雙曲函數及反三角函數

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        有一些指數函數的合成在分析及工程上用途不小，因此對這些特別的合成我們加以命名。這些函數統稱雙曲函數，分別為 hyperbolic sine (簡稱)，hyperbolic cosine ( )，hyperbolic tangent () 等。其定義為

                  ， ，

   ， ，    

                      ， 。    

這些函數當然跟三角函數毫不相干，但它們與三角函數有一些類似的性質，此由它們的定義方式也可看出。又因

，

故若令，，則，其圖形恰為一雙曲線，這是命名為雙曲函數的原因。

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        我們列出雙曲函數的一些基本性質。

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        其次我們討論反三角函數，這是積分學裡重要的函數。首先看 sine 函數。欲反函數存在，必須此函數在某區間為單調才行。當然這種區間很多，如， ，等皆是。通常我們挑取，並定義一新函數 如下：

。

這樣定義的函數為嚴格漸增，並對每一 間的實數皆能取值。即為自映至的 1-1 且映成的函數。故有一唯一的反函數由 映至。此函數稱為反正弦函數，以 arcsin 或表之。若採用要特別小心，為 的反函數，而非 。故

表

。

因

，

故

。

但欲上式成立， 不可等於 或 。故得(將 與交換)

。（1）

        由（1）式又得下述不定積分的公式：

。（2）

當然我們理解欲使上式成立，須屬於 。此正如 arcsine 函數是定義在 間，但只在可微。

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        其次討論 cosine 及 tangent 函數的反函數。對於 cosine 函數，我們通常取定義域為區間 ，在此區間中 cosine 為自映至的 1-1 且映成的函數，因此反餘弦函數存在，以 arccos 或 表之。故

表

。

至於 tangent 函數，取定義域為區間 ，則可定義反正切函數，以 arctan 或 表之。故

表

。

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        如同得到（1）式，可得下述微分公式：

，（3）

及

        由（3）式又得下述結果。

比較（2）式與（5）式，即得

。又由（3）式也導致下述不定積分的公式：

由（4）式也得

及

        若利用分部積分及（1）式，可得

同理有

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        同理，也可定義 cotangent , secant 及 cosecant 函數之反函數。又我們令取值在，取值在。取成這種奇特的值域是為了積分上的方便。而取值在。由此即得 

及

另外，亦有

由上述這些反三角函數的導數公式，不難看出為何在積分中，若需用到反三角函數， 我們通常 (也只需要) 採用 arc sine，arc tangent 及 arc secant 函數便夠了。我們先給三個常用的積分公式。

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例 1. 對 ，試證

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        三角函數及反三角函數皆為重要的超越函數，有了這兩類函數，可大幅度地提高我們積分的能力。有趣的是，反三角函數的導數皆不再是超越函數，而為代數函數。三角函數的導數則仍為三角函數。如同對數為指數的反函數，指數函數的導數仍為超越函數，而對數函數的導數就成為代數函數了。

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例 2. 求 及。  

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例 3. 求 。   

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例 4. 求 。    

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