在說明排容原理之前, 我們先考慮下面的問題: 

      試問1至150的整數中, 是3或5的倍數有幾個?

要解這個問題, 我們首先求1至150的整數中3的倍數之個數: 

                   3,6,9,12,15,…,144,147,150, 

共有50個, 其次我們在求5的倍數之個數: 

                   5,10,15,20,…,140,145,150 ,   

共有30個。將3的倍數之個數與5的倍數之個數相加, 即50+30=80個, 但此時我們將同時為3與5的倍

數, 即15的倍數算了兩次, 因此我們要扣除, 而在1至150的整數中為15的倍數之個數: 

                                     15,30,45,…,135,150, 

共有10個, 故3或5的倍數為 (3的倍數)+(5的倍數)-(15的倍數)=50+30-10=70個。


   上述問題可用集合符號來表示, 令

      $A$為1至150的整數中3的倍數之集合,

      $B$為1至150的整數中5的倍數之集合,

      $A\cap B$為1至150的整數中15的倍數之集合,

      $A\cup B$為1至150的整數中3或5的倍數之集合,

            |•|: 表集合•之個數, 

 由上面問題討論中, 我們可以得知

\begin{displaymath}\vert A\cup B\vert=\vert A\vert+\vert B\vert-\vert A\cap B\vert \end{displaymath}
 

 我們亦可以下面的圖形來說明, 圓$A$表3的倍數之集合, 圓$B$表5的倍數之集合, 而重疊部分

(綠色部分)就是15的倍數之集合。

  

事實上, 我們可以將其寫成一般式: $A$,$B$ 為兩有限集合, 則

\begin{displaymath}\vert A\cup B\vert=\vert A\vert+\vert B\vert-\vert A\cap B\vert \end{displaymath}

同理, 若$A,B,C$為三有限集合, 則

\begin{eqnarray*}       
&& \vert A\cup B\cup C\vert \\       
&& =\vert A\cup (B\cup C)\vert...       
...t-\vert A\cap C\vert-\vert B\cap C\vert+\vert A\cap B\cap C\vert       
\end{eqnarray*}

若以圖形方式來看(如下圖), 對圓$A$, 圓$B$, 圓分別表集合 $A$, $B$, , 要求 

, 可先求出, 此時藍色部分, 我們算了二次, 而綠色部分, 算了

三次, 因此必須將重複的扣除。我們將()扣除(++)

後, 可以發現藍色部分被扣掉一次, 而綠色部分被扣掉三次, 因此要求之值少了

綠色部分, , 即之值, 所以需加回去才是真正之值。因此 

  

         

我們可以發現, 三個有限集合, 計算起來就有點難算, 更不用說四個或更多的有限集合。底下, 

我們給出一般有限個之`有限集合, 計算其個數之基本原理, 此原理稱為排容原理。可以利用數學

歸納法證之

排容原理 $A_1,A_2, \cdots, A_n$$n$個有限集合, 則 $A_1\cup        
A_2\cup \cdots \cup A_n$之個數為
\begin{eqnarray*}       
&& \vert A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\vert\\       
&& =\sum_{i=1...       
...hspace*{0.26in}+(-1)^{n-1} \vert A_1\cap A_2\cap \cdots A_n\vert       
\end{eqnarray*}

 

      接下來, 我們介紹『完全相異物直線排列』, 事實上, 我們在前一單元, 已有用到其中一個特

例, 只是沒有介紹一般形式, 回憶之前有一個例子: 『假設某教室有四張椅子, 甲、乙、丙、丁四

位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?』, 我們可以很快求出共有4!=24種。 此例子是

椅子數與學生人數相同時, 我們可以很快利用階乘概念求出。那當椅子數大於學生人數時, 那該

如何做呢? 其實也不難, 只要了解乘法原理, 就可以很輕易求出, 我們用一個問題來解說: 

   假設某教室有$n$張椅子, 有$m$位學生依序選擇座位, 試問有幾種不同的選法。(其中$n\geq m$)

解這個問題, 依然使用乘法原理來解。

    第一步:第一位學生先從$n$張椅子中任選一張, 共有$n$種選法, 

    第二步:第二位學生從剩下的$n-1=n-2+1$張椅子任選一張, 共有$n-1$種選法,

    第三步:第三位學生從剩下的$n-2=n-3+1$張椅子任選一張, 共有 $n-2$種選法, 

    至第$m$步:第$m$位學生從$n-m+1$張椅子任選一張, 共有$n-m+1$種選擇。

故由乘法原理的得知, 共有

\begin{displaymath}n\times (n-1)\times \cdots \times (n-m+1)\end{displaymath}
 

種選法。

  我們通常會將 $n\times (n-1)\times \cdots \times        
(n-m+1)$$P^{n}_{m}$來表示。其中$1\leq m\leq n$。即

\begin{eqnarray*}       
P^n_m &=& n\times (n-1)\times \cdots \times (n-m+1) \\       
&=& \f...       
...\times       
(n-m-1)\times \cdots \times 1} \\       
&=& \frac {n!}{(n-m)!}       
\end{eqnarray*}
 

 我們將此問題推廣至一般情況, 稱為『完全相異物直線排列』

完全相異物直線排列

  從 $n$個完全相異的事物中, 任取$m$個排成一列, 則排列數目為

              $\displaystyle P^n_m=\frac {n!}{(n-m)!}$$(n\geq m)$

 
 

我們可以很清楚看到$P^n_m$有兩個特別的值, 分別為$P^n_n=n!$, $P^n_0=1$。 

生活中的實例1

試求在1至150的整數中, 不為3或5之倍數有幾個?

[解]:(全部個數)-(3或5的倍數)=150-(50+30-10)=80個。

 

隨堂練習1 

某次考試, 班上50位學生, 已知數學成績不及格者有30人, 英文成績不及格者有23人, 兩科均及格者

有12人, 試求數學成績及格且英文成績不及格者共有多少人?

[解]: 8人

 

生活中的實例2

假設教室有七張椅子, 有四位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?

[解]:共有

\begin{displaymath}P^7_4=\frac {7!}{(7-4)!}=7\times 6\times 5\times 4=840\end{displaymath}(種)。

 

生活中的實例3

$P^{2n}_3=28P^{n}_2$, 求$n$之值?

[解]:

\begin{eqnarray*}     
&& P^{2n}_3=28P^n_2\\     
&\Rightarrow& 2n(2n-1)(2n-2)=28n(n-1)\\     
&\Rightarrow& 8n^2-40n+32=0\\     
&\Rightarrow& n=4, n=1     
\end{eqnarray*}
 
$n\geq 2$, 故$n=1$不合, 所以$n=4$

 

隨堂練習2

  $P^{n+1}_{3}=10P^{n-1}_{2}$, 試求$n$之值。

[解]: 4或5。

 

生活中的實例4

甲乙丙...等七人排成一列, 若甲排首且乙排末, 共有多少種排法?

[解]:在甲乙兩人之間需排5人, 故共有$P^5_5=5!=120$種。

隨堂練習3

甲乙丙...等七人排成一列, 若甲排首或乙排末, 共有多少種排法?

[解]:1320種。

 

  1. 設某城市發行公益彩券, 每月一期, 每張售價100元(產銷成本佔1/5),彩券上有一個

    四位數的號碼。 每月底公佈一組得獎號碼。 若每張彩券只能得到一筆獎金(以最高獎

    金計), 且得獎金額分配如下:

       若彩券上的號碼之末一位與公布的號碼之末一位相同,  則可獲得獎金一百元。

       若彩券上的號碼之末兩位與公佈的號碼之末兩位相同,  則可獲得獎金一千元。

       若彩券上的號碼之末三位與公佈的號碼之末三位相同,  則可獲得獎金一萬元。

       若彩券上的號碼與公佈的號碼完全相同,則可獲得獎金十萬元。

    試問

    (1) 每期最多可有幾張彩券得獎?

    (2) 若某期彩券全部賣完, 試問獲利多少?

     

[解答部分]

 (1)  919張, 

  (2) 438100元。

 

 

  1. $25P^{n}_3+P^{n+1}_{4}=12P^{n+1}_3$, 試求$n$之值。

  2. 一吧台有一列10個座位, 今有男生4人, 女生3人, 試求下述之坐法數。

    (1) 任意坐,

    (2) 4位男生相鄰而坐, 3位女生相鄰而坐。

  3. 將五個字母$ABCDE$排成一列, 若$A$不在首, 且$B$, $C$ 皆不在尾, 共有多少種排法?

  4. 用0,1,2,3,4,5組成相異數字的四位數後, 然後由小至大排列, 求第100個數。

  5. 用1,2,4,6,7做相異數字的三位數。試問

    (1) 3 的倍數共有多少個?

    (2) 4 的倍數共有多少個?

    (3) 大於400者共有多少個?



[解答部分]

1. 4。

2. (1) 5040, (2) 604800。

3. 60。

4. 2410。

5. (1) 24, (2) 18, (3)36。