國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(三十七)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2022/2/20 下午 01:44:21

37 從迴歸效應談起

鐵的紀律或愛的教育,何者對提高成績較有幫助?這可能不容易回答。有位小學低年級教師,一向嚴責考試成績不佳的學生,但對考得好的學生,不要說獎勵了,連口頭讚美也吝惜。多年的教學經驗告訴他,本來考得較差的學生,經處罰後,往往下次會進步;至於原先考在前面者,常有不少下次成績退步了。這位教師相信,若當初還獎勵或讚美考得較好者,豈不是會讓他們退步更多?處罰考差者,且不讓考得好者鬆懈,最後受惠的是學生,他認為這才是真為學生好。他以此經驗傳授給新進教師,只是有細心的新教師注意到,那些秉持愛的教育,對學生一向鼓勵有加的教師,班上學生成績,也屢有上次考得好,下次下降;上次考得差,下次上升的現象。啊!年輕教師猛然想起,大學時修過統計學,其中曾提到一著名的迴歸效應(regression effect)。原來對低年級學生,那會了解什麼少壯不努力,老大徒傷悲?那會了解什麼學如逆水行舟不進則退?考試到了,就是去應考,並未特別在意。因而高分下降或低分上升,乃稀鬆正常,跟教師對待學生是否嚴厲,並無太大關係。

為了描述父親身高與兒子身高兩變數間的關係,19世紀時,英國學者高爾頓(Sir Francis Galton1822-1911),引進了迴歸的概念,由此衍生出迴歸分析此一現今常用的統計方法。高爾頓先注意到,個子較高的父親,兒子亦有較高的傾向,至於較矮的父親,兒子也有較矮的傾向。這當然不是什麼了不起的發現,僅是眾所皆知的遺傳之影響而已。但隨後高爾頓又觀察到,較高的父親,兒子往往比父親稍矮些,而較矮的父親,兒子卻屢比父親略高些。高爾頓稱此現象為“向平均迴歸”(regression toward the mean),也就是靠向平均。其中“迴歸”(regression)一詞,即有後退或退化的意思。後來便稱此為“迴歸效應”。在高爾頓所獲得的1,078對父子的身高數據中,父親的平均身高約為68(=172.72公分),兒子則約為69(=175.26公分)。既然兒子比父親平均約高1吋,因此直觀上,對一個72(=182.88公分)比平均高的父親,會估計其兒子身高73吋,而對一個64(=162.56公分)比平均矮的父親,會估計其兒子身高65吋。實際上,分別約為71吋及67吋,前者較預期矮了2吋,後者則較預期高了2吋,皆向兒子身高的平均值69吋靠近。雖然高父親還是有高兒子,矮父親還是有矮兒子,但平均而言,下一代的平均身高拉近了。

是上天濟弱扶傾,有意做一些平衡,才產生迴歸效應嗎?倒也非如此。就仍以父子身高為例,來說明迴歸效應產生的原因。高爾頓的時代,由於營養及生活環境逐漸改善,人們的身高隨之一代一代略增,但也沒增太多,今日則已趨於平穩了。假設某國男子最高的達235公分,又假設這些235公分高的長人,他們兒子的平均身高沒有比較高,仍為235公分。但因不致於全部長人家庭,下一代都一般高,故即使那群兒子的平均身高為仍為235公分,則其中必有比235公分還高者,當然也會有比235分還矮者。如此一代超越一代,該國的長人身高紀錄,將不斷提高。但人類的身高紀錄,倒也沒有一直持續上升。故身高235公分的那群父親,其兒子的平均身高,不要說不會多於235公分,比較可能會少於235公分。反過來,最矮的那群父親,其兒子的平均身高,也很可能會比其父親輩增加些。

考試成績也不乏迴歸效應。第一次考高分者,除因本身程度較佳之外,運氣大抵不會壞。如此第二次考試,就“較不容易”有比原先更多的好運了。例如,假設某科的滿分為100,則第一次考95分者,往上只有5分的成長空間,要提高豈會容易?下降還較可能。況且,考95分者,有些實際程度說不定是90分,但因好運,不但會的大都寫對,且做對一些向來不太會的題目,因而多出5分,達到95分。多5分已不容易了,下次再考,合理的預期,是不會有更佳的運氣了。而第一次只考10分的人,除了程度較差外,運氣大約也不會太好,連猜都大部分猜錯。而既已在谷底,第二次又能怎樣往下掉呢?運氣豈易比不佳更不佳?也不妨這樣想:為什麼人們會擔心一試定終身?因覺程度不見得能在每次考試,都實在地反映出來。考試成績乃真正程度,加上誤差後之呈現。誤差總是難以避免,會有些機運,可能正向也可能負向。即使每次考試成績為獨立,但如果再考一次,便須放棄原有的成績,則這次考不好者,會較樂於再試一次;若這次得到的成績,已大致不少於自己應有,則是否該再試一次,就得長考了。

胡適(1891-1962)在“嘗試歌”裡寫著,“自古成功在嘗試!莫想小試便成功,那有這樣容易事。有時試到千百回,始知前功盡拋棄。”雖胡適鼓勵人們要多嘗試,但了解迴歸效應後,是否一旦居於領先,只要守成就好,免得愈試愈差,而落後者,則可盡量一試再試,因會愈來愈好?

我們曾在"談不確定性”(2013)一文裡說:

宇宙的運轉,乃必然性與隨機性,交錯著進行。天體運行及科學的很多領域中,充滿著必然性。中學的平面幾何裡,便有極多必然性的結果。例如,任一直角三角形,兩股平方和等於斜邊平方,此即著名的畢氏定理,…。在隨機世界裡,必然性使人們願意事先好好準備,因花了功夫,總有相當成效,所謂努力就有好收護;隨機性則使人們對未來充滿著不確定與盼望,因此會戒慎恐懼且不輕易放棄。光有必然性的世界,單調而無變化,將令人對未來失去憧憬,少了努力的動機。光有隨機性的世界,一切只靠運氣,凡事都不確定,將令人不想積極認真。想想若自進高中起,全班的成績排序,三年下來都維持不變;或另一極端,每學期名次全由抽籤決定,那將是什麼情景?必然性加上隨機性,使人們在困境時,會期待隨機性來扭轉,在順境時,會期待必然性能常保。永遠有期待,不論這個世界是如何形成的,必然性與隨機性的並存,此結構實在相當巧妙。看過“千鈞一髮”(Gattaca1997)嗎?電影裡,每個人只要一出生,便依照基因,被指定可做什麼工作。基因好的裘德洛(Jude Law1972-),卻因某意外事件,造成半身不遂,退出太空人的訓練。天下畢竟不是只有必然性,基因再好也阻止不了意外的發生。而一心想當太空人的伊森霍克(Ethan Hawke1970-),卻屬於基因不良者,早就被排除當太空人的可能。伊森霍克放棄了嗎?憑努力加上幸運,伊森霍克最終打敗了基因,升上太空。

子女看著父親或母親成就高,想到不易超越,會感到沮喪嗎?要知迴歸效應乃是就整體平均而言,但高個子父親兒子更高、分數已很高下次更高,這類例子一直也不少。機率也是一樣,雖為做決策時之重要依據,但即使整體而言,顯示嘗試不宜,卻仍因人而異,不時有人試圖突破。如某事做成功的機率為0.01,一般人聽了會打退堂鼓。但就是有人不信邪,覺得自己非一般人,願意去嘗試。在經充分準備後,他成了1百人中成功的那一個。所以,迴歸效應可能會被打敗,機率可能會被打敗,幾千年來,人類的很多大重大發現或進展,常是依靠那些不相信平均者,認為自己非正常人(normal people)者。

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