| 主題：統計思維─2了解變異 |
| 發表者：黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw |
日期：2008/4/26 下午 04:21:43 |
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男生 1人重32公斤，10人共重幾公斤？這是小學裡的數學題目。長大些後，你知道即使是同
年級的男生，也不會每個人都同重。又不只是不同的人，同一個人投擲標槍，同一個人跑步，同
一個人的體重，甚至應為一常數的二定點之間距，每次量測可能都有些差異。變異！你開始注意
到變異，各種數量不再全然是常數。逐漸地，你也開始有了隨機的概念。你知道考試總有些不可
測的因素(就姑且說是運氣吧)。你也知道有些人命不錯，含著金湯匙出世。但你又聽說命好不如
運好，運自然是屬於隨機的。
宇宙的運轉，有必然性與隨機性交錯著進行。例如，我們知道哈雷慧星每76年接近地球一次
(這是必然性)。只是雖能知道76年後的事，但明天會不會下雨？就不是那麼確定了(隨機性)。又
如，將手上的銅板鬆開，在中學物理課程裡學過，如果忽略空氣阻力，則在高度固定下，銅板落
地所需時間，是個定值。但落地後那一面朝上？就事先無法預知了。
根據我們的經驗，也有醫學上的依據，較高的人生出的小孩往往也較高，但仍會有些變異。
龍兄鼠弟，例外一向不少。所謂一樹之果有酸甜之別，一母之子有賢愚之分。努力就有好收穫？
聰明的人成績就較好？諸如努力，才智及遺傳等，對一個人的未來，通常很有決定性的影響。但
世事多變，也不盡然就如此。意外、豈有此理之事屢有發生。造物者讓人們對未來，知道大致會
發生那些事，及如何發生。但又不想讓人們對於未來，能完全掌握。要知在隨機世界裡，必然性
使人們願意事先好好準備，而隨機性則使人們對未來，充滿著盼望與戒慎恐懼。光有必然性的世
界，亳無變異，對未來缺乏盼望，將讓人們少了努力的動機。而光有隨機性的世界，只靠運氣，
將令人失去積極認真的企圖心。三分天注定，五分靠打拼，兩分靠運氣。我們必須敬佩造物者這
樣的設計。
由於變異無可避免的存在，我們所能做的，便是要了解變異，有時還要設法減少變異。以抽
樣調查某產品製造的良品率為例。一個常見的作法是，抽出的產品若為良品，以 1表示，不良品
則以 0表示，如此得到一個像是1，0，1，1，1，0，1，1，0，0，0，…的數列。再以抽至第n次
後，總共所得到 1的個數，除以n，當做良品率之近似值。也就是以平均l出現的次數，來估計良
品率。人們習於這樣做，而且似乎也知道，如果想要估計夠精準，也就是想讓樣本的平均良品率
，與實際的良品率之差異小些，則樣本數 n便要較大。付出較多的代價(取樣大)，以換得更大的
準確性(變異小些)，這是合理的。諸如銅板出現正面的機率，湖裡某種魚所佔之比率，選民對某
候選人的支持度等，這類0、1；正、反；是、否；成功、失敗等，兩個結果的現象，想知道其中
一種現象出現的機率到底為何？都可用上述“平均成功率”來表示。反之，如果你原本便知良品
率，現假若有人並未實際抽樣，則檢視那一串0，1的數列，並不難讓你懷疑很可能是捏造出來的
。造假者不易以“隨機”一詞來強辯。這是我們的幸運，雖世事多變，但萬物有常。在隨機世界
中，是存在所謂隨機法則的。法則之一，便是前述平均法的理論依據─大數法則(law of large
numbers)。原來那個有如無理數不循環的小數部分，看似沒有規律的0，1數列，其實被大數法則
規範0，1出現的情況。但既然是隨機數列，則不論 n多大，都不能保證前述平均值，就剛好等於
良品率。那誤差究竟有多大？
在數學中，常在求近似值。當以一多項式，來近似一比較複雜的函數時，必須要能給出誤差
大小，否則這種近似的用途便不大。射飛標，有時偏右有時偏左，不能只說平均會命中紅心。一
支職棒球隊的平均年薪雖很高，但除了少數幾位身價超高者外，很多球員可能只得溫飽。還要知
道薪水的變異，才能對整支球隊的薪資結構，有較清晰的概念。另一個隨機法則─中央極限定理
( central limit theorem)，便告訴我們，在一些並不太嚴格的條件下，量測所得之誤差有常態
分佈( normal distribution)。與數學中的誤差不同，此處誤差大小是隨機的。但誤差之散佈情
形，是能描述的。
上述二隨機法則要能適用，所抽取的樣本，得是較一般的，這樣才能有代表性，不至於太偏
差。在統計裡，常在做預測、做估計。本質上是在做以偏概全的事。雖偏卻能概全，這是統計學
家的本領。但如果樣本實在太偏差，那就真是以管窺天，見不到全貌了。更明確地說，各次取樣
要彼此沒有關連，即這些樣本是相互獨立的。而且這些不同的樣本要有相同的分佈。以估計銅板
出現正面的機率為例，不能每次投擲，只是往前輕輕一丟，這樣每次大約都得到相同的面( 不獨
立)。另外，也不能每次所用的銅板，出現正面的機率不同(分佈不同)。
但獨立且分佈相同的假設容不容易辦到呢？如果是投擲銅板，此假設大致會成立。如果要藉
由隨機地投擲芝麻，落進一圓中的芝麻數，與落進其外切圓的芝麻數之比值，來估計圓周率π，
可能也大致還可以。但對於要處理人的問題，就不是很容易辦到了。一方面不同的人之間有差異
，一方面人可不像銅板般，會馴服地讓你重覆實驗。以民意調查為例，人不見得會誠實回答問題
，甚至還會改變主意。所以實際應用統計方法時，要更謹慎，否則造成的變異，會比預期的大很
多。
事實上，即使在弱一些的條件下，大數法則及中央極限定理也仍適用。在大量的觀測後，大
數法則指出，所得到的平均值，會接近該得到的值。平均值會在此該得到的值附近波動。至於誤
差，為一隨機的量。中央極限定理給出，誤差差不多有常態分佈。科學上常要做量測。有史以來
三大數學家之ㄧ的高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)，曾研究誤差理論。在一些假設下，
他亦導出量測的誤差有常態分佈。因此常態分佈又稱高斯分佈( Gaussian distribution)。德國
現在用歐元，往昔用馬克。德國10馬克，是以高斯為人像。高斯在數學上有諸多重要成就，但在
10馬克上陪伴高斯的，不是別的，就是一常態分佈的曲線。可見此分佈不只在統計，甚至在科學
上之重要。
最後，必須要了解的是，那一串0，1數列，1出現的“相對頻率”(即出現次數除以觀測次數
n)，會接近 1出現的機率。但此不表1出現的頻率(即出現總次數)，會接近我們所期望1該出現的
次數。以投擲一公正銅板為例。對於 n為2，與n為10，你認為是前者還是後者較易出現正、反面
數相同？答案是前者，發生之機率為 2分之1，後者發生之機率為1,024分之252，約為0.246，不
到4分之1。若 n為10,000，此機率將更小，約為0.008。即若n愈大，出現之正面數，將在投擲數
之半附近一更大的範圍內波動(變異增加)，愈易偏離所期望的投擲數之半。大數法則是針對平均
，而非和。也就是所得之正面數除以投擲數，才會愈來愈接近(變異減小) 1/2。很多人不明白這
點，看到樂透彩已經開了這麼多期，怎麼各號碼出現的頻率差異愈來愈大，以為真有氣比較旺的
號碼，以及真有冷門號碼。大數法則是告訴我們，當開的期數愈多( n愈大)，任一號碼出現的相
對頻率，會愈來愈接近該號碼出現的機率值。相對頻率的變異會變小，至於頻率的變異則會變大
。而且這還不是專業的說法。比較正確的講法是，當開的期數愈多時，任一號碼出現的相對頻率
，與該號碼出現的機率值之差異，會很小的機率將很大(即接近1)。這是隨著n的增大，變異會愈
來愈小的意思。
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