指數及對數函數之進一步討論 a 我們先看指數及對數函數的泰勒展式。 首先由 , 兩側對 積分,由 0 至 ,得 , 即 。 其中第 次泰勒多項式 , 餘項 。 a
a a
a 若利用 記號,由以上的結果可得 , 。 a 例 3.試證 a 底下我們來看比 ,更一般的結果。 a
a 。 又仿上述定理,亦可得一關於連續變數的結果。 a
a 對數函數及指數之漸增或漸減,有許多有趣的性質,底下為一例。
a 。 在『對數』中,我們曾提過對數函數成長緩慢。相反地,指數函數成長極快速。下述定理顯示,對數函數成長速度較任意正的乘冪皆慢,而指數函數之成長快過任意之乘冪。 a
a 利用記號,上定理可表示為 , 。 不論 多大及 多小,只要二者皆為正,則 趨近至 的速度慢過 ,而 趨近至的速度又慢過 。 a a 在『極限之不定形』我們曾提過尚有一些不定形之極限未處裡,即 和 的形式,這些經適當地轉換後,皆可化為 或 的不定形。有關對數或指數的不定形,也常可藉助前定理來處理。 a a a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 指數及對數函數之進一步討論。微積分講義第五章,國立高雄大學應用數學系。 |