可分離的微分方程式

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　　微分方程式

\begin{displaymath} y'=f(x,y), \end{displaymath}

若 $f(x,y)=Q(x)R(y)$, 便稱此為一階之可分離微分方程式。諸如, $y'=x^3$, $y'=\sin y\log x$ 皆為可分離之微分方程式。若 $R(y)\neq 0$, 則 $y'=Q(x)R(y)$ 可改寫為

\begin{displaymath} A(y)y'=Q(x), \end{displaymath} (4.1)
其中 $A(y)=1/R(y)$。下述定理給出可分離的微分方程式之解。        

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定理 1.設 $y=f(x)$ 為 (4.1) 式之任一解, 且設 $f'$ 在某一開區間 $I$ 為連續。又設 $Q$ 及合成函數 $A\circ f$ 亦皆在 $I$ 連續。令 $G$ 為 $A$ 之一 反導數, 即 $G=A$。則 $G$ 滿足

\begin{displaymath} G(y)=\int Q(x)dx+C, \end{displaymath} (4.2)
其中 $C$ 為一常數。反之, 若 $y$ 滿足 (4.2), 則 $y$ 為 (4.1) 之一解。        證明

 

　　(4.2) 式亦可以 $A$ 來表示。由 (4.3) 得

\begin{displaymath} \int A(f(x))f'(x)dx=\int Q(x)dx+C\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
在上式中, 若令 $y=f(x)$, 則, 即得
\begin{displaymath} \int A(y)dy=\int Q(x)dx+C\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (4.5)
因為 $A$ 之一反導數, 故上式為 (4.2) 式之另一寫法。事實上, 由 (4.1) 直接得到 (4.5) 為萊布尼茲符號之有效性的另一佐證。我們可在 (4.1) 中, 先將 $y'$ 寫成 $dy/dx$, 然後將 $dy/dx$ 假設為 $dy$ 除以 $dx$, 再兩側各乘以 $dx$ 得
\begin{displaymath} A(y)dy=Q(x)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
最後, 左、右各附上一積分符號, 右側加上一常數便得 (4.2) 式。這種方式常常行得通, 彷彿定理 4.1 中之證明皆為多餘。


例 1.試解

\begin{displaymath} (x+\sec^2 x)+(y-e^y)y'=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}   
　


例 2.試解

\begin{displaymath} \frac 1{\sqrt {1-x^2}}+\frac 1 y\frac {dy}{dx}=0,\ y>0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}　　　

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 可分離的微分方程式。微積分講義第十一章，國立高雄大學應用數學系。