國立高雄大學統計研究所-心在南方

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主題：統計思維─4合理估計

發表者：黃文璋　Email:huangwj@nuk.edu.tw

日期：2008/4/29 下午 04:01:33

從前有一個賣油條的小孩，他一向把賣得的錢，都放在盛油條的籃子裡。某日由於尿急，於
是把籃子放在一塊大石頭上，解放去也。過一會兒回來，晴天霹靂，籃子裡的錢都不見了。他哭
著跑去告訴縣官。縣官聽了後，叫人把石頭抬來審問。雖一再恫嚇，石頭一句話也不說。縣官氣
了，叫人拿棍子來打石頭。只是即使打到棍子斷了，石頭仍不說話。一旁看熱鬧的人都笑了起來
。縣官更生氣，罰圍觀者每人拿兩個銅錢，扔進一個盛滿水的盆子裡。突然，縣官指著一個人說
“偷錢的人就是你。”那人大呼冤枉，眾人也不解。縣官解釋說，“那小孩是賣油條的，他的錢
上都沾著油。別人的錢扔進水裡都沒有油浮上來，只有這個人扔錢進水後，有油浮上來，可見錢
是他偷的。”那人俯首認罪，眾人皆心服。
憑口袋裡的錢有油，就認定他偷了賣油條小孩的錢？如果有人收到賣油條者找的錢，不也就
沾著油嗎？這則民間故事，有不同的版本，如“包公審錢案”。在舊約聖經列王紀上第 3章，當
二婦人爭奪小孩不下時，所羅門王(King Solomon)叫人拿刀來將小孩劈成兩半，一人一半。二婦
人反應不同，一位就放棄爭取了，一位則贊成將小孩劈了。所羅門王遂將小孩判給放棄者，因他
認為生母是不忍心讓小孩成為兩半的。這種包公、所羅門王式的智慧，與教室玻璃破了，老師先
從平常最調皮者問起的原理類似：當從幾個可能性裡做挑選時，優先挑最可能的情況。會不會誤
判？當然也是會的。清朝劉鶚的“老殘遊記”中，有一“剛弼斷案”的故事就是例子。你以為很
可能會怎麼樣，有時卻不一定。要有隨機的概念，做決策時，不能剛愎自用。聖經列王紀上第 4
章，說“所羅門的智慧超過東方人和埃及人的一切智慧”。這種人們在做選擇時，常採用的所羅
門王式的思維，在統計裡就發展出最大概似法(method of maximum likelihood)─依發生機率之
最大者來決定估計值。此估計法有很多好的性質，常也能得到不錯的估計量。
美國 NBA職業籃球賽，各球隊互有勝負，很難說那一球隊才是最強。在常規比賽裡，每支球
隊要賽82場，各區勝率最高的 8隊可打季後賽。所謂勝率，就是贏的場次除以比賽場次。為了維
持比賽之可看性， NBA有一套選秀機制，使各隊實力不會很懸殊。有時全季排名第一者，勝率還
不到 6成。以一個球季多場比賽後的勝率，決定誰是今年較強者，得以參加季後賽，是職業球賽
常採的作法。諸如估計某項手術的成功機率，估計生三胞胎的的機率，也是常採用這種以“相對
頻率”來估計的想法。因而就發展出動差法( method of moments)。為統計中一重要且常是不錯
的估計法。
不論生活上及科學上，人們常在做估計。估計這綠燈過得去嗎？估計追上心儀女孩子的機率
。估計這樣的成績，能不能上台北大學統計學系。估計中國大陸野生熊貓的數量等。比較嚴肅一
點的，估計台灣明年經濟成長率，估計20年後台灣每年新生兒人數。百家爭鳴，可以有各種估計
法。有道理的估計法，多半有其優點，各有其適用的時機。就如武俠小說裡，少見有那一種武功
是天下無敵的。而一個停止的時鐘，每天都有比一天只慢千分之 1秒的鐘還準的時刻。統計裡的
估計量，是有評比方法的。但所謂優劣，乃依評比指標而定。各擅勝場，不會有那一估計法，是
永遠最佳的。我們再給一種估計法。有時依據過去經驗，或主觀上的認定，會有一些事先的看法
。比方說，一表人才，又彬彬有禮的人，我們對他的初步印象，很可能會不錯。有皎好的外表，
總是無言的推薦。學歷不錯者，常也會吸引人，血統仍是頗具參考價值的。但相處一段時間後，
只見做事顛三倒四，對其評價往往就會做些調整。又如，對銅板出現正面的機率，我們覺得銅板
是中央銀行製造的，不致於太偏頗，應就在 0.5的附近，如0.49至0.51間。至於這區間中的點，
可能性就認為都差不多。換句話說，對於正面出現的機率，你覺得有一事先的分佈。這分佈，是
所謂在區間0.49至0.51的均勻分佈(uniform distribution)。但實際投擲多次後，如果正面出現
的相對頻率是0.68，這時你總不致於還堅持出現正面的機率應在0.49至0.51均勻分佈。一意孤行
畢竟是不好的，雖事先有主見(即使主觀，有時也仍會參考過去的資料)，但依觀測後的結果，調
整原先的看法，這也是人們常有的一種思維方式。在統計裡，就發展出貝氏法(Bayesian approa
ch)。
在論語先進篇中，孔子要幾個弟子分別講其抱負，其中出現了一些數字，像是“方六七十，
如五六十”，又如“冠者五六人，童子六七人”。我們常想知道明天溫度為何？氣象局提供一個
很明確的預報─27度。病人能活多久？醫生說 3個月。但一天中的溫度，從早到晚總是有差異的
。病人也少有因醫生的直斷，就恰好 3個月後死亡。因此有時我們覺得給個範圍，如孔子那幾個
弟子的作法，可能是更清楚的描述。統計裡便發展出信賴區間(confidence interval)估計法。
以某候選人的支持度為例。一個常見的講法是“支持度是0.35，在百分之九十五的信心水準
下，抽樣誤差在正負三個百分點以內”。或者說有百分之九十五的信心水準，支持度介於0.32至
0.38間。或說區間(0.32, 0.38)是支持度之 95%信賴區間。信心水準又稱信賴係數，而 95%就是
0.95，其實是一機率值。只是為什麼不稱機率而稱信心水準，到底有什麼信心？究竟在信賴什麼
？政治人物慣說“我對 XXX是百分之百信賴”。實則彼此貌合神離，勾心鬥角，毫無互信可言。
對於估計一銅板出現正面的機率 p，點估計是以一個值(稱做估計量)來估計。雖然明確，但估計
值要恰好等於 p，其機率常是微乎其微，甚至可說是 0。因此我們對以單一的值來估計 p，信心
自然是不太夠。區間估計是以一隨機區間來估計 p。此區間表 p之可能落在的範圍。信心水準就
是指 p會落在此區間的機率。就估計的觀點，一區間當然較一點更可信賴。我們更有信心此區間
會包含 p。因此稱此區間為信賴區間，有其道理。只是一旦取完樣本，所得之信賴區間，為一確
定的區間。這時該固定區間，或包含 p，或不包含 p。一翻兩瞪眼，已不能再說會包含 p的機率
，是原先的諸如0.95，或0.99了。這是對這些95%，或99%，避開機率一詞，而稱為信心水準的原
因之一。
給出一估計之明確的信心水準，而不像有些人，常掛口中，可信度不高的“百分之百信賴”
，或“完全有信心”，反而使此區間更可信賴。至於有多信賴？信心水準就是給出信賴程度。
從估計的角度，在同一信心水準下，信賴區間愈狹窄愈好，這表示估計愈精準。只是通常這
要增加樣本數才行。這得有成本的考量。又大家是否好奇，為什麼不就給百分之百的信賴區間？
不要有誤差不是很好嗎？只是若要零風險，這種區間往往是很長的，反而失去參考價值。此有如
百分之百追得上的女孩子，男生的興趣通常可能不太高。百分之百成功的投資，不是你沒興趣，
就是輪不到你。在隨機世界中，變數太多，估計不過是個參考。追求太高的信心水準，有時得付
出不小的代價，不見得值得。

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