發生在$a=E(X)$。                                                                          證明

       

 設$n$為一整數, 則若$E(X^n)$存在, 便稱此為隨機變數$X$之 $\mbox{\mathversion{bold}{$n$}}$次動差。而$E((X-\mu)^n)$稱為$X$的 $\mbox{\mathversion{bold}{$n$}}$次中心動差($n$th central moment), 其中$\mu=E(X)$。

       二次中心動差稱為$X$的變異數(variance), 以$\sigma_X^2$, $\mbox{Var}(X)$或簡單地以$\sigma^2$表之, 即

$\displaystyle \mbox{Var}(X)=E((X-E(X))^2)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.7)

$\mbox{Var}(X)$之正的平方根, 以$\sigma_X$或$\sigma$表之, 稱為$X$之標準離差(standard deviation), 或標準差、 均方差。      

        期望值像是隨機變數分佈之一個核心, 隨機變數的可能值, 散佈在期望值的左右。其他亦常被拿來當做隨機變數之代表值的尚有中位數(median)及眾數(mode)。眾數早期稱為密集數。在此一實數$m$若滿足

$\displaystyle P(X\leq m)\geq \frac 12,\quad \mbox{且} P(X\geq m)\geq \frac 12,$

(6.8)

便稱為隨機變數$X$(或其分佈)之一中位數。中位數不一定唯一。 若$f(a)$為$X$之機率密度函數的一絕對極大值, 便稱$a$為$X$(或其分佈)之一眾數。對$X$為離散型的隨機變數, 其眾數表$X$最可能取的值。眾數也不一定唯一。


例 5. 設$X$為一離散型的隨機變數, 且$P(X=0)=1/4$, $P(X=1)=1/2$, $P(X=2)=1/4$。求$X$之中位數及眾數之值。  提示


  例 6. 設隨機變數$X$之分佈函數為

\begin{eqnarray*} F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ,x<0,\cr x^2 & ,0\leq x<1, \cr 1 & ,x\geq 1\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

求$X$之中位數及眾數之值。  提示

      
例 7. 某賭局的賭法如下: 投擲一公正的銅板, 若第$n$次投擲才首度出現正面, 則賭徒可獲得$1.95^{n}$元。試依期望所得, 決定賭徒每次賭之前, 該付多少元, 此賭局才是公平。   提示

　       設有一隨機變數$X$, 且設期望值$E(X)$存在。則$X$與$E(X)$之離差為$X-E(X)$。此值有正有負, 但期望值

\begin{eqnarray*} E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

離差之期望值為0, 此亦為期望值之一性質。但我們往往是對離差之絕對值較感興趣。以$\vert X-E(X)\vert$表離差之絕對值, 此量仍為一隨機變數, 如何衡量其大小呢? 取期望值為一辦法。也就是求量測離差之絕對值的"平均 ''。有關絕對值函數之求和或積分, 往往有些麻煩。因此通常是考慮離差平方之期望值, 這就是變異數。 由於是平方的期望值, 像是距離的平方。因此若將變異數開平方, 就像使其回到距離, 標準差便產生了。

        標準差的功能, 就是對誤差之大小, 提供一參考值。如果說期望值是描述一隨機變數之分佈的'集中處'', 標準差便是描述分佈對該集中處之偏離程度。標準差愈小, 表隨機變數之分佈較集中在期望值附近; 標準差愈大, 表隨機變數之分佈, 散佈的較開。

        
例 8. 假設有$A,B$二項投資。投資$A$於一年後, 有1/2的機率賺一倍的錢, 有1/4的機率賠一半的錢, 有1/4的機率不賺不賠。投資$B$一年後, 有3/4的機率賺一半的錢, 有1/4的機率不賺不賠。若放$10,\!000$元於投資$A$, 則一年後之獲利$X$, 為一離散型的隨機變數, p.d.f.為(略去" 元 '', 底下同)    

\begin{eqnarray*} f_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1/2 & ,x=10,\!000,\cr 1/4 & ,x=-5,\!000,\cr 1/4 & ,x=0\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

若放$10,\!000$於投資$B$, 則一年後之獲利$Y$, 亦為一離散型的隨機變數, p.d.f.為

依上述條件, 則投資$A$與投資$B$獲利之期望值及變異為何？  提示

　

例 9. 某項食品是以機械填裝, 每包標示16公斤。若容量不足, 顧客可能會抱怨, 若容量過多, 公司也有損失。令$X$表每包之容量，且$X$有 $\mathcal{U}[15.8,16.2]$分佈。

(i) 則平均而言, 機器填裝的容量是否正確，且其變異為何？  

 (ii)若公司引進新機器, 新的容量$Y$之p.d.f.為

\begin{eqnarray*} g(y)=\left\{ \begin{array}{ll} 25(x-16)+5 & ,15.8\leq x< 16, \... ...(16-x)+5 & ,16\leq x<16.2\raisebox{-1.2mm}{.} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

則其填裝之變異是否有下降？  提示

        圖6.1給出$X$及$Y$p.d.f.之圖形。由圖形亦可看出$Y$之變異數較$X$之變異數小: 較多的機率配置在$Y$之期望值的近傍。

\begin{picture}(0,90)(130,-5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){95}} %x \put(0,0)... ...}} \put(5,-30){(a) \ $X$之p.d.f.} \put(165,-30){(b) \ $Y$之p.d.f.} \end{picture}

    

圖6.1 例 9中$X$及$Y$p.d.f.之圖形


  定理 3.設$X$為一隨機變數, 則下述二式成立, 其中$a,b$為常數。               證明

$\displaystyle \mbox{Var}(aX+b)=a^2\mbox{Var}(X),$

(6.9)

$\displaystyle \mbox{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.10)

　      由於變異數一定不是負的, 故由(6.10)式得

$\displaystyle E(X^2)\geq (E(X))^2\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.11)

      又由(6.9)式可看出常數的變異數為0。若存在一常數$b$, 使得$P(X=b)=1$, 則因$E(X^2)=b^2$, $E(X)=b$, 故 $\mbox{Var}(X)=0$。反之, 若 $\mbox{Var}(X)=0$, 則存在常數$b$, 使得$P(X=b)=1$。


例 10. 投擲一公正的骰子, 令$X$表所得之點數。試求$X$之變異數及標準差。  提示


例 11. 對一事件$A$, 如例3.5, 令$I_A$表$A$之指示函數, $I_A$為一只取0,1兩個值之隨機變數。且$I_A=1$, 若$A$發生, $I_A=0$, 若$A$不發生。試求$I_A$之變異數及標準差。  提示

 

例 12. 設隨機變數$X$之p.d.f.為

\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {1}{x\log 2}, 1\leq x\leq 2\raisebox{-1.2mm}{.} \end{eqnarray*}

試求$X$之變異數及標準差。提示

        

        對一隨機變數, 於給出一次及二次動差後, 對其分佈有了基本的了解。所謂分佈, 就是一隨機變數的值之散佈情況。由於散佈著, 我們才又想以一些基本的量來描述散佈的情況。這就是動差的功能。

       另外, 亦可以一些轉換, 來描述隨機變數的分佈。介紹幾個常見且可以唯一決定隨機變數之分佈的轉換。設$X$為一隨機變數。

　

 若$X$只取非負整數值, 且$P(X=k)=a_k$, $k=0,1,\cdots$, 其母函數(generating function, 或稱生成函數)

$\displaystyle g(s)=E(s^{X})=\sum_{k=0}^{\infty} a_k s^k, \vert s\vert\leq 1\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.12)

 可看出$g(1)=1$。又

(6.13)

　

 若$X$為非負, 則往往考慮其拉普拉斯轉換(Laplace transform)

$\displaystyle \phi(s)=E(e^{-sX}), s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.14)

 顯然$\phi(0)=1$。若$X$為連續型, 有p.d.f.$f$, 則

$\displaystyle \phi(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-sx} f(x)dx, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.15)

若$X$為離散型, 取值在 $\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots\}$, 且 $P(X=\lambda_k)=p_k$, 則

$\displaystyle \phi(s)=\sum_{k=0}^{\infty} p_ke^{-s\lambda_k}, s\geq 0\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.16)

　

 特徵函數(characteristic function)則是對所有隨機變數均適用, 且必存在:

$\displaystyle \psi(t)=E(e^{itX}), t\in R, i=\sqrt{-1}\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.17)

仍有$\psi(0)=1$。

       

       由這些轉換, 也可得到$X$之各次動差。例如, 設$\phi(s)$為$X$之拉普拉斯轉換。則只要$X$的次動差存在,

$\displaystyle E(X^n)=(-1)^{n} \left.\frac {d^n \phi(s) }{ds^n}\right\vert _{s=0}=(-1)^{n}\phi^{(n)}(0)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.18)

又這些轉換只要存在, 彼此便有一簡單的關係。例如,

$\displaystyle \phi(s)=g(e^{-s}), s\geq 0,$

(6.19)

$\displaystyle g(s)=\phi(-\log s), 0<s<1\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.20)

$\displaystyle M(t)=E(e^{tX})$

(6.21)

稱為$X$之動差母函數(moment generating function)。不過動差母函數不一定存在, 有時只在$t$屬於某一範圍才存在, 但必存在。

       動差母函數若存在, 亦可經由微分得到動差:

$\displaystyle E(X^n)=\left.\frac {d^n M(t)}{dt^n}\right\vert _{t=0}=M^{(n)}(0)\raisebox{-1.2mm}{.}$

(6.22)



例 13. 設隨機變數$X$有 $\mathcal{E}(\lambda)$分佈, $\lambda>0$。$X$之p.d.f.為 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, $x>0$。 求之拉普拉斯轉換及動差母函數。另外，$X$之期望值及變異數為何？  提示

 

  進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 基本概念。數理統計講義第一章。國立高雄大學應用數學系。

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