在說明排容原理之前, 我們先考慮下面的問題:
試問1至150的整數中, 是3或5的倍數有幾個?
要解這個問題, 我們首先求1至150的整數中3的倍數之個數:
3,6,9,12,15,…,144,147,150,
共有50個, 其次我們在求5的倍數之個數:
5,10,15,20,…,140,145,150 ,
共有30個。將3的倍數之個數與5的倍數之個數相加, 即50+30=80個, 但此時我們將同時為3與5的倍
數, 即15的倍數算了兩次, 因此我們要扣除, 而在1至150的整數中為15的倍數之個數:
15,30,45,…,135,150,
共有10個, 故3或5的倍數為 (3的倍數)+(5的倍數)-(15的倍數)=50+30-10=70個。
上述問題可用集合符號來表示,
令
為1至150的整數中3的倍數之集合,
為1至150的整數中5的倍數之集合,
為1至150的整數中15的倍數之集合,
為1至150的整數中3或5的倍數之集合,
|•|: 表集合•之個數,
由上面問題討論中, 我們可以得知
我們亦可以下面的圖形來說明, 圓表3的倍數之集合, 圓表5的倍數之集合, 而重疊部分
(綠色部分)就是15的倍數之集合。
事實上, 我們可以將其寫成一般式: 若, 為兩有限集合, 則
。
同理, 若為三有限集合, 則
若以圖形方式來看(如下圖), 對圓, 圓, 圓分別表集合 , , , 要求
, 可先求出, 此時藍色部分, 我們算了二次, 而綠色部分, 算了
三次, 因此必須將重複的扣除。我們將()扣除(++)
後, 可以發現藍色部分被扣掉一次, 而綠色部分被扣掉三次, 因此要求之值少了
綠色部分, , 即之值, 所以需加回去才是真正之值。因此
我們可以發現, 三個有限集合, 計算起來就有點難算, 更不用說四個或更多的有限集合。底下,
我們給出一般有限個之`有限集合, 計算其個數之基本原理, 此原理稱為排容原理。可以利用數學
歸納法證之
接下來, 我們介紹『完全相異物直線排列』, 事實上, 我們在前一單元, 已有用到其中一個特
例, 只是沒有介紹一般形式, 回憶之前有一個例子: 『假設某教室有四張椅子, 甲、乙、丙、丁四
位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?』, 我們可以很快求出共有4!=24種。 此例子是
椅子數與學生人數相同時, 我們可以很快利用階乘概念求出。那當椅子數大於學生人數時, 那該
如何做呢? 其實也不難, 只要了解乘法原理, 就可以很輕易求出, 我們用一個問題來解說:
假設某教室有張椅子, 有位學生依序選擇座位, 試問有幾種不同的選法。(其中)
解這個問題, 依然使用乘法原理來解。
第一步:第一位學生先從張椅子中任選一張, 共有種選法,
第二步:第二位學生從剩下的張椅子任選一張, 共有種選法,
第三步:第三位學生從剩下的張椅子任選一張, 共有 種選法,
至第步:第位學生從張椅子任選一張, 共有種選擇。
故由乘法原理的得知, 共有
種選法。
我們通常會將 以來表示。其中。即
我們將此問題推廣至一般情況, 稱為『完全相異物直線排列』
我們可以很清楚看到有兩個特別的值, 分別為, 。
生活中的實例1
試求在1至150的整數中, 不為3或5之倍數有幾個?
[解]:(全部個數)-(3或5的倍數)=150-(50+30-10)=80個。
隨堂練習1
某次考試, 班上50位學生, 已知數學成績不及格者有30人, 英文成績不及格者有23人, 兩科均及格者
有12人, 試求數學成績及格且英文成績不及格者共有多少人?
[解]: 8人
生活中的實例2
假設教室有七張椅子, 有四位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?
[解]:共有
生活中的實例3
若 , 求之值?
[解]:
隨堂練習2
若, 試求之值。
[解]: 4或5。
生活中的實例4
甲乙丙...等七人排成一列, 若甲排首且乙排末, 共有多少種排法?
[解]:在甲乙兩人之間需排5人, 故共有種。
隨堂練習3
甲乙丙...等七人排成一列, 若甲排首或乙排末, 共有多少種排法?
[解]:1320種。
四位數的號碼。 每月底公佈一組得獎號碼。 若每張彩券只能得到一筆獎金(以最高獎
金計), 且得獎金額分配如下:
若彩券上的號碼之末一位與公布的號碼之末一位相同, 則可獲得獎金一百元。
若彩券上的號碼之末兩位與公佈的號碼之末兩位相同, 則可獲得獎金一千元。
若彩券上的號碼之末三位與公佈的號碼之末三位相同, 則可獲得獎金一萬元。
若彩券上的號碼與公佈的號碼完全相同,則可獲得獎金十萬元。
試問
(1) 每期最多可有幾張彩券得獎?
(2) 若某期彩券全部賣完, 試問獲利多少?
[解答部分]
(1) 919張,
(2) 438100元。
(1) 任意坐,
(2) 4位男生相鄰而坐, 3位女生相鄰而坐。
(1) 3 的倍數共有多少個?
(2) 4 的倍數共有多少個?
(3) 大於400者共有多少個?
[解答部分]
1. 4。
2. (1) 5040, (2) 604800。
3. 60。
4. 2410。
5. (1) 24, (2) 18, (3)36。