7 檢定

數學裡常在證明，在給定的前提下，推導出某些結果成立。如何推導？如同下棋、打牌，各有規則，數學中亦自有一套演繹的邏輯。由給定的前提，一步一步完成證明。不擅長證明的人，數學通常也就學不好。棋下不好，或牌打不好，對人生可能沒什麼影響。但對中學生，若數學不佳，可能會影響到能進的大學學系。幸好就只是這樣而已，不擅長數學，對人生倒不見得有什麼大不好。

以命題來描述，給定的前提稱為A，欲推導出來的結果稱為B。若A成立，則B必成立，便稱此命題為真(或稱成立)，否則稱此命題為偽(或稱不真、不成立)。數學裡，便經常在證明一個又一個的命題為真或為偽。某命題一旦被證明為真，除非能找出漏洞，推翻證明，否則便不必試圖去找反例。只是世事以真偽難辨的居多。由於無法證明，科學家遂習於以“證實”一詞，宣佈其發現。以咖啡為例。“研究證實：愛喝咖啡助長壽”，這是一則新聞的標題。事實上，不時有研究報告指出，喝咖啡的好處多多，除有助長壽外，亦有能降低罹患阿茲海默症的風險之說法。當然證實喝咖啡有害人體的報告也不少。但畢竟僅證實並非證明，因此常是信者恆信，不信者恆不信。科學上究竟是如何證實呢？

“設有一公正銅板，投擲20次，試求出現19個正面的機率。”這是高中數學裡，一道典型的題目。公正銅板，說起來輕鬆無比。因數學中的假設是不須證明的，所以不必質疑銅板是否真的公正；或去想世界上是否存在公正的銅板？而且眾所皆知，做這種題目，並不需去投擲。甚至，根本不必有銅板，就能求出答案了。不過，若真拿到一銅板，且投擲20次，出現10個正面，自然不會懷疑銅板的公正性；但如果出現19個正面呢？恐怕將難相信銅板為公正。只是不論怎麼投擲，都無法證明銅板公正或不公正。銅板是否公正，永遠只有天曉得。實務上，銅板公正，僅能是個假設，就看接受或不接受。如何判定？也就是怎樣才會接受銅板為公正？投擲20次，若只有正面恰好出現10個，才相信銅板公正，便未免太嚴格了。因即使銅板真的公正，此機率才約0.1762。如此一來，將有約82.38%的公正銅板，被誤判為不公正。統計裡發展出檢定一假設，是否可接受的程序，即假設檢定(testing hypothesis)。此亦顯示統計與數學的不同。之前說，數學是從給定的前提下，推導出結果。統計則是由給定的結果，來驗證前提為何。

很多人都聽過檢定，有各種檢定。如象棋與圍棋的棋力檢定等。參加檢定者，依據其測驗或比賽的成績，是否達到某一事先設定的標準，以判定能否通過某級或某段之檢定。想知道自己棋力者，會去參加檢定？而原本已擁有某級(段)證書者，近來有時打敗比他高一級(段)者，自覺棋力進步了，想要晉級(段)，也會去參加檢定。但由於臨場反應等因素，其中無法避免會有運氣成分。

如前所述，數學裡的命題，一旦被證出，就毫無例外地成立，由不得你接不接受，因那已是一事實。統計裡針對一有興趣的假設，若通過檢定，便接受此假設。而就像棋力檢定，檢定的通過與否，機運免不了。因此一通過檢定，被接受的假設，並不表就是事實。這說明了科學上所宣佈的證實，何以總會有人不相信。因那些所謂證實，往往是基於通過了統計假設檢定。故若有人以為通過檢定，只是運氣好，因而不肯相信，乃可理解。科學上的研究，涵蓋面很廣，各式各樣的證實很多。對諸如“科學證實快樂的人有這10個共同點”之類的報導，目不暇給之餘，或許會讓人產生疑惑：就算號稱通過統計檢定，是否假統計之名？

在假設檢定的架構裡，有虛無假設(null hypothesis)，與對立假設(alternative hypothesis)二假設。虛無假設通常表現況，或傾向想推翻的；而對立假設則表傾向接受的。與刑法上的無罪推定原則一樣，雖目的是想推翻虛無假設，但作法卻是儘量保護它，除非佐證夠強，否則不會推翻虛無假設。如此一旦推翻，接受想要的對立假設，才較具說服力。若與棋力檢定的例子對照，虛無假設即目前擁有證書上的級(段)數，對立假設則相當於擬晉的級(段)數。檢定的結論將是接受虛無假設未晉級(段)，或接受對立假設晉級(段)。

之所以執行一假設檢定，乃是因懷疑虛無假設不真。由此應能明白虛無假設何以名之為虛無了。虛無(null)就是空，若經過檢定後，接受虛無假設，表整個過程白費，退回到現況。想想消費者保護會懷疑某食品有毒，大費周章地進行檢定後，宣佈食品合格；被檢察官起訴的嫌犯，最後被法官判定無罪，這些都將落入天下本無事，庸人自擾之的窘境。

在假設檢定裡，通常以H₀及H_a，分別表虛無假設及對立假設。舉例來看。令p表某銅板出現正面的機率。原本銅板被視為公正，若懷疑銅板較易出現正面，則取H₀：p=1/2，H_a：p>1/2；若明確地懷疑p應是0.55，則取H₀：p=1/2，H_a：p=0.55；若只是覺得銅板不公正，則取H₀：p=1/2，H_a：p≠1/2。對隨機現象做決策，要從不誤判幾乎是不可能。會有兩種可能的誤判。其一是H₀為真，卻拒絕H₀，接受H_a，稱此為第一型錯誤；其二是H_a為真卻拒絕H_a，接受H₀，稱此為第二型錯誤。在無罪推定之原則下，通常犯第一型錯誤比較嚴重。因食品明明合格卻被判定有毒，則商譽及銷售都將受損；根本無罪卻被判有罪，可能受罰或坐牢，甚至毀了人生，這種錯誤較難彌補。

先設定一個第一型錯誤機率值之上限α，稱為顯著水準(significance level)。通常α為一較小的值，0.05，0.01，及0.001等，都是常取的值。實務上，究竟怎樣的機率才算小，當然須視情況而定，不能一概而論。如果嫌犯被以死刑罪起訴，則α取成百萬分之1都不算小。在α給定後，便決定何時拒絕H₀，即決定拒絕域。在H₀為真的假設下，出現的結果，若落在拒絕域(機率不能超過α)，便稱得到顯著的(significant)結果，或者說檢定結果為顯著。怎樣的事件才顯著？人們常說“狗咬人不稀奇，人咬狗才稀奇”。小機率事件才屬顯著，因這種事件若發生，將讓人不可等閒視之。結果顯著，動搖了虛無假設的基礎，便該拒絕H₀。出現的結果，若沒有落在拒絕域，表所發生乃機率大的事件，也就是觀測到稀鬆平常的結果，不足為奇。既然H₀的假設，沒有使不合理的現象發生，那就宜照舊，即仍接受H₀。執行一檢定，暗中希望的，是得到顯著的結果。結果顯著，拒絕H₀接受H_a，才表檢定沒白做，是一成功的實驗。在同一α下，拒絕域的選取，若能使第二型錯誤的機率值β最小，當然最好。此時的拒絕域，稱為顯著水準不超過α下之最佳拒絕域。在某些條件下，統計學裡有一套找到最佳拒絕域的方法。

既然犯第一型錯誤較嚴重，那α是否取得愈小愈好？一般而言，α愈小β將愈大，無法兩全。以法庭審判為例，若法官悲天憫人，寧可錯放1千，而不願錯罰1人，對證據的審核高度嚴格，則很多實際有罪者，將被宣判無罪，興高采烈地回家了；作假的不肖商家，可繼續矇騙顧客了。所以α取得過小，便太保護虛無假設，明明不真卻拒絕不了，並非好事。但也不宜為了使檢定易成功，而取太大的α，這樣現況將常被推翻。須視不同狀況，斟酌取適當大小的α。

某公司欲檢定某種研發出來的飲料，喝了是否有助減肥。取H₀：減肥無效，H_a：減肥有效，且取α=0.05。則即使該飲料完全無助於減肥，仍有20分之1的機率，會得到顯著的結果，因而接受設該飲料對減肥有助益。除了那20分之1的犯錯機率外，會不會有人持續做實驗，最後只公佈結果顯著的那件？也就是假統計之名。說不定就是因懷疑這種可能性，使有些人抗拒採信科學上的證實。不誠實的人自然存在，但夜路走多了，總會遇到鬼，作假遲早會被發現。執行假設檢定，萬不可選擇性的公佈結果。

曾修習統計學的課程者，多半以為假設檢定屬較難的題材，至少比信賴區間難。之所以覺得困難，大抵是找最佳拒絕域的部分。不過在很多情況下，憑直觀所得的拒絕域，常就是最佳拒絕域。換句話說，實際應用時，即使沒去想拒絕域是否最佳，但往往得到的就是最佳拒絕域。例如，欲檢定H₀：p=1/2，H_a：p>1/2，其中p表某銅板出現正面的機率。該如何進行檢定呢？要有數據，因此當然是拿起銅板投擲了。投擲n次，以X表正面出現的次數。則直觀上，會將拒絕域，取成{X≥c}的形式。即若正面出現較多次，便接受H_a：p>1/2。至於如何選取c？乃由n及α決定。此一自動浮現出來的，就是最佳拒絕域。

我們再介紹p-值(p-value)。進行一檢定，當得到一觀測值後，人們常會給出p-值。所謂p-值，即在H₀下，會得到比觀測值，至少同樣極端的事件之機率值。對前述檢定銅板是否公正之例，設n=100，且觀測到X=63。則p-值便為p=1/2時，事件{X≥63}之機率。投擲一公正銅板100次，所得正面數比期望值50至少大13，可求出機率約為0.0062。得到此p-值後便知，只要給定的α比0.0062小，就不能拒絕H₀；而若給定的α大於或等於0.0062，就得拒絕H₀。給出p-值，將較能看出，是很有把握地(p-值比α小很多)拒絕H₀，或勉強地(p-值僅比α略小)拒絕H₀。

空氣品質有沒有變好？石化工業對健康是否有影響？這類備受各界矚目的問題，其判定自然得依據嚴謹的假設檢定。至於13號星期五較不吉利嗎？此君值得信賴嗎？這些我們生活上經常會面臨的抉擇，與其靠占卜、星座等，其實亦該仰賴假設檢定的思維。假設檢定是為做較佳決策，該具備的統計概念。