| 主題：統計思維─結語 |
| 發表者：黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw |
日期：2008/5/1 下午 12:14:13 |
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1985年11月，有位美國學者泰勒(Gary Taylor, 1953－)在英國牛津大學(Oxford Universit
y)的一圖書館，找到一首詩，就稱為泰勒詩(Taylor poem)好了。英美研究莎士比亞(William Sh
akespeare,1564-1616)的學者們，為了此詩是否為莎士比亞所作，而大打筆戰。不少專家認為這
首泰勒詩，不論用字遣詞，與韻味風格，都迥異於莎士比亞其他作品。筆戰兩個月後， 1986年1
月24日出版的Science雜誌，刊登一篇“莎士比亞的新詩—向統計學禮讚”(Shakespeare’s new
poem: an ode to statistics)，介紹兩位統計學者Efron與Thisted，如何以統計方法，鑑定這
首泰勒詩，是否為莎士比亞所作。
Efron與Thisted的想法是這樣的：每個人各有其用字習慣，特別是對於罕用字，每個作者使
用的習慣，差異可能更大。莎士比亞已知的總作品中，共有 884,647個字，其中有31,534個相異
字。這些相異字中，有14,376個字從頭到尾只出現 1次，有4,343個字只出現2次。出現幾次的字
，都被計算出來。這些在總作品中，出現頻率較低的，就是莎士比亞的罕用字。依據這些資料，
假設這首共429個字的泰勒詩，為莎士比亞所寫，他們估計會有幾個字，在總作品中從未出現(也
就是新字)，只出現 1次，2次，…，一直到曾出現99次，都給出估計值。實際情況與估計非常吻
合。這樣做還不夠，會不會當時代的詩人，用字習慣都差不多？兩人又找了三位約略與莎士比亞
同時代的詩人，各取其一首詩，及另取四首莎士比亞的詩，與這首泰勒詩做比較。經過 3種統計
檢定，發現對前三首，若假設為莎士比亞的作品，罕用字出現次數之實際值，與估計值皆不吻合
。而所挑選的四首莎士比亞的詩，雖偶有不合，但總的來說，是可接受的。 Efron 及Thisted說
，他們的分析，並無法證明泰勒詩為莎士比亞所寫，但在罕用字之使用情況，如此與莎士比亞的
總作品吻合，確實令人驚訝。
一場文學上的爭論，經統計學家發聲後，迅速平息。這就是統計的功能。運用統計方法來做
決策，反映的是一種客觀及合理的思維。要知與其主觀的爭論風格相同否，彼此都無法說服對方
，還不如以客觀的統計方法來判定。但如何才算已經夠客觀？除了只檢驗泰勒詩外，Efron及Thi
sted亦拿幾位與莎士比亞同時代的詩人來比較，這樣就更保險了。免得萬一莎士比亞那個時期的
詩人，有如時尚般，罕用字之使用習慣類似，則此檢定就沒有什麼參考價值了。欲進一步了解此
事之來龍去脈，可參考黃文璋(1999)第十七章“莎士比亞新詩真偽之鑑定”，相關文獻也可在該
文找到。
但統計的判定，是否一出手，就令人臣服呢？
克萊門斯（Roger Clemens,1962－），外號“火箭人”，是一位已在美國職棒大聯盟，活躍
二十餘年的投手，被認為是史上最偉大的投手之一。至今他一共贏得了七座賽揚獎(Cy Young Aw
ard)，為史上贏得該獎項最多的大聯盟投手。2003年球季結束後，克萊門斯宣佈退休，但2004年
時，克萊門斯改變心意，重回大聯盟。且在當年以41歲“高齡”，再度拿下賽揚獎。他自2007年
起效力於紐約洋基隊，成為王建民隊友。只是由於他的前訓練員麥克納米( Brain McNamee)，指
控他在職業生涯的後期，服用類固醇( steroid)及生長激素(human growth hormone)，於是美國
國會進行調查。克萊門斯當然要盡力維護其聲譽，一世英名豈能毀於一旦？他聘請的專家為他整
理出一份長達45頁的報告，包含38個圖表，想為他洗清冤屈，證明他是老而彌堅，而非依靠禁藥
之助。只是一份報告的價值，當然不是以厚度來度量。曾有得諾貝爾經濟獎的論文，只有二十多
頁。 4位美國賓州大學(University of Pennsylvania)與華頓學院(Wharton School)的統計以及
經濟教授，仔細檢視後，認為這份報告，對讓人相信克萊門斯的無辜，並無說服力。
究竟克萊門斯在職業生涯的後期，表現如此好，是否為極不尋常(highly unusual)的事件？
如果是的話，則他的前訓練員所宣稱的，自1998年起，替克萊門斯注射生長激素，就可能為真。
為了化解此疑慮，在克萊門斯所自行提出的這份報告中，將他自己，與在1993年46歲時退休的名
投手諾蘭萊恩（Nolan Ryan）進行對比。資料顯示，克萊門斯的表現看起來沒什麼不尋常，兩人
都是在 40多歲時，達到顛峰。再將克萊門斯與另外兩位同時代的投手藍迪詹森（Randy Johnson
），及科特席林（Curt Schilling）相比，結果也類似。一切似乎無懈可擊。數據會說話，該還
克萊門斯清白了吧！
這 4位專家可不買這些數據的帳。他們指出，報告中僅是將克萊門斯與那些“在職業生涯第
二階段獲得成功的投手”相比較，而不是與所有跟克萊門斯一樣，在菜鳥階段就揚名立萬的投手
相比。在統計學裡，稱此為“選擇偏差”(selection bias)。一旦比較的對象精心挑選，克萊門
斯的數據，沒有顯得不正常就不稀奇了。這4位教授的文章，發表在銷路廣大，2008年2月10日出
版的“紐約時報”（New York Times），題目是“支持克萊門斯的報告乃精心挑選真相”（Repo
rt Backing Clemens Chooses Its Facts Carefully）。口說無憑，4位專家另起爐灶，分析自1
968年起，大聯盟 31位優異的投手之生涯投球數據。相對於這較大的比較群，克萊門斯的數據，
就顯得異常了。一般投手的表現，都是初期逐漸成長，在30歲左右達到高峰。之後大約自35歲起
，便廉頗老矣，表現就逐漸走下坡。但克萊門斯卻不然，他的表現在快達30歲時下降，而在35歲
至40歲間又呈現成長，老幹贏新枝，顯得極為不尋常。 4位專家的分析，自然無法證明克萊門斯
，在球員生涯之後期服用禁藥。統計並非萬能，不見得回回能一言而為天下法。但他們使克萊門
斯自行聘請的專家，所做之報告黯然失色，並使克萊門斯仍無法自服用禁藥的疑雲風波脫身。統
計的威力，仍再度顯現。
本文一開始說“有三種謊言：謊言，可惡的謊言，統計”。統計為何被當做謊言呢？可惡的
謊言已夠可惡了，難道統計是更可惡的謊言？上二例已足以說明。統計的結論要有價值，要被人
採信，其中涉及的每一程序，從設計，取樣到分析，都要竭盡所能，儘量客觀。統計學家會犯錯
，因所有保證都是機率式的，並附帶一定的犯錯機率。決策若不願犯錯，後果不見得就好。法庭
若不願犯錯，可能使大部分明明有罪的人，都被釋放。但機率理論也告訴我們，如果統計分析是
遵循該有的程序，則長期下來，犯錯次數的比例，差不多就是所設定的犯錯機率，乃可容忍。但
分析過程中，若有意或無意的偏差，則即使工程再浩大，得到的結論，不但無法取信真正的專家
，被當成謊言不說，有時還給自己製造出極不利的後果。
統計，正如我們的思維，客觀至上，否則便是自欺欺人。反之我們的思維若是統計式的，便
是極客觀的。
參考文獻
1. 黃文璋(1999)。數學欣賞。華泰文化事業公司，台北。
2. Bradlow Eric, Jensen Shane, Wolfers Justin, and Wyner Adi (2008). Report Bac
king Clemens Chooses Its Facts Carefully. New York Times. February 10, 2008
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