接下來, 介紹『重複組合』, 我們先看一個例子。

    將4支相同的鉛筆分給甲乙兩人, 試問共有幾種方法?

解這個問題, 我們先用列表方式來解, 很清楚可以看到甲乙二人得到的鉛筆數如下:

                                            

甲	0	1	2	3	4
乙	4	3	2	1	0

共5種。事實上此問題可以簡化為『解方程式的非負整數解』的問題。我們可以

想像成有4個|, 有1個+號做不盡相異物直線排列, 

故共有

                  種。

如下所示 。

甲	乙	想像圖示
0	4	+  |  |  |  |
1	3	|  +  |  |  |
2	2	|   |  +  |  |
3	1	|  |  |  +  |
4	0	|  |  |  |  +

   如果多了一位學生丙, 則有3人要分4支鉛筆, 可簡化為『解方程式的非負整

數解』的問題, 就可以想像有4個|, 有2個+號做不盡相異物直線排列, 

則有   

 種。

    推廣至有$n$位學生要分$m$支鉛筆, 可簡化為『解方程式的非負整

數解』的問題,  就可以想像有$m$個|, 個+號做不盡相異物直線排列, 則有

　種。              

   我們將此問題寫成一般的形式, 即所謂『重複組合』。

重複組合

設有$n$類不同之物品, 每類皆不少於$m$件, 由其中任取$m$件(相同與否均可)之組合, 稱為$n$中

取$m$的重複組合, 以符號$H^n_m$來表之。其中

 $$\begin{eqnarray*} H^n_m=C^{n+m-1}_m \end{eqnarray*}$$

[說明]:  對於『解方程式的非負整數解』的問題, 其解的個數就是$H^n_m$。

    接下來我們給出二項式定理的形式: 

二項式定理

設任二實數$x,y$及正整數$n$, 則

$$\begin{eqnarray*} (x+y)^n=\sum_{r=0}^{n} C^n_r x^{n-r} y^r \end{eqnarray*}$$

[說明]: 考慮之情況, 可以將其視為3個的連乘積, 即

     ---------------------------------------------------(1)

上式展開之結果為, 共有4項, 分別為, , ,   

,   故一般項的可寫成的形式, 其中 , 底下我們看看各項係數

是如何產生的: 

  項之係數為(1)式等號的右邊每一項都出, 所以只有一種可能。

  項之係數為(1)式等號右邊, 有兩項出, 一項出, 所以可能的情形有種。 

 項之係數為(1)式等號右邊, 有一項出, 兩項出, 所以可能的情形有種。

 項之係數: (1)式等號右邊每一項都出, 所有只有一種可能。

因此若將的展式寫成組合的形式為: 

                           。

底下給一特例: 

  $$\begin{eqnarray*} (1+x)^n &=& \sum_{r=0}^{n} C^{n}_r x^r \\ &=& C^{n}_0+C^n_1 x+C^n_2 x^2+\cdots+C^n_n x^n \end{eqnarray*}$$

最後, 我們給出『多項式定理』的一個特例。

多項式定理之一特例

在$(x+y+z)^n$展式中$x^p y^q z^r$之係數為 $$\frac {n!}{p!q!r!}$$, 其中$p+q+r=n$, 且  

$0\leq p,q,r\leq n$, 所以

  $$\begin{eqnarray*} (x+y+z)^n=\sum_{p+q+r=n} \frac {n!}{p!q!r!} x^p y^q z^r \end{eqnarray*}$$

生佸中的實例1

有4位學生, 他們總共收藏了15套相同的紀念郵票, 試問可能的情形有幾種?

[解]:可將問題轉為, 解方程式$$\begin{eqnarray*} x+y+z+w=15 \end{eqnarray*}$$的非負整數解之個數, 所以其解共有

$$\begin{eqnarray*} H^{4}_{15}=C^{18}_{15}=816 \end{eqnarray*}$$,

因此可能情形有816種。

　

隨堂練習1

有一個三層的小書櫃, 欲放了20本『哈利波特-神秘的魔法石』一書, 試問共有幾種可能的放法? 

[解]: 231種。

　

生活中的實例2

 設有相同的鉛筆5支,原子筆6支, 彩色筆7支, 從中任意抽出5支, 試問共有幾種取法? 

[解]: 因每一種筆的數目都大於5, 所以此為重複組合, 因此可假設鉛筆被抽出支, 原枝筆被抽

出支, 彩色筆抽出支, 則原題可簡化為『解方程式 的非負整數解個數』, 因

此共有

, 

故共有21種取法。

　

隨堂練習2

 設一袋中有紅、藍、白三種顏色的球各10個, 從中抽取6個球, 試問共有幾種取法? 

[解]: 28種。

　

生活中的實例3 

同時投擲兩個公正且相同的骰子, 試問有幾種可能的結果(花色)? 

[解]: 我們可以令表骰子出現的次數, 其中, 總共的出現次數為2。 

則原題可改寫為『解方程式的非負整數解之個數』, 因此

共有

 

故共有21種可能的結果。

 

隨堂練習3

5個人猜拳, 試問會出現多少種結果? 

[解]:21種。

生活中的實例4

試求方程式$x+y+z+w=12$之正整數解之個數。
[解]: 因為是求正整數解的個數, 所以令

$$\begin{eqnarray*} && x^{'}=x-1, y^{'}=y-1, \\ && z^{'}=z-1, w^{'}=w-1, \end{eqnarray*}$$

則原問題改寫為『解方程式 $x^{'}+y^{'}+z^{'}+w^{'}=8$中非負整數解之個數』。故共有

$$\begin{eqnarray*} H^4_8=C^{12}_8=165 \end{eqnarray*}$$,

故非負整數解共有165個。

　

隨堂練習4

試求方程式之正整數解的個數。

[解]: 36個

 

生活中的實例5

試求 $$(x^2-\frac {3}{x})^8$$展開式中, $x^7$之係數。
[解]:

展開式之通項為

$$\begin{eqnarray*} C^8_r (x^2)^{8-r} (-\frac {3}{x})^r=C^8_r (-3)^r x^{16-3r} \end{eqnarray*}$$

令 $16-3r=7\Rightarrow r=3$

故$x^7$之係數為 $C^8_3 (-3)^3=-1512$。

　

隨堂練習5

試求 $(x^2-\frac 3x)^8$展開式中, $x^5$之係數。
[解]:0。

　

生活中的實例6

試求$(1.1)^8$的近似值至小數點後第二位。
[解]:

$$\begin{eqnarray*} (1.1)^8 &=& (1+0.1)^8 \\ &=& 1+C^8_1 \times 0.1+C^8_2\times 0... ...times 0.01+56\times 0.01+\cdots \\ &\doteq& 1.8+0.28+0.056=2.14 \end{eqnarray*}$$

隨堂練習6

試求$(1.02)^{10}$的近似值至小數點後第二位。
[解]:1.22。

　

  生活中的實例7

試求$(x-2y+3z)^7$展開式中, $x^3y^2z^2$項的係數
[解]:

$$\begin{eqnarray*} (-2)^2\cdot 3^2\cdot \frac {7!}{3!2!2!}=7560 \end{eqnarray*}$$。

隨堂練習7

試求$(2x-3y+z)^7$展開式中, $x^3y^2z^2$項的係數。
[解]:

$$\begin{eqnarray*} 2^3\cdot (-3)^2 \cdot \frac {7!}{3!2!2!}=15120 \end{eqnarray*}$$

1. 某公司招待員工10男5女去旅遊, 今住進某旅館之客房, 各客房之價目表如下

   　

   房間種類	價格	房間數
   單人房	2500元	10
   雙人房	3500元	5
   三人房	5000元	5

   該旅館亦提供每間可加一張床之服務, 費用為600元。 若男女不同房，且女生不住單人房，

   試問

   (1) 共有幾種分配床位的方式。

   (2) 如何安排房間及床位，該公司之總花費才最少?

　

1. 方程式$xyz=144$的正整數解有幾組?

2. 由1至1000000間的整數中, 數字和為13的有多少個?

3. 設$x+y+z+w=12$, 試求$x,y,z,u$均為正奇數之解的個數。

4. 設$n$為正整數, 若 $30H^{n-1}_{3}+5P^{n+1}_4=72C^{n+1}_3$。 試求$n$ 值。

5. 試化簡 $(C^n_0)^2+(C^n_1)^2+(C^n_2)^2+\cdots+(C^n_n)^2$。

6. 試化簡 $C^{m}_0 C^{n}_l+C^m_1 C^n_{l-1}+\cdots+C^m_l C^n_0$。

7. 試求$11^{15}$除以1000的餘數。

8. 試求 $(1+x+x^2+x^3)^6$的展開式中$x^6$項的係數。

[解答部分]

1. 90組。

2. 8232個。

3. 35。

4. 4。

5. $C^{2n}_n$。

6. $C^{m+n}_r$

7. 651。

8. 336。