朋友拿著一枚銅板來問你，有人說這個“銅板公正”，那是什麼意思？當然是指它出現正面的機率為1/2，你覺得這有什麼好問的。那怎知“機率為1/2”？朋友追問。喔！學過一些機率理論的你，頓時精神來了，能有機會發揮所學。“若依古典機率，假設銅板為公正，…，”你感到不對勁停住了。他原本便是問“銅板公正”之意義，怎好以“假設銅板為公正”來解釋？換個說法。“這是主觀機率，因銅板是中央銀行發行的，所以相信製出來的不會偏差。”嗯！這樣回答也不好，彷彿是說“相信就對了，不必多問”，顯然不太科學。以機率空間來解釋如何？在這裡大約也不行。因銅板明明正在朋友手上，不是虛擬，因此怎能說“假設有個樣本空間，其中有兩個元素正面與反面，令正面及反面的機率皆為1/2”？若這樣回答，恐怕再無人會來找你請教機率問題了。那只剩一招了，即用相對頻率來解釋。
持續投擲銅板n次，記錄出現的正面數，假設是Sn，則相對頻率Sn/n，便是銅板出現正面的機率。若Sn/n=1/2，則銅板便為公正，你這樣告訴朋友。還強調出現的正面數，與投擲數n有關，所以才寫成Sn。朋友依你的說明，一擲之下，不是正面便是反面，因此相對頻率不是1便是0。朋友感到狐疑，不可能得到1/2啊？不能只投擲1次，你趕緊補充。但投擲兩次也不行，因就算銅板的確公正，則投擲兩次，有1/4的機率分別會得0及2個正面，而有1/2的機率會得1個正面。因此Sn/n可能是0，1/2，及1，機率各為1/4，1/2，及1/4，Sn/n不必然等於1/2。事實上，若投擲奇數次，則Sn/n不可能等於1/2，因Sn根本不會等於不是整數的n/2；而若投擲偶數次，Sn/n取的值可能為0，1/n，2/n，…，(n-1)/n，1，且隨著n的增大，Sn/n會是1/2的機率，似乎愈來愈小。例如，n=4時，Sn/n=1/2的機率為C(4,2)/24=3/8；n=6時，Sn/n=1/2的機率為C(6,3)/26=5/16；n=8時，Sn/n=1/2的機率為C(8,4)/28=35/128。由1/2，3/8，5/16，到35/128，的確愈來愈小。投擲次數(指偶數次)愈多，Sn/n愈不容易等於1/2。朋友因此更狐疑了，相對頻率真能解釋機率嗎？你的信心也有點動搖了，看來自己並沒弄懂頻率對機率的解釋。
如黃文璋(2013)一文所指出，有些人對未來的無法掌握，充滿不安全感。因此視不確定性若蛇蠍，避之唯恐不及。只是在這充滿不確定性的世界裡，怎能要求每件事都必然會如何？但幸好有大數法則及中央極限定理，這兩個重要的隨機法則，使得在不確定性中，仍有若干能確定的事。底下我們來介紹大數法則，它又稱大數率，或平均法則(law of averages)。
一般人會有個印象，就是樣本愈多便愈準確，這大致是對的。只是準確的意義，卻不見得容易理解透澈。要知與數學裡不同，對隨機現象，準確絕不能詮釋成等於。如前所述，對一公正銅板，投擲數n愈大，則出現正面的相對頻率Sn/n(注意Sn為一隨機變數，取值可能為0，1，…，n)，並不會愈容易(即機率不會愈大)等於1/2，甚至等於1/2的機率還隨著n之增大而減小。那相對頻率如何能解釋機率呢？
以相對頻率來解釋銅板公正的意義，如果簡單講，就是n很大時，Sn/n落在1/2附近一很小範圍內之機率很大。至於機率很大，即機率很接近1。有人會以較專業的方式來描述，即Sn/n接近1/2的機率，隨著n之無止境地增大，將趨近至1。而所謂“n無止境地增大”，就是n趨近至無限大；所謂“Sn/n接近1/2”，意思是Sn/n與1/2的差距，不超過一固定(但可任意小)的正數，如0.01，0.001，10-10等，要多小都無妨。整個來說，就是說對一個任意給的正數a，機率P( |Sn/n-1/2| < a)，隨著n之趨近至無限大，將趨近至1。無限大的符號，我們以∞表之。
自古以來，人們常針對某特定事件，留意是否發生。如某君是否考上進士、媳婦是否生男孩等。至於其他人考上與否？其他婦女生男孩或女孩？並不在意。即使在賭戲裡也是如此，如投擲銅板是否能連續3次出現正面、玩撲克牌是否能拿到黑桃K等。這等同於關心只有兩個結果的試驗：若以A表某有興趣的事件，則A發生是一個結果，A不發生是另一個結果。並不在乎發生的是B、C，…，這些全歸入A不發生。有些事件是能重複觀測的，特別是在賭戲裡。假設事件A能重複觀測。人們習於數值化，不妨以Xi=1，表第i次觀測，事件A發生；以Xi=0，表第i次觀測，事件A未發生，如此便得到一串有0，有1的數列。若A發生的機率假設是p，則每一Xi=1的機率，便是p。我們又假設這些觀測相互獨立，也就是各次觀測結果互不影響。則這樣子得到的獨立，且會是1的機率皆相同的0，1數列，便稱為一伯努力數列(Bernoulli sequence)，這是因瑞士數學家伯努力(Jacob Bernoulli，1654-1705)最早探討而得名。至於一個只有兩種結果的試驗，便稱一伯努力試驗(Bernoulli trail)。我們可說每天從早到晚，不時在面對伯努力試驗，如能否趕上公車、火車會不會誤點、考試能否及格等。可看出X1+X2+…+Xn就是n次觀測後，事件A發生的總次數。這如同投票結束，計票時會畫“正”，某君得一票便畫一橫或一豎(對應Xi=1)，沒得便不畫(對應Xi=0)。再度，由排列組合知，X1+X2+…+Xn，有參數n，p的二項份佈。至於(X1+X2+…+Xn)/n(在統計裡稱此量為X1，…，Xn的樣本平均(sample mean))，便是事件A發生的相對頻率。
伯努力一家，在數學史上，可說是赫赫有名。家大業大，在三代裡，至少出了8位致力於數學、機率，或統計的研究者，且其中有5位相當傑出。對歐美人物，我們習於只以姓稱之。在數學、機率及統計這幾個領域裡，常會出現以Bernoulli為名的定理或公式，且產生的年代，橫跨很長的時間。並非他那麼長壽，且學問真的那麼無所不包，而可能是家族中不同的人。在機率與統計領域，有一伯努力協會(Bernoulli Society)的國際性組織，也有學術期刊名為Bernoulli，可見伯努力家族在機率與統計界，擁有崇高的地位。
昔日學者做學問，孜孜不倦地專研，主要是興趣，格物致知。雖藉著滿腹經綸，是可能獲得若干功名，但那應是次要。那時大抵也沒有“不出版，就完蛋”(Publish or perish)的顧慮。因此學者不像今日，須急急如律令，只要有一點研究成果，便趕著去發表。前面提到那位伯努力家族的大家長，於死後8年，1713年，他姪兒尼可拉斯伯努力(Nicholas Bernoulli，1687-1759)，才替他出版那本差不多可說是機率史上的第一本書“Ars Conjectandi”(原文為拉丁文，英文書名為“The Art of Conjecturing”，中文有稱“占卜的藝術”、“猜測的藝術”，也有稱“猜度術”等。這本三百多年前出版的書，歷久不衰，英文版至今即使在台灣亦可買到)。在這本書中，伯努力證明了一個以他命名的定理，那就是劃時代的伯努力法則(Bernoulli law)：
獨立且重複觀測一發生機率為p之事件A，當觀測次數趨近至∞，事件A發生之相對頻率，接近p之機率，將趨近至1。
可看出p=1/2，便對應銅板公正的例子。而這便是銅板公正的意義。
伯努力法則有什麼了不起呢？對一給定的正數a，伯努力先表示出機率P( |Sn/n-p| < a)，其中如前所述，Sn=X1+X2+…+Xn，有參數n，p的二項份佈。這得先解個不等式，看那些正整數k滿足|k/n-p|。然後把那些滿足上述不等式的k，所對應二項分佈之機率
P(Sn=k)=C(n,k)pk(1-p)n-k
相加。再辛苦地證明當n趨近至∞時，那些機率P(Sn=k)之和，趨近至1。以伯努力所處數學工具那麼少的時代，那真是一有如往昔建金字塔之大工程。後人利用著名的柴比雪夫不等式(Chebyshev inequality，Pafnuty L. Chebyshev，1821-1894，為俄國著名數學家)，可輕易證出比伯努力更一般的結果。但科學的發展過程中，向來是第一位發現者，貢獻最大。
三百多年來，伯努力法則一再被推廣。像是只要X1，X2，…，Xn，…是一數列獨立且有共同分佈的隨機變數，又設其期望值μ存在。則當n趨近至∞時，樣本平均(X1+X2+…+Xn)/n接近μ之機率，將趨近至1。若用機率的術語來說，就是獨立且有共同分佈的隨機變數，當樣本數趨近至∞，其樣本平均會機率收斂至期望值。而這只是弱大數法則(weak law of large numbers)，還有強大數法則(strong law of large numbers)。甚至尚有許多不同版本的大數法則。若欲深入了解大數法則，可參考黃文璋(2010)。
相信讀者已能區分大數法則與巨數法則了，雖都涉及大數，但乃完全不同的兩個法則。網路路上有篇文章中有底下一句：
保險業流行一條大數法則，意思是只要大量接觸客人，十位或一百位，總有一位客人投保。
其實這乃巨數法則。假設關心某一發生機率p很小之事件。巨數法則只能指出，一旦樣本數n夠大，此事件發生便不稀奇。大數法則卻能更進一步，指出n夠大時，此事件發生的相對頻率Sn/n有很大的機率很接近p。亦即此事件“大約”發生np次左右。可以這麼說，大數法則是一比巨數法則精準許多的法則。
大數法則可以支持頻率對機率的解釋。雖有些難度，但既然不少人將大數法則琅琅上口，因此是有必要對它多些了解。
參考文獻
1. 黃文璋(2010). 機率論, 第二版. 華泰文化事業股份有限公司, 台北市.
2. 黃文璋(2013). 談不確定性. 黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm).
