9 相關性
戰國時代“和氏之璧”的故事，相信聽過的人不少。若想知道詳細內容，當然是上網google一下。在某網站對此故事的介紹裡，還列出“相關事件：藺相如完璧歸趙”。喔！這的確相關，也就順便看一下。有些購物網站，當你在查詢某物品時，會出現一句“瀏覽此商品的人，也瀏覽…”，或“買此商品的人，也買了…”，底下則列出若干物品，供你參考。而網站所建議的物品中，有些的確讓你產生興趣，覺得與你所查詢的相關。網路時代，讓相關資料的搜尋，更為便捷。生活裡，人們常會主動或被動，接觸到相關事件。如警方辦案，須從千頭萬緒中，找出與案情相關的線索。
在“數學素養研究計畫”中，所訂出的四大數學知識素養領域裡，第一個是“變化與關係”，可見其重要性。變化為大家所熟知。四時行焉，百物生焉，變化不斷。除了物理變化，及化學變化外，還有友情、天氣、經濟等，幾乎什麼都可有變化。至於關係，也是很多事物間，都可拉上關係。有些是一看便知有關連。如父子關係，身高與體重的關係等。有些關連則不是那麼明顯，但被探索出來。如之前提過的，獅子、老虎、豹，及貓等動物，除了都是哺乳動物外，看似沒什麼特別的關係。但其實牠們在動物的分類裡，皆屬貓科，有共同的祖先，這就不見得普遍為人所知了。又如中學數學裡，方程式的根與係數之關係，及直角三角形三邊長之關係(即畢氏定理)等，都是被探索出來的性質。另外，對多變的事物，人們常企圖掌握其變化。像是對兩個量，若能知道其間的關係，將有助於了解，一量如何隨另一量而變。
有兩種關係很令人感興趣。其一為函數關係，其二為因果關係。函數不過就是一種對應關係。假設有二集合A與B，分別稱為定義域及對應域，若每一A中的元素，都恰有一B中的元素與之對應，便稱此為一由A至B的函數。函數關係處處可見，如在台灣，每一國民皆有一身分證字號。由國民對應到身分證字號，便產生一函數。兩個量若有函數關係，其關係便很強，給定定義域中一x，其對應的y便完全確定。至於因果關係，則是指在某假設(或說前提)下，會導致某結論必然成立。所以若不想要該結論發生，就要避免前提發生。例如，酒醉開車易肇事。肇事害人害己，必須避免，於是酒喝到一個標準後，就被禁止開車。有些因果關係較明顯，如任一偶數(前提)的平方，仍為偶數(結論)；有些則須花些功夫去證明，如任給一三角形(前提)，其垂心、外心及重心三點共線(結論，此線稱為歐拉線)。
如果兒子的身高(y)，是其父親身高(x)的一個函數，則父親有多高，兒子一旦出生，其成年後的身高，便定下來了。只是既然造出這個隨機世界，就不會讓事情這麼單調。由於遺傳，父子的身高的確有相當強的關係，但如果就是函數關係，便失去隨機性了。那隨機世界裡，有沒有因果關係？
2017年3月19日，中時電子報有一則新聞的標題是“研究：多養1個小孩多活1年”。有這種事？來看一下內容。這是由瑞典科學家領導的一項大型研究。對1911年至1925年間出生，共70萬名男性，及72.5萬名女性，分析其子女數目、教育程度、婚姻狀態，及死亡時間等。研究指出，男性60歲沒有子女者，能再存活約18.4年；至少有1子女者，則能再存活約20.2年，多活約1.8年。至於女性，60歲沒有子女者，能再存活約23.1年；至少有1子女者，能再存活約24.6年，多活約1.5年。原來只是比較有小孩跟沒小孩兩個族群，且是比60歲以後。並無標題顯示的多1個小孩(因)，會多活1年(果)的意思。事實上，若有子女，則年紀大後，可能較有人照顧及陪伴，如此身心會較健康、生活品質會較佳，是有助長壽。但年輕時若小孩過多，難免較操勞，再加上經濟負擔較重，是否會有損健康，使有些人連60歲都活不到？總之，長壽或短命的原因很多，絕非由單一小孩多寡的因素所決定。況且，人之間的差異性很大，定出比較規則，如比平均壽命，或比長壽的比例，再經一嚴謹的假設檢定，是可判定兩個族群的壽命，能否分出長短。但不宜只針對二人比較。因同樣的因素，對不同的人，效果可能完全相反。換句話說，隨機世界裡，即使討論因果關係，與數學中必然成立的因果關係，意義也可能大不相同。
網站搜尋功能日益提升，可快速地找出較相關之事物，供決策者參考。譬如說，Google網站，由短期間內，擁入多人查詢有關流感的病情，及如何用藥等，推斷流感快爆發了。這種利用搜尋流感的資料，與流感流行有相關性來預測，有時比官方做的預測，更及時且經濟。只是兩因素間之相關性高，並不表其間有因果關係。在著名的“尿布與啤酒”事件裡，美國百貨連鎖店Wal-Mart，由檢視顧客的購物清單，發現在列有尿布或啤酒的帳單裡，二者同時出現的比例不小。但總不至於說，尿布的使用者，較可能愛喝啤酒。但數據分析，只能做到這裡，想了解原因，得另行調查。有些號稱是大數據專家者，認為在數據可大量且快速分析的時代，只須看重相關性，不必花功夫在探索難以捉摸的因果關係上。像尿布與啤酒，就放在一起賣，何須管為什麼？
查詢流感者，或許不見得染病，而有其他目的，如為了寫報告等，但應有很多是由於自己、家人或朋友染病了；尿布與啤酒同時出現在帳單裡，即使非同一人使用，總是同一家的人在用。對這類情況，若只在意相關性，大致無妨，但並非永遠都如此。曾有一則新聞的標題是“O型、射手座、已婚男 最易中彩券”。愛買彩券的人不少，但向來求明牌似乎都不見效果。如今發現中獎與血型、星座、婚姻狀態，及性別相關，那是否幾項都符合的，該趕緊去買？因不是說看重相關性就好，不必在乎因果關係？事實上，單看血型一項，就可了解並非所有相關性都值得看重。台灣的居民裡，O型血佔最多，超過4成，因此中獎者以O型血最多，只是吻合而已。這就如若看到報導，新北市歷來開出最多頭獎，則購買彩券時，須特地跑去新北市嗎？大可不必。因新北市的人口，乃全台各縣市中最多的，理應有最多頭獎落在該市。縣市跟中獎相關性雖高，卻對中獎無影響。
相關性高，但其間沒有因果關係的例子處處可見，我們從黃文璋(2016)一文中，找出幾個來看。不少人擔心罹患阿茲海默症(Alzheimer’s disease)，尤其是婦女，因有研究指出，病患中約有三分之二是女性。但這項研究其實是說，性別與罹患阿茲海默症的相關性很高，不能就解讀成女性較易罹病。要知阿茲海默症，較多發生在年紀較大時，而女性平均壽命比男性長，因此罹病者以女性居多，乃屬合理。不可忽視其中的“干擾因素”(confounding factor)─壽命。另外，統計顯示磨牙的病患裡，學歷高的較多。只是若將“磨牙與學歷的相關性很高”，解讀成“教育程度較高的人，比較容易磨牙”，就不對了。事實上，學歷較高者，工作職務可能較高，壓力遂也可能較大，有些便以磨牙來舒緩壓力。所以，是壓力大造成易磨牙，高學歷是無辜的。另一可能性是，教育水準較高的人，可能也較了解健康之重要，當發現自己不對勁地磨牙時，懂得該去看醫生。壓力及知道照顧自己，都可能是干擾因素。還有一類常見的例子。當可樂銷量大時，醫院腸胃科的門診人數也較多。看到此相關性高的統計結果，並不必因此就認為喝可樂易傷腸胃。因可樂銷量大，往往是天氣炎熱時。天氣炎熱，使食物易腐敗，導致易吃壞肚子。氣溫為一干擾因素。
總之，在不少情況下，絕不可只看到相關性高，就以為有什麼大發現。因果關係並非都可不去追究，知道相關性就足矣。但這也不表相關性高這一資訊沒用。可由相關性高的因素出發，進一步探索其中是否有由因果關係。警方辦案，當然會從較相關的人、事、時、地、物開始查，這是合理的，具統計裡“最大概似法”(method of maximum likelihood)的想法。但不能僅停留在相關性較高的因素，而棄因果關係於不顧，這樣就常會進入死胡同。
到此你可能好奇，什麼是相關？這其實並無嚴格的定義。同姓是相關，所謂五百年前是一家；同鄉、同事、同學、同行等，都屬相關。二事物在網路上同時出現是相關，經常同時出現，會被認為相關性高。但當然也不一定。同學多年，所以名字常連在一起，看起來相關性很高。不過可能就僅止於這樣而已，彼此一點都不熟，毫不相干。
統計裡引進相關係數(correlation coefficient，有時只稱correlation)，以量測兩變數間之線性相關性(linear correlation)，包含強度及方向。相關係數取值介於-1至1間。若取正值，兩變數便稱正相關；若取負值，兩變數便稱負相關；而當相關係數為0，則稱兩變數無相關(uncorrelated，或稱no correlation)，為一相當實用的“度量器”。
線性關係是一很簡單的關係，加上前述符合度量需求的性質，因此不只在統計裡，在很多科學的領域，都廣被採用來量測兩變數的線性相依程度。由於是為英國統計學家皮爾生(Karl pearson，1857-1936)所首創，且為有別於統計裡其他不同定義的相關係數，有時稱為“皮爾生相關係數”(Pearson’s correlation coefficient，又稱Pearson’s r)。
假設有兩個隨機變數X，Y，其共變異數(covariance) Cov(X,Y)，與兩變數的標準差σX，σY之商，便是相關係數。在此
Cov(X,Y)=E[(X-μX)(Y-μY)]=E(XY)-μX μY，
其中μX及μY，分別為X，Y之期望值。若以ρ表X與Y之相關係數，則便有
ρ = Cov(X,Y)/(σXσY ) = E[(X-μX)(Y-μY)]/(σXσY)= E[((X-μX)/σX)．((Y-μY)/σY)]。
由上式知，相關係數即兩隨機變數經標準化後，乘積之期望值。由於標準化後之隨機變數，期望值為0，標準差為1，所以相關係數，可視為兩隨機變數標準化後之共變異數。兩隨機變數X與Y的相關係數要存在，先決條件是，X與Y之期望值皆存在，及變異數都存在且都不為0。變異數會為0，就是常數了。如果要較嚴密地講，可說此時隨機變數為一常數的機率為1，但並沒太大必要。
可看出Cov(X,X)=Var(X)。即自己跟自己的共變異數，就是變異數。因此共變異數的概念，乃變異數之推廣。如果變異數，是用來度量一隨機變數偏離期望值的程度，則共變異數，便能度量二隨機變數同時偏離各自期望值的程度。若X>μX時，較可能使Y>μY，且若X<μX時，較可能使Y<μY，也就是說X與Y，有同時增大或同時減小之傾向，則(X-μX)(Y-μY)便較可能是正的，因而它的期望值Cov(X,Y)也就較可能為正。反之，若較大的X，有伴隨較小的Y之傾向，且較小的X，有伴隨較大的Y之傾向，則(X-μX)(Y-μY)便較可能是負的，因而它的期望值Cov(X,Y)將較可能為負。也就是Cov(X,Y)之正負，能反映X與Y之增長方向，究竟傾向相同或相反。由於標準差為正值，所以相關係數與共變異數符號相同，且二者同時為0，或同時不為0。因此相關係數為正或為負，分別顯示X與Y之增大與減小的傾向，相同或相反。
我們說過，對二隨機變數X與Y，共變異數是用來度量它們同時偏離各自期望值的程度。但與變異數類似，其值與所採用的尺度有關。例如，對於父與子身高的共變異數，身高單位採用公分，與採用公尺，前者之共變異數為後者之1萬(=1002)倍。不過一旦除以兩標準差後，得到的相關係數，便無此困擾了。相關係數ρ，永遠取值在區間[-1,1]。當ρ很接近0，表X與Y的線性關係較弱；而當ρ很接近1，或很接近-1，表X與Y有較強的線性關係。事實上，當ρ=1，或-1，X與Y便有完美的線性關係，或者說X與Y為完全相關(completely correlated)。即對二隨機變數X與Y，若ρ=1，則存在常數a，b，其中a>0，使得Y=aX+b；若ρ=-1，則存在常數a，b，其中a<0，使得Y=aX+b。
另外，當X與Y獨立時，Cov(X,Y)=0，因而ρ(X,Y)=0。但其逆不真。也就是說，共變異數(或相關係數)為0，此時稱兩隨機變數為無相關(uncorrelated)，並不導致二變數必獨立。甚至，二隨機變數即使無相關，也不表二者沒有關係。例如，自區間[-1,1]隨機地取一個點，以X表之，再令Y=X2。Y是X的平方，二者顯然關係無比密切，知道X後，Y便完全決定了。但底下來看X與Y卻為無相關。因X為一對稱的隨機變數，故E(X)=0，且E(XY)=E(X3)=0，因而Cov(X,Y)=0，即得X與Y為無相關。這種例子很多，如黃文璋(2007)一文之例4亦為一例。仍要強調，相關係數雖說是量測二隨機變數之關連程度(degree of association)，但主要是反映二隨機變數間，線性關係之強度及正負，而非反映任何其他關係。
對於數據，亦可定義其相關係數。設有(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，且分別以̄x，̄y表其平均值，則數據x’s，與y’s之相關係數，一般表示成r，定義為
r =Σni=1(xi-̄x) (yi-̄y)/[(Σni=1(xi-̄x)2 )1/2(Σni=1(yi-̄y)2 )1/2]。
例如，設有數據(1,5)，(3,9)，(4,7)，(5,1)，(7,13)，則̄x=4，̄y=7，且
(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2=20，
(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(1-7)2+(13-7)2=80，
(1-4)(5-7)+(3-4)(9-7)+(4-4)(7-9)+(5-4)(1-7)+(7-4)(13-7)=16。
故得
r = 16/(20．80)1/2=0.4，
曾有報導，同卵雙胞胎，若性別相同，則身高的相關係數很高，達到0.95，這乃可以預期。至於大學成績與將來收入多寡的相關係數，就不見得太高了，說不定還負的。至於婦女的教育程度與小孩數，也有可能是負相關。
參考文獻
1. 黃文璋(2007)。統計裡的關係。數學傳播季刊，31(1)：49-67。
2. 黃文璋(2016)。談統計誤差─假設檢定篇。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)
