37 從迴歸效應談起

鐵的紀律或愛的教育，何者對提高成績較有幫助？這可能不容易回答。有位小學低年級教師，一向嚴責考試成績不佳的學生，但對考得好的學生，不要說獎勵了，連口頭讚美也吝惜。多年的教學經驗告訴他，本來考得較差的學生，經處罰後，往往下次會進步；至於原先考在前面者，常有不少下次成績退步了。這位教師相信，若當初還獎勵或讚美考得較好者，豈不是會讓他們退步更多？處罰考差者，且不讓考得好者鬆懈，最後受惠的是學生，他認為這才是真為學生好。他以此經驗傳授給新進教師，只是有細心的新教師注意到，那些秉持愛的教育，對學生一向鼓勵有加的教師，班上學生成績，也屢有上次考得好，下次下降；上次考得差，下次上升的現象。啊！年輕教師猛然想起，大學時修過統計學，其中曾提到一著名的迴歸效應(regression effect)。原來對低年級學生，那會了解什麼少壯不努力，老大徒傷悲？那會了解什麼學如逆水行舟不進則退？考試到了，就是去應考，並未特別在意。因而高分下降或低分上升，乃稀鬆正常，跟教師對待學生是否嚴厲，並無太大關係。

為了描述父親身高與兒子身高兩變數間的關係，19世紀時，英國學者高爾頓(Sir Francis Galton，1822-1911)，引進了迴歸的概念，由此衍生出迴歸分析此一現今常用的統計方法。高爾頓先注意到，個子較高的父親，兒子亦有較高的傾向，至於較矮的父親，兒子也有較矮的傾向。這當然不是什麼了不起的發現，僅是眾所皆知的遺傳之影響而已。但隨後高爾頓又觀察到，較高的父親，兒子往往比父親稍矮些，而較矮的父親，兒子卻屢比父親略高些。高爾頓稱此現象為“向平均迴歸”(regression toward the mean)，也就是靠向平均。其中“迴歸”(regression)一詞，即有後退或退化的意思。後來便稱此為“迴歸效應”。在高爾頓所獲得的1,078對父子的身高數據中，父親的平均身高約為68吋(=172.72公分)，兒子則約為69吋(=175.26公分)。既然兒子比父親平均約高1吋，因此直觀上，對一個72吋(=182.88公分)比平均高的父親，會估計其兒子身高73吋，而對一個64吋(=162.56公分)比平均矮的父親，會估計其兒子身高65吋。實際上，分別約為71吋及67吋，前者較預期矮了2吋，後者則較預期高了2吋，皆向兒子身高的平均值69吋靠近。雖然高父親還是有高兒子，矮父親還是有矮兒子，但平均而言，下一代的平均身高拉近了。

是上天濟弱扶傾，有意做一些平衡，才產生迴歸效應嗎？倒也非如此。就仍以父子身高為例，來說明迴歸效應產生的原因。高爾頓的時代，由於營養及生活環境逐漸改善，人們的身高隨之一代一代略增，但也沒增太多，今日則已趨於平穩了。假設某國男子最高的達235公分，又假設這些235公分高的長人，他們兒子的平均身高沒有比較高，仍為235公分。但因不致於全部長人家庭，下一代都一般高，故即使那群兒子的平均身高為仍為235公分，則其中必有比235公分還高者，當然也會有比235分還矮者。如此一代超越一代，該國的長人身高紀錄，將不斷提高。但人類的身高紀錄，倒也沒有一直持續上升。故身高235公分的那群父親，其兒子的平均身高，不要說不會多於235公分，比較可能會少於235公分。反過來，最矮的那群父親，其兒子的平均身高，也很可能會比其父親輩增加些。

考試成績也不乏迴歸效應。第一次考高分者，除因本身程度較佳之外，運氣大抵不會壞。如此第二次考試，就“較不容易”有比原先更多的好運了。例如，假設某科的滿分為100，則第一次考95分者，往上只有5分的成長空間，要提高豈會容易？下降還較可能。況且，考95分者，有些實際程度說不定是90分，但因好運，不但會的大都寫對，且做對一些向來不太會的題目，因而多出5分，達到95分。多5分已不容易了，下次再考，合理的預期，是不會有更佳的運氣了。而第一次只考10分的人，除了程度較差外，運氣大約也不會太好，連猜都大部分猜錯。而既已在谷底，第二次又能怎樣往下掉呢？運氣豈易比不佳更不佳？也不妨這樣想：為什麼人們會擔心一試定終身？因覺程度不見得能在每次考試，都實在地反映出來。考試成績乃真正程度，加上誤差後之呈現。誤差總是難以避免，會有些機運，可能正向也可能負向。即使每次考試成績為獨立，但如果再考一次，便須放棄原有的成績，則這次考不好者，會較樂於再試一次；若這次得到的成績，已大致不少於自己應有，則是否該再試一次，就得長考了。

胡適(1891-1962)在“嘗試歌”裡寫著，“自古成功在嘗試！莫想小試便成功，那有這樣容易事。有時試到千百回，始知前功盡拋棄。”雖胡適鼓勵人們要多嘗試，但了解迴歸效應後，是否一旦居於領先，只要守成就好，免得愈試愈差，而落後者，則可盡量一試再試，因會愈來愈好？

我們曾在"談不確定性”(2013)一文裡說：

宇宙的運轉，乃必然性與隨機性，交錯著進行。天體運行及科學的很多領域中，充滿著必然性。中學的平面幾何裡，便有極多必然性的結果。例如，任一直角三角形，兩股平方和等於斜邊平方，此即著名的畢氏定理，…。在隨機世界裡，必然性使人們願意事先好好準備，因花了功夫，總有相當成效，所謂努力就有好收護；隨機性則使人們對未來充滿著不確定與盼望，因此會戒慎恐懼且不輕易放棄。光有必然性的世界，單調而無變化，將令人對未來失去憧憬，少了努力的動機。光有隨機性的世界，一切只靠運氣，凡事都不確定，將令人不想積極認真。想想若自進高中起，全班的成績排序，三年下來都維持不變；或另一極端，每學期名次全由抽籤決定，那將是什麼情景？必然性加上隨機性，使人們在困境時，會期待隨機性來扭轉，在順境時，會期待必然性能常保。永遠有期待，不論這個世界是如何形成的，必然性與隨機性的並存，此結構實在相當巧妙。看過“千鈞一髮”(Gattaca，1997)嗎？電影裡，每個人只要一出生，便依照基因，被指定可做什麼工作。基因好的裘德洛(Jude Law，1972-)，卻因某意外事件，造成半身不遂，退出太空人的訓練。天下畢竟不是只有必然性，基因再好也阻止不了意外的發生。而一心想當太空人的伊森霍克(Ethan Hawke，1970-)，卻屬於基因不良者，早就被排除當太空人的可能。伊森霍克放棄了嗎？憑努力加上幸運，伊森霍克最終打敗了基因，升上太空。

子女看著父親或母親成就高，想到不易超越，會感到沮喪嗎？要知迴歸效應乃是就整體平均而言，但高個子父親兒子更高、分數已很高下次更高，這類例子一直也不少。機率也是一樣，雖為做決策時之重要依據，但即使整體而言，顯示嘗試不宜，卻仍因人而異，不時有人試圖突破。如某事做成功的機率為0.01，一般人聽了會打退堂鼓。但就是有人不信邪，覺得自己非一般人，願意去嘗試。在經充分準備後，他成了1百人中成功的那一個。所以，迴歸效應可能會被打敗，機率可能會被打敗，幾千年來，人類的很多大重大發現或進展，常是依靠那些不相信平均者，認為自己非正常人(normal people)者。