二階線性微分方程式

  a

  在上一節對一階線性微分方程式

\begin{displaymath}
y'+P(x)y=Q(x),
\end{displaymath}

我們不但證出了解的存在及唯一性, 並能將解明確地給出本節我們來討論二階線性微分方程式, 即

\begin{displaymath}
y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=R(x),
\end{displaymath}

(3.1)

其中 $P_1$$P_2$ 稱為此方程式之係數雖然對 (3.1) 式亦有一對應的存在且唯一性的定理, 但除了一些特例外, 對一般的二階線性微分方程式, 我們並無法明確地給出其所有解在此我們並不擬討論一般形式的二階線性微分方程式的解, 而只討論最簡單 的常係數的微分方程式, 即 $P_1$$P_2$ 皆為常數首先我們看齊性的情況, 即 $R(x)=0$

  常係數的齊性線性微分方程式, 即

\begin{displaymath}
a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_n y=0,
\end{displaymath}

(3.2)

為第一種完全被解出之微分方程式歐拉在西元 1743 年首先提出了解法這種微分方程式產生自許多應用的問題, 不過在此我們只看 $n=2$ 的情況

  設有一常係數的二階線性微分方程式

\begin{displaymath}
y''+ay'+by=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

(3.3)

我們想找一在整個實數 $R$ 上的解顯然 $y\equiv 0$ 為一解, 這種解稱為無聊解 我們有興趣的當然是找非無聊解 首先看 $a=0$ 的情況, 此時方程式成為 $y''+by=0$底下我們來看在此情況下, 不但可很容易地找出其解, 並可藉此立即得到 (3.3) 的解

例 1.$a=b=0$, 即有一方程式 $y''=0$我們想找出在 $(-\infty ,\infty )$ 上之解由於$y'$為一常數, 設$y'=c_1$(如此$y'$之導數才會為 0), 因此 $y$ 必有下述形式:

\begin{displaymath}
y=C_1 x+C_2,
\end{displaymath}

其中 為常數反之, 對任二給定之常數 , 一次多項式 $y=C_1 x+C_2$ 必滿足 $y''=0$ 故我們找出了此時之所有解


  其次設 $b\neq 0$, 我們分為 $b<0$$b>0$ 二情況


例 2.考慮 $y''+by=0$, 其中 $b<0$$b<0$, 將 $b$ 寫成 $b=-k^2$, 其中 $k>0$, 則微分方程式成為

\begin{displaymath}
y''=k^2 y\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

不難看出 $y=e^{kx}$$y=e^{-kx}$ 皆為解 由此可得此二函數之線性組合

\begin{displaymath}
y=C_1 e^{kx}+C_2 e^{-kx}
\end{displaymath}

皆為解, 其中 為任意二常數稍後我們會證明, 上式便包含所有的解


例 3.考慮 $y''+by=0$, 其中 $b>0$$b$ 寫成 $b=k^2$, 其中 $k>0$則微分方程式成為

\begin{displaymath}
y''=-k^2 y\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

再度由觀察法得知 $y=\cos kx$$y=\sin kx$ 皆為解由此又得其線性組合

\begin{displaymath}
y=C_1\cos kx+C_2\sin kx,
\end{displaymath}

其中 為任二常數, 亦為解稍後我們也會證明, 上式便包含了 所有的解


  對一常係數的二階線性微分方程式, 我們來看如何化為 $a=0$ 的形式, 因而可藉 上二例而解出

  我們的想法是這樣的$y=uv$, 其中 $u$, $v$ 為二函數

\begin{displaymath}
y'=uv'+u'v,\ \ y''=uv''+2u'v'+u''v\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$\displaystyle y''+ay'+by$              

(3.4)

$\displaystyle =uv''+2u'v'+u''v+a(uv'+u'v)+buv$

 

$\displaystyle =(v''+av'+bv)u+(2v'+av)u'+vu'' \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}$

 

現選取 $v$, 使得 $u'$ 之係數為 0, 即 $v$ 要滿足

\begin{displaymath}
2v'+av=0,
\end{displaymath}

故可取 $v=e^{-ax/2}$對此 $v$, $v''=-av'/2=a^2v/4$, 且 (3.4) 中之 $u$ 的係數成為

\begin{displaymath}
v''+av'+bv=\frac {a^2 v}4-\frac {a^2 v} 2+bv=\frac {4b-a^2} 4v\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

因此 (3.4) 式成為

\begin{displaymath}
y''+ay'+by=(u''+\frac {4b-a^2}4 u)v\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$v=e^{-ax/2}$ 必不為 0, 故若 $y$ 滿足

\begin{displaymath}
y''+ay'+by=0,
\end{displaymath}

$u$ 滿足

\begin{displaymath}
u''+\frac {4b-a^2} 4u=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

即證出下述定理

  a

定理 1.$y$$u$ 為二函數, 且 $y=ue^{-ax/2}$則在 $(-\infty ,\infty )$ 上, $y$ 滿足

\begin{displaymath}
y''+ay'+by=0,
\end{displaymath}

若且唯若 $u$ 滿足

\begin{displaymath}
u''+\frac {4b-a^2} 4u=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

  a

  上述定理即將解 $y''+ay'+by=0$ 之問題, 轉為解 $y''+by=0$ 的問題而例 2 及 3 已給出此種方程式之非無聊解但除了 $b=0$ 的情況外 (見例 1), 我們其實尚未證明已找出所有解先給下述唯一性的定理
 a

定理 2.$f$$g$ 二函數在 $(-\infty ,\infty )$ 上滿足 $y''+by=0$, 且設 $f$$g$ 滿足下述起始條件

\begin{displaymath}
f(0)=g(0),\ f'(0)=g'(0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$f(x)=g(x)$, $\forall x\in R$。                                                  證明

  a
註.上定理指出若 $y''+by=0$ 有二解, 且此二解在 0 之值及導數皆相同, 則此二解必 完全相等事實上, 不難看出選取 “0” 並不特別重要若將 0 換為任一實數 $\xi$, 即設二解在 $\xi$ 之值及導數皆相同, 則此二解仍必完全相等證明仍類似, 只要將對 0 之泰勒展式改為對 $\xi$ 之泰勒展式即可

  利用前述唯一性定理, 我們便可決定 $y''+by=0$ 之所有解

定理 3.對任一 $b\in R$, $y''+by=0$, 在 $(-\infty ,\infty )$ 之解 有下述形式:

\begin{displaymath}
y=C_1u_1(x)+C_2 u_2(x),
\end{displaymath}

(3.6)

其中 為二常數, 而

(i) 若 $b=0$, 則 $u_1(x)=1$, $u_2(x)=x$;

(ii) 若 $b=-k^2<0$, 則 $u_1(x)=e^{kx}$, $u_2(x)=e^{-kx}$;

(iii) 若 $b=k^2>0$, 則 $u_1(x)=\cos kx$, $u_2(x)=\sin kx$。        證明

  

  綜合以上的結果, 我們便可決定一般的 $y''+ay'+by=0$ 之解

  首先定理 1 指出 $y$$y''+ay'+by=0$ 之一解, 若且唯若 $y=ue^{-ax/2}$, 其中 $u$ $u''+\frac 1 4(4b-a^2)u=0$ 之一解而由定理 3 知, $u$ 之解又與 $4b-a^2$ 之 符號有關我們便將 $a^2-4b$ 稱為 $y''+ay'+by=0$ 之判別式, 並以 $d$ 表此值 我們陳述結果如下

  a

定理 4.$d=a^2-4b$則在 $(-\infty ,\infty )$, $y''+ay'+by=0$ 之解有下述形式:

\begin{displaymath}
y=e^{-ax/2}(C_1u_1(x)+C_2u_2(x)),
\end{displaymath}

(3.8)

其中 為二常數, 而

(i) 若 $d=0$, 則 $u_1(x)=1$, $u_2(x)=x$;

(ii) 若 $d>0$, 則 $u_1(x)=e^{kx}$, $u_2(x)=e^{-kx}$, 其中 $e=\sqrt {d}/2$;

(iii) 若 $d<0$, 則 $u_1(x)=\cos kx$, $u_2(x)=\sin kx$, 其中 $k=\sqrt {-d}/2$

  a

  在上定理中, 若 $d>0$, 則 (3.8) 可改寫為

\begin{eqnarray*}
y &=& C_1e^{(-a/2+k)x}+C_2 e^{(-a/2-k)x} \\
&=& C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x},
\end{eqnarray*}

其中

\begin{displaymath}
r_1=-\frac a 2+k=\frac {-a+\sqrt {d}}2,\ \ r_2=-\frac a 2-k=\frac {-a-\sqrt {d}}{2},
\end{displaymath}

(3.9)

恰為方程式

\begin{displaymath}
r^2+ar+b=0
\end{displaymath}

(3.10)

之二根(3.10) 式便稱為微分方程式 $y''+ay'+by=0$ 之特徵方程式

  若 $d<0$, 則 (3.9) 中之 $r_1$$r_2$ 為 (3.10) 之二複數根由指數的性質知, (3.8) 中之 $y$ 仍可寫成 $C_1
e^{r_1 x}+C_2e^{r_2x}$, 只是 就不一定為實數了

  (3.8) 所給的 $y$ 便是 $y''+ay'+by=0$ 之一般解, 任給二常數, 所得的 $y$ 便為一特別解例如,

\begin{displaymath}
v_1(x)=e^{-ax/2}u_1(x),\ \ v_2(x)=e^{-ax/2}u_2(x),
\end{displaymath}

皆為特別解$v_1$$v_2$ 之線性組合, 便給出所有的解任二解若具有此性質, 便稱為解集合之一基底一微分方程式之基底並不唯一例如, 設 $y''=9y$, 則 $v_1=e^{3x}$$v_2=e^{-3x}$ 為一組基底, 而 $w_1=\cosh 3x$$w_2=\sinh 3x$ 亦為一組基底事實上, 因

\begin{displaymath}
v_1=w_1+w_2,\ \ v_2=w_1-w_2,
\end{displaymath}

故每一 $v_1$$v_2$ 之線性組合亦為 $w_1$$w_2$ 之線性組合$w_1$$w_2$確為一組基底甚至可證明 , 任一對 $y''+ay'+by=0$ 之解 $v_1$$v_2$, 只要 $v_2/v_1$ 不為常數, 便形成一組基底

  其次, 我們來看非齊性之二階線性微分方程式之解設有一方程式

\begin{displaymath}
y''+ay'+by=g(x),
\end{displaymath}

(3.11)

其中 $a$, $b$ 為常數, $g$ 為一定義在 $(-\infty ,\infty )$ 之函數$y_1$$y_2$ 皆為 (3.11) 之解, 則因

\begin{eqnarray*}
y_1''+a_1y_1'+by_1 &=& g(x), \\
y_2''+a_1y_2'+by_2 &=& g(x),
\end{eqnarray*}

\begin{displaymath}
(y_2-y_1)''+a_1(y_2-y_1)'+b(y_2-y_1)=0,
\end{displaymath}

因此 $y_2-y_1$ 為方程式 $y''+ay'+by=0$ 之一解

\begin{displaymath}
y_2-y_1=c_1 v_1+c_2 v_2,
\end{displaymath}

其中 $c_1v_1+c_2v_2$ 為齊性方程式 $y''+ay'+by=0$ (稱為 (3.11) 之輔助方程式 ) 之一般解故任二 (3.11) 之解 $y_1$$y_2$, 滿足

\begin{displaymath}
y_2=c_1v_1+c_2v_2+y_1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

故若能找到 (3.11) 之一特別解 $y_p$, 則

\begin{displaymath}
y=c_1v_1+c_2v_2+y_p
\end{displaymath}

(3.12)

可表示出所有解, 其中 $c_1$$c_2$ 為常數而 (3.12) 中之 $y$ 也就是 (3.11) 之一般解 我們即證出下述定理

  a

定理 5.$y_p$ 為(3.11) 之一特別解, $y_c$ 為對應的齊性方程式之一般解, 則 $y_p+y_c$ 便為 (3.11) 之一般解

  a

例 4.求下述方程式之解

\begin{displaymath}
y''+y=2x\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}   

解.由觀察法得 $y_p=2x$, 而輔助方程式

\begin{displaymath}
y''+y=0
\end{displaymath}

之一般解為

\begin{displaymath}
y_c=c_1\cos x+c_2\sin x\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$y''+y=2x$ 之一般解為 $y=c_1\cos x+c_2\sin x+2x$

  底下我們給一得到特別解的方法, 此法稱為參數變分法, 為 Johann Bernoulli 在西元 1679 年首先用來解一階線性微分方程式, 而 Lagrange 在西元 1774 年用來解二階線性微分方程式

  a

定理 6.

\begin{displaymath}
v_1(x)=e^{-ax/2}u_1(x),\ \ v_2(x)=e^{-ax/2}u_2(x)
\end{displaymath}

為 (3.8) 式所給 $y''+ay'+by=0$ 之解

\begin{displaymath}
W(x)=v_1(x)v_2'(x)-v_2(x)v_1'(x),
\end{displaymath}

(3.13)

且設 $W(x)$ 恆不為 0$y_p$ $y''+ay'+by=g(x)$ 之一特別解, 其中

\begin{displaymath}
y_p(x)=t_1(x)v_1(x)+t_2(x)v_2(x),
\end{displaymath}

(3.14)

而                                                                                                                       證明

\begin{displaymath}
t_1(x)=-\int v_2(x)\frac {g(x)}{W(x)}dx, t_2(x)=\int
v_1(x)\frac {g(x)}{W(x)}dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

(3.15)

  a

  (3.13) 之 $W(x)$ 便稱為 $v_1$$v_2$ 之 Wronskian又上述定理中之 $t_1$$t_2$ 是以不定積分來表示, 不定積分中有積分常數但可看出對任二 $t_1$$t_2$, $(t_1(x)+c_1)v_1(x)+(t_2(x)+c_2)v_2(x)$, 其中 $c_1$$c_2$ 為二常數, 仍為一特別解

例 5.求下述方程式之解

(i) $y''+y=\tan x$; (ii) $y''+y=\sec x$。  

 

  雖然定理 6 提供一找特別解的方法, 但當 $g(x)$ 有一些特別的形式時, 有時會有一些特別但卻較容易的方法我們以底下一些例子來說明


例 6.$g(x)$ 為一 $n$ 次多項式, 且 $b\neq 0$, 則可試一 $n$ 次多項式
$y_p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ 為特別解, 將 $y$ 代入 $y''+ay'+by=0$, 再比較同一 $x$ 乘冪的係數, 便可解出 $a_0$, $a_1,\cdots,a_n$

  例如, 解 $y''+y=x^3$。 

  若 $b=0$, 則一 $n$ 次多項式並無法滿足 $y''+ay'=g(x)$, 其中 $g$ 為一 $n$ 次多項式但一 $(n+1)$ 次多項式便可能會滿足 $y''+ay'=g(x)$, 只要 $a\neq 0$$a=b=0$, 此時方程式成為 $y''=g(x)$, 顯然一般解為一 $(n+2)$ 次多項式


例 7. $g(x)=p(x)e^{mx}$, 其中 $p$ 為一 $n$ 次多項式, $m$ 為一常數此時若令 $y=u(x)e^{mx}$, 則將 $y''+ay'+by=g(x)$ 轉化為

\begin{displaymath}
u''+(2m+a)u'+(m^2+am+b)u=p(x),
\end{displaymath}

成為一上例中的形式因此可找到一多項式的解 $u_1$ $y_p=u_1(x)e^{mx}$ 為原式之一特別解 $m^2+am+b\neq 0$, $u_1$ 之次數與 $p(x)$ 相同$m^2+am+b=0$$2m+a\neq 0$, 則 $u_1$ 之次數較 $p(x)$ 多 1 $m^2+am+b=2m+a=0$, 則 $u_1$ 之次數較 $p(x)$ 多 2

  例如, 求 $y''+y=xe^{3x}$ 之解


例 8. $g(x)=p(x)e^{mx}\cos \alpha x$ $g(x)=p(x)e^{mx}\sin \alpha x$, 其中 $p$ 為一多項式, $m$$\alpha $ 皆為常數此二種情況皆可試特別解

\begin{displaymath}
y_p(x)=e^{mx}(q(x)\cos\alpha x+r(x)\sin\alpha x),
\end{displaymath}

其中 $q$$r$ 皆為多項式

        

               

  a

進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 二階線性微分方程式微積分講義第十一章,國立高雄大學應用數學系。