| 主題：統計思維─3相信機率 |
| 發表者：黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw |
日期：2008/4/28 下午 05:00:17 |
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有法國牛頓之稱的數學家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749-1827)曾說“大部分生活中
最重要的疑問，都只是機率的問題”。在隨機世界裡，機率一詞大家琅琅上口，但一般人是否真
了解機率的涵意呢？
曾在網路上看到回答生雙胞胎的機率之底下一段話，我們一字不改：
機率是統計上騙人的東西，許多事情要重複做 100次才有機率可言。懷孕
不可能 100次，每次懷孕生雙胞胎機率是1/89，但單次懷孕生雙胞胎機率若不
是0%，就是100%。就好像問我，50元銅幣丟到地上一次，是蘭花機率有多少？
事實上，50元銅幣丟到地上，不是總統府，就是蘭花。如果丟到地上 100次，
那麼機率就會接近50%。如果丟到地上1次，蘭花的機率，若不是0%，就是100%
。
回答者對機率的解釋，雖不正確，但說不定是不少人對機率的認知。
機率的意義是什麼？在諸如投擲骰子，或抽籤時，我們常以“相同的可能性”來解釋機率。
即骰子的 6個面，每個面出現機率皆認為是 6分之1；如果有n隻籤，每隻被抽中的機率，皆視為
n分之1。此一解釋，在日常生活中，或賭場裡，還蠻適用的。當沒有其他資訊時，常假設每一可
能的結果，發生之機率都一樣。第二種方式，是以相對頻率來解釋機率。如果一位職棒選手，過
去的打擊率是 0.327。你知道打擊率就是安打數除以打擊次數。則一旦他站上打擊位置，你所認
為他會擊出安打的機率，大抵就是 0.327。這一種常見的對機率之解釋法，還蠻客觀的。其背後
之理論基礎，就是大數法則。針對的現象，是可以重覆觀測的。此外，對於世界盃足球賽，巴西
封王機率為1成，追上某一女孩之機率為6成等，在這類情況，並無法重覆觀測。少有女孩子會讓
你追不上後，換個方法重追一次，再重追，…。因此其中的機率，是主觀的。當然有時主觀機率
的產生，也可能是依據過去一些客觀的資料。
上述三種對機率的解釋法，有時會交錯使用，或彼此相驗證。例如，雖原先主觀地認為骰子
為公正，但投擲夠多次後，依各面出現的相對頻率，說不定會調整對各面機率之看法。
對機率的解釋，並不只前述那三種。在數學上，對於骰子，我們也可就指定每個面會出現的
機率值。這些機率值當然不能是負的，而且加起來要是 1。這是所謂以公理化的方式引進機率，
在此不多討論。無論如何，機率絕非“騙人的東西”。要知事件在發生前才有機率可言。巴西隊
一旦奪冠，再去說該隊封王之機率為何，已無意義。奪冠機率再低，贏了就是幸運，奪冠機率再
高，輸了只能徒呼負負。而觀測一事件，結果是“不發生”，或“發生”，而非“機率0%”，或
“100%”。一事件之發生機率，不論多小，只要不是 0，就可能發生。而發生機率不論多大，只
要不是1，便可能不發生。
投擲一個公正的銅枚100次，正面出現的相對頻率會接近0.5(大數法則)，總共之正面數則在
50附近，不見得會剛好等於50。至於會不會正面數偏離50很遠？極端一點，譬如說連得 100個正
面？此機率為0.5的100次方，按一下計算機，小數點後面連續30個0才出現7。除了小說裡，這種
事件，顯然很少見到。只是機率雖微乎其微，卻仍是正的。事實上，小機率事件，就是常被人們
稱為奇蹟，或說不可能的事件。諸位看過湯姆克魯斯(Tom Cruise)主演的“不可能的任務”(Mis
sion：Impossible)嗎？第一集是 1996年上映，至2006年已經有三集。每一集中之不可能的任務
，最後都完成了。要知“不可能”是口語，並非機率裡的術語。原先你以為不可能的事情，只要
觀測次數夠多，就不難發生。有人稱此為巨數法則(law of truly large numbers)。當小機率遇
上大樣本，其發生就不太令人驚訝了。
毛澤東在“和郭沫若同志”的“滿江紅”那首詞中，有句“一萬年太久，只爭朝夕”。政治
人物多半只在乎當下。對於機率，我們應是不爭一時而爭千秋。對機率的品頭論足，說三道四，
並不能只看少數幾次的結果。一旦觀測次數夠多後，機率的威力就顯現出來，這時僥倖便只能靠
邊站了。有一個銅板，出現正面機率為 0.6。投擲若干次，那一面出現較多次便贏。請問你要選
那一面？雖正面比反面出現的機率高，但假設你不信邪，偏要選反面。則若僅投擲1次，你有0.4
的機率贏，不算太差。投擲10次時，你約有0.287的機率贏，也還可以。但投擲100次時，你贏的
機率就僅約0.016了。至於投擲1,000次時，你贏的機率，是小數點後面10個0才出現4，已極接近
0了。經年累月下來，我們要做許多許多的決策，依機率行事，還是較明智的。
幾年前那本翻譯的書，與天為敵(英文書名是Against the Gods)，曾一時造成洛陽紙貴。此
書宣稱運用機率及統計方法，以控制風險，因而能“趨吉避凶，天威不再難測，人類的未來得以
擺脫諸神恣意的作弄”。有些勵志的書裡則說“雙手萬能，人定勝天”。大家也都知道，一直有
人留連賭場，有人沈迷彩券，追求明牌，想要一夕致富。我們的看法是，趨吉避凶，與天為敵，
及人定勝天等，都是奢望。與天為友才是對的。而對於賭，就以樂透彩為例。號稱公益彩券，發
行銀行拿出來當獎金的，約是總投注金額的 56%。你想豪賭，拿出10萬元投入，中的獎金繼續投
入。每週開兩期，你知道1個月也就是8期後，會成為多少錢嗎？隨機現象，當然不一定，說不定
你財星高照，8期皆中頭獎。只是不難理解，你的錢將大約以每期0.56的比例下降。8期後約成為
10萬元乘上0.56的8次方，差不多是967元，下降速度驚人。投資彩券，將會如紅樓夢四十七回裡
鳳姐所說“這一吊錢，頑不了半個時辰，那裡頭的錢就招手叫他了。”沒辦法，機率是這樣告訴
我們。十年才能贏得青樓薄倖名。但想跟樂透彩拼的人，要贏得公益名，所花的時間，可是超乎
想像的短。
你可以拼經濟，也可以拼政治。但在隨機世界中，卻要相信機率，而不要挑戰機率。 |
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