對一隨機現象, 我們常想粗略地知道其值究竟多大? 期望值(expecation, 或稱expected 

value, mean), 就是常被拿來扮演這種以一單一的值, 來代表一隨機現象中之變數大小的角色。

設為一離散型的隨機變數, 且可能取值為, 則 之期望值定義為

   ,

其中表隨機變數取值在之機率值, 對。

    例如, 投擲一公正的骰子, 也就是1,2,3,4,5,6每個面出現的機率皆為1/6, 令隨機變數表

所出現之點數, 則 =1/6,  , 因此之期望值為

            。

   對一隨機變數而言,因無法掌握隨機的量之大小, 我們才想要有一代表值, 而期望值就是常被拿來

當做隨機變數之代表值, 期望值像是隨機變數分佈的一核心,  隨機變數的可能值, 散佈在期望值的

左右。其他亦常被拿來當做隨機變數之代表值的尚有中位數(median)及眾數(mode)。目前我們只討論

期望值。

         

生活中的實例1

某商人在夜市擺一種遊戲, 袋中有紅球5個, 白球3個, 藍球2個, 抽獎者自袋中抽出一球, 若抽中

紅球可得10元, 抽中白球可得100元, 抽中藍球可得200元, 試問抽獎者可獲獎金的期望值。

[解]: 令隨機變數=抽獎者獲得的獎金, 所以取值為10,100,200。則

          :表抽中紅球的事件之機率=5/10=0.5,

         :表抽中白球的事件之機率=3/10=0.3,

         :表抽中黑球的事件之機率=2/10=0.2, 

      因此 之期望值為

           ,

     所以抽獎者可獲得獎金的期望值為75元

　

隨堂練習1

  投擲一公正的骰子一次, 若出現點數為偶數, 則可獲得與點數相同的錢數, 若出現點數為

奇數, 須賠與點數相同的錢數, 試求可獲得錢數的期望值。

[解]: 0.5元 

　

生活中的實例2

 甲、乙二人玩一遊戲, 由甲先付給乙10元, 然後自一袋裝有2白球及3黑球之袋中抽取一球, 若

取出白球, 則乙付給甲25元, 否則乙不付給甲任何錢。試求甲所淨得的錢之期望值。

[解]: 因抽出一球, 不是白球就是黑球, 所以樣本空間

                    ={白球, 黑球}。

            當甲抽出白球時, 甲自乙那邊獲得25元, 扣去原先給乙的10元, 則甲淨得15元; 

           當甲抽出黑球時, 甲自乙那邊獲得0元, 扣去原先給乙的10元, 則甲淨得-10元(即虧10元)。

           令隨機變數=甲所淨得的錢。 則取值為15, -10 , 則

           : 表甲抽出白球事件之機率=2/5=0.4, 

           :表甲抽出黑球事件之機率=3/5=0.6,

     因此 之期望值為 

           

     所以甲所淨得的錢之期望值為0, 表示此遊戲對甲乙雙方均是公平的遊戲。

　

隨堂練習2 

 承上例, 若把袋中的球換成4個白球與1個黑球, 試求甲所淨得的錢之期望值。

[解]: 10元。

　

生活中的實例3 

  有五個選項的單選題, 每題答對給8分, 則答錯應倒扣幾分才公平。

[解]: 令隨機變數=所得之分數, 並設答錯得分(即倒扣分), 則

          : 表答對的事件之機率=1/5=0.2, 

          : 表答錯的事件之機率=4/5=0.8, 

     因此, 之期望值要等於0, 才合理, 所以

         

     可得 , 所以要倒扣2分才合理。

　

隨堂練習3 

  有5個選擇像的複選題(至少要選一個), 每題答對給12分, 則答錯應倒扣幾分才合理。

[解]: 0.4分

　

1. 某地攤有一遊戲, 玩一次要付10元。攤主放8個白棋子及8個黑棋子在一袋中。玩者自袋中

摸出五個棋子。若拿到5個白的可得200元, 拿到4個白的可得20元, 拿到3個白的可得5元。試問

您是否願意玩此遊戲?

　

2. 設生男生女的機率均為0.5。某國由於國情的關係, 每一家庭皆希望有男孩, 但政府為抑制人

口的成長, 規定每一家庭只能有一男孩, 若前幾胎皆為女孩, 則可繼續生, 直至生出一男孩, 便

須停止。問這種政策執行的結果, 是否會造成社會上女多於男? 並給出理由。  

[解答部分]: 

1. 不願意。因期望值小於10。

2. 不見得, 因平均而言, 每個家庭生兩胎, 會有一男一女。

  1. 五個骰子投擲一次, 若五個骰子同點, 則可得1200元, 若恰四個骰子同點, 則可得600元, 則

    投擲一次之期望值為何?

  2. 投擲一公正的硬幣三次, 每出現一個正面得5元, 一個反面賠2元, 則所得總額之期望值為何? 

  3. 設某人站在數線原點位置上擲一顆骰子, 得1點或2點朝正方向前進一單位, 得其餘點數, 朝負

    方向前進一單位。 此人連擲四次骰子, 求此人所在位置之坐標期望值為何?

  4. 某人擲二個公正的骰子, 若擲出點數之和為7時, 可得200元, 並得繼續投擲的權利,

    5. 直到未擲出點數之和為7才停止,試求此人所得之期望值。 

[解答部分]:

1. 25/2。

2. 9/2。

3. -4/3。

4. 40元。