現況可估計嗎？曾有高中數學教師，提出下述問題：“抽屜中有3個蘋果及2個橘子，老師拿了1個橘子放背後，問學生是蘋果的機率為何？”明明確定是橘子，怎會要人求是蘋果的機率？這位數學教師感到很納悶，百思不解。
上述求機率的問題，便是一種估計。舉凡各種猜測、預測及預估，都是估計，只要未知便可估計。“估計錯誤”，是著名歌手及演員謝霆鋒(1980-)，年僅15歲，慘綠少年時，所寫的第一首歌，其中有句歌詞，“計算自己情感，偏偏估計錯誤”。自己的情感，當然是現況，不但可以估計，而且，雖是自己的，仍會估計錯誤。有位婦人懷孕，不時有朋友由她肚子的形狀，或懷孕後身心的反應，來估計她會生男或生女。有人估男，有人估女，還有人說會生雙胞胎。這婦人對眾人的估計，都僅笑而不語，不會隨他們起鬨。她早已由醫生那兒得知，懷的是女孩，這些人明明瞎猜，卻個個都顯然很有把握的樣子。考前猜題也是一樣。明天考試，題目都已印好了，臨時抱佛腳的學生，群聚在教室，此起彼落地呼叫這題必考，因老師上課一再強調，那題不可能考，因老師上課一下子便帶過去了。走過教室的老師，聽到學生在估計他的命題習性，當然覺得很可笑。不論題目是否已經出好，學生只要不知道，便皆可估計那些題會考。但對已知考題的老師，去估計某題會考的機率，便沒有意義。
確定的事可以估計，這種例子向來不少。在金庸(1924-)所著“天龍八部”的第八回，為了救段譽，拈花寺的黃眉大師，與號稱“天下第一惡人”的段延慶比試圍棋。誰先下如何決定？黃眉僧說“請你猜猜老僧今年的歲數，是奇是偶？猜得對，你先下；猜錯了，老僧先下。”段延慶說“我便猜中，你也要抵賴。”黃眉僧說“好罷！那你猜一樣我不能賴的。你猜老僧到了七十歲後，兩隻腳的足趾，是奇數呢，還是偶數？”今年歲數，是個定值，可以猜測。七十歲後，兩腳足趾數，是奇是偶？這是未來，可以預測。但足趾數會變嗎？就讓讀者自行去翻閱原書了。
一旦歲數，及兩腳足趾數等都可以估計，那就真沒什麼不能估計了。
對於前述蘋果及橘子的問題，學生若沒有其他資訊，只好假設老師是從總共5個水果中，隨機地取1個，因此將答“會是蘋果的機率為3/5”。之所以假設老師是隨機地取，乃是沒有辦法中的辦法。這種基於“相同的可能性”，是一種很常採用的預測方法。一般人在參加國家考試，或應徵工作前，想知道勝算，往往會以往年錄取名額與報名人數之比，做為若報名，會被錄取機率之估計。這也是當沒有其他資訊時，遂假設每人機會均相等。不過，如果考生清楚自己程度，也知道自己準備情況，他自然便不必以相同的可能性，來估計自己的錄取機率。
有人說，自然生育裡，生雙胞胎的機率為1/90。這機率是怎麼估計出來的？想必是統計全國(或全世界)總共多少次生育，其中有幾次是雙胞胎，再將後者除以前者，而得到的結果。這便是採用相對頻率的觀點。但不時有人感到迷惑：只生產一次，要嘛雙胞胎，要嘛非雙胞胎，機率不是1就是0，怎會是1/90？其實這仍屬沒有辦法中的辦法。醫學上曾有報導，“伴侶中若有雙胞胎基因的話，生雙胞胎的機率將提高”。就算這是真的，但若不知雙方誰有此基因，對任一次生產，會是雙胞胎的機率，就只好以1/90估之。估計的準確性，如同機率值，從來不是1次能見真章。長期下來，醫院的接生紀錄中，將約1/90的比例為雙胞胎，這是1/90的意義。棒球選手上埸擊出安打的機率，以過去打擊率來估計，也是相對頻率的觀點。對前述蘋果及橘子的問題，假設老師持續地從抽屜中拿一水果放背後問學生，每次問完便放回去。有位細心的學生，紀錄老師每次所拿的是蘋果或橘子。結果發現前30次中，有20次老師拿的是橘子，遂猜想老師並非隨機地取，而有2/3的機率拿到橘子。所以如何估計，並非一成不變。
以相對頻率的觀點來估計，便發展出“動差估計法”(method of moments)，背後的理論基楚，則是大數法則。只要可重複觀測的試驗，對可經由取期望值得到的參數，便能用動差估計法。
上課走進教室，老師發現黑板上有一些亂七八糟的圖畫。誰畫的？無人承認。班上40位學生，從何查起？一個個問嗎？非也。老師先找平常最調皮的那位來。這位學生大呼冤枉，說老師對他有偏見。只是不先找最調皮者，要找誰呢？最調皮的不先找，而先找其他人，學生會覺合理嗎？相同的可能性在這裡並不適用，老師並不以為會是任一位學生的機率，都同為1/40。警方辦案常也是如此，從有前科、有地緣關係、案發前後經過現場的人等，開始調查。看到一現象，倒過來想，究竟什麼原因，使此現象的發生最容易(即機率最大)？這是我們估計時，常可能會有的一種思維。此思維就發展出最大概似法(method of maximum likelihood)。例如，欲估計某銅板正面出現的機率p，我們採最大概似法。先持續投擲n次，假設得到x次正面。然後問：p的值為何，方使得到x次正面的機率最大？利用微積分求極值，將得到p之最大概似估計值為x/n。
不同的估計法，有時可能會導致相同的估計值。這並不足為奇，就像社會上若發生某重大命案，幾個單位分頭偵辦，結果皆指向同一嫌犯，不過就是英雄所見略同。
一個好的估計法，常會反映我們做決策時的某種思維。除了上面提到的幾種估計法，還有一種常見的貝氏作法(Bayesian approach)。對銅板正面出現的機率p，一般皆將p當做一未知的定值。但貝氏學派(Bayesian)，卻視p有一機率分佈，所謂事前分佈(prior distribution)。事前分佈為一種主觀的分佈(subjective distribution)，每人看法可以不同。譬如說，有人以為銅板為政府發行，不至於太偏頗，p應在區間[0.45,0.55]均勻分佈。經投擲n次，得到x個正面後，這時對p的看法可以改變。於是求出p的事後分佈(posterior distribution)，算是p經修正後的分佈。這有如人們看到一些跡象後，修正原先的看法，屬於一種科學的精神。據事後分佈，便可得到p之貝氏估計量(Bayes estimator)。“貝氏”名稱之由來，是因事後分佈乃利用貝氏定理而得。
我們想估計的，並不總是如銅板正面出現的機率，這麼單純的一個參數，有時連分佈都可估計。又估計的方法很多，不限以上幾個。此處只是很基本的介紹，有興趣進一步了解者，可參考黃文璋(2007)一文，及一般的統計教科書。
參考文獻
1. 黃文璋(2007). 統計裡的估計. 數學傳播季刊, 31(2): 3-20.
