| 主題：認識機率-1前言 |
| 發表者：黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw |
日期：2009/8/4 下午 12:02:01 |
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1987年，是印度的傳奇數學家拉曼紐揚(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920)的百年誕辰。為了紀
念他，有一系列的活動。當代著名統計學者，出生於印度的勞氏(C. Radhakrishna Rao, 1920-)，也
應邀做了三場演講。之後，印度統計研究所(Indian Statistical Institute)基於其演講稿，於1989
年，為他出版了統計與真理一書。此書1997年發行第二版。
在第一版的序文中，勞氏提到：
學生時代，我主修數學─一種從給定前提下演繹結果的邏輯(the logic of
deducing consequences from giving premises)。後來我唸統計學─一種從經
驗中學習的合理過程，及從給定的結果驗證前提的邏輯(a rational approach
to learning from experience and the logic of identifying the premises
given the consequences)。我已認識到數學及統計，在人類為提昇自然知識，
及有效管理日常事務，所做的一切努力中，佔有重要性。我相信：
在最終的分析中，所有知識皆為歷史。
在抽象的意義下，所有科學皆為數學。
在理性的世界裡，所有判斷皆為統計。
這一段話，大致說明數學及統計的重要性，及其各自的內涵。
長期以來，高中數學均涵蓋機率的題材，其中古典機率(即以“相同的可能性”來解釋機率)又佔
不小比例。因此機率常與排列組合連在一起。而排列組合是較“數學的”。雖然學生有時會被那些複
雜的題目，弄得昏頭轉向。但那只是技巧性方面，在認知方面，大抵沒太大迷惑。近年來，鑑於統計
學的重要性，高中數學裡，逐漸加進統計的題材。這其中95學年開始實施的“普通高級中學數學課程
綱要”中，新增的信賴區間與信心水準，卻帶給師生不小困擾。此新加入的統計題材，由於需取樣，
得到數據，使機率論裡“隨機性”的特質顯現出來。而隨機性是與傳統數學中特有的“必然性”，完
全不同的概念。可參考黃文璋(2005a)一文。雖有人認為機率與統計“這類數學所需的前置準備不多”
，因此提前教沒問題。但隨機性的概念，在理解層次上，其實並不是那麼容易能掌握。
翻開統計史，信賴區間，是另一著名統計學者，出生於波蘭，1938年才移民至美國的奈曼(Jerzy
Neyman, 1894-1981。他是我的師祖，即我指導教授的指導教授) ，於1934年演講中首度提出。他的
演講結束後，大會主席包雷(Arthur Lyon Bowley, 1869-1957)於致詞中提到，“我不很確定此信心
不是一信心戲法”(I am not all sure that the "confidence" is not a "confidence trick")。
要知奈曼信賴區間的概念剛提出時，大部分的統計學者，包括被視為是現代統計學之創始者，英國的
費雪(Sir Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962，常以R.A. Fisher 稱之)均難以接受。在所謂95%信賴
區間中，那95%究竟是指什麼？是機率嗎？如果是，那又是什麼的機率？雖奈曼取巧地以信賴區間，
來稱呼此一他創造出來的東西，而避用機率一詞。但包雷及其同行，當然一眼便看穿這個手法(Bowley
and others easily saw through this transparent ploy)。這段過程，可參考Salsburg (2001)
Chapter 12(但該書中的A.L.Bowley應該是G.M.Bowley)，及Sawilowsky (2003)一文。
歲月匆匆，七十多年過去了，今日統計學家，當然已完全弄懂信賴區問的意義。只是在大學裡，
不論機率與統計、統計學，及數理統計等教科書中，信賴區間通常屬於後半部的題材。也就是大學生
在相關的課程中，開始接觸信賴區間時，大致上已有相當夠的機率統計基礎。如今此題材卻獲數學家
青睞，繼95課綱加入後，98課綱(後改為99學年度起逐年實施)仍保留此題材。但由於缺乏足夠的預備
知識，學生吸收不易，乃可預期。
為何此“有點深度”的題材，卻能堂而皇之地進入高中數學教材？猜想主要原因是其重要性。這
只要看到媒體上，常刊載各種調查結果的信賴區間，及信心水準，便可了解。
在有些統計教科書裡，信賴區間佔一章的份量。對不同的參數，不同的分佈，可有不同的信賴區
間；即使同一參數且同一分佈，也可以不同的方法，得到不同的信賴區間。有時因條件不足，或計算
複雜等原因，只好退而求其次，得到近似的信賴區間。當然這時需要一些條件，及利用一些定理。信
賴區間亦可比較優劣。要知統計裡有各種推論方法，但因處理的是隨機現象，少有倚天不出，誰與爭
鋒的方法。而評比時，也要訂出評比準則。否則就像有個停止不動的鐘，及一慢1分鐘的鐘，如何判
定何者較準？前者可是每日皆有完全準確的時刻，後者卻是每1,440天(一天有1,440分)，才有一完全
準確的時刻。不講清楚如何評比，將會各說各話。
在98課綱，附錄3.3“常態分布，信賴區間與信心水準的解讀”中說：
高中程度的統計推論只做隨機變數期望值的估計，它的背後理論是中央
極限定理。要介紹中央極限定理，就需引入常態分布。此部分僅做通識性的
介紹，以活動方式建立學生對於中央極限定理的直觀。對一固定的信心水準
，給出信賴區間公式，再讓學生以亂數表模擬或實驗投擲正面出現機率為p
的銅板n次，代入信賴區間公式，以說明信心水準的意涵；並以此解讀，何
以大多數學生所得的信賴區間都會涵蓋p？
這段“解讀”不但有若干問題，也沒能說明白。如第一句中“它的背後理論是中央極限定理”，便不
知從何而生？此非統計學裡的看法。由於課綱中的解讀晦澀不明，那些認真教學，想將學生教懂的高
中數學教師，只好專研其中原理，各自解讀。有些還提出自認能“釐清這些概念”的文章。只是其解
讀，往往仍失之精準。
為何信賴區間的概念，常會淪於類似郢書燕說的下場？我們發現，追根究底，還是不少學習者，
未能正確了解機率的涵意。這是本文寫作的動機。 |
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