36 風險
嗜賭普遍被認為是不好的習性，不少嗜賭者後來傾家蕩產、眾叛親離。勸人戒賭者，常會說十賭九輸。現假設有某好賭的A君不服氣，提出如下一簡單的賭局：每回不論下多少賭注，輸了賭注被收走，贏了則除拿回賭注亦獲賠相同金額。並未限定這是一公正賽局，但A君給出如下必勝策略：第1次賭a元，a>0，贏了就停止不賭，輸了第2次賭2a元。再度，贏了就停止不賭，輸了第3次賭22a元，餘類推。我們來看此是否真為必勝策略。
假設賭到第k次結束後停止，則第k次贏2k-1a元，而前(k-1)次共輸
(1+2+…+2k-2)a元=(2k-1-1)a元。
故賭局停止時，A君淨贏a元。此策略看起來是能必勝，但真能這樣做嗎？底下來分析。
設每次A君贏的機率為p，即輸的機率為1-p，0<p<1。若p≠0.5，此便非一公正的賽局。但A君信心滿滿，認為不論p多小，他贏定了。現設至停止時，A君共賭X次，則
P(X=k)=p(1-p)k-1，k≥1。
即X有參數為p之幾何分佈。因E(X)=1/p，若p=0.5，賭局平均2次結束。即使p=0.1，賭局平均10次結束，賭的次數總是有限的，且除非p很小，否則通常並不必賭太多次。但由
P(X≥k)=(1-p)k-1，k≥1，
雖平均有限次便能結束賭局，但所需賭的次數，卻可能(機率為正)無止盡的大。事實上，若A君的口袋夠深，通常的確能淨贏a元，快樂地離去。但當連輸k-1次，且k較大，導致A君擁有的資金已不足2k-1a元，則第k次他便無法下注了。除非賭場能讓他欠錢。但賭場怎會搬磚頭砸自己的腳？所以這並非一真的必勝策略。不過，由此我們得到啟示，對資金夠雄厚者，如果野心不太大(即a不大)，投資時不冒太大的風險(如避開p太小者)，則便較易(機率較大)達到目標。而資金不夠雄厚卻野心過大者，通常便不易達到目標。
再看一例子。設B君參加前述賭局，每回賭注多寡不拘，且每回他獲勝之機率為0.4，輸之機率為0.6。設B君有n個籌碼，我們來比較二策略。策略(一)乃一次n個籌碼全下注，且只賭1次。令Sn表賭局結束後，B君之淨所得。則可求出
E(Sn)=-0.2n，Var(Sn)=0.96n2。
策略(二)乃每次賭1籌碼，共賭n次，令Tn表賭局結束後，B君之淨所得。則可求出
E(Tn)=-0.2n，Var(Tn)=0.96n。
在賭局對B君不利下，策略(一)的孤注一擲，與策略(二)之分散風險，B君淨所得之期望值不變，都是-0.2n，但前者之變異數為後者之n倍。即在本例中，B君若採分散風險策略，將使損失之變異數減小。
在上例中，當n夠大時，由中央極限定理，
(Tn+0.2n)/(0.96n)1/2
其分佈近似於N(0,1)。故
(1) P(Tn<0)≈P(Z<0.2n/(0.96n)1/2)，
且
(2) P(|Tn+0.2n)/(0.96n)1/2|≤3)≈P(|Z|≤3)，
其中Z有N(0,1)分佈。現取n=10,000，代入(1)式，得
P(T10,000<0)≈P(Z<2,000/(9,600)1/2)≈P(Z<20.41)，
超過20個標準差，不必查表，也不必用計算器，此機率幾乎是1了。即在賭局不利下，若採孤注一擲的策略，則B君有0.4的機率，淨所得為正數10,000；但若採分散風險策略，則B君之淨所得幾乎(機率極接近1)是負的。次將n=10,000，代入(2)式，則有
P(|(T10,000+2,000)/(9,600)1/2|≤3)≈P(|Z|≤3)≈0.9973。
即
P(-2,294<T10,000<-1,706)≈0.9973。
因而不像採策略(一)，有0.4的機率，B君之淨所得為正數10,000，採策略(二)，淨所得有極大機率(0.9973)，介於-2,294至-1,706間。雖幾乎是穩輸，但不像採策略(一)，有不小的機率(0.6)輸很多(10,000)。此例說明，何以在賭場、商場或戰場上，居劣勢的一方，屢採孤注一擲策略，因這樣仍有贏的機會，雖一旦輸就是損失很大。至於步步為營者，雖損失不會過大，卻沒什麼取勝的機會。
買保險有必要嗎？既說是“險”，便知其中有風險。有人樂於買保險，沒理賠時覺得很好，畢竟健康平安最幸福，而一旦生病住院醫療，獲得理賠時，便覺幸好有投保。保險公司在負擔包含員工薪資等各種行政費用，還要獲利，因而對投保者而言，直觀上，其希望淨所得必為負值，即這是一非公正的賽局。但之所以願意投保，並非為了賺錢，乃基於每年的保費自己負擔得起，而世上災禍難料，若因醫療需要，得有大筆支出，此時便有保險做後盾了。另一方面，保險公司也並非必然獲利，它也是有風險的。眾所周知，保險公司乃向投保人收取保費，以支付經營的各種開銷。保費要仰賴精算師(actuary)細算，利用死亡、傷害及意外等各種數據，以制定保單。但即使經過精算，也難免會遇到很多人同時要求理賠的情況，當然那可能百年才一次。如2001年9月11日，發生在美國包括紐約市在內數地的九一一襲擊事件(September 11 attacks)，因該事件而死亡或失蹤的總人數，至少有2,996人。又，並非只有恐怖攻擊，才會導致大量死亡，也有人謀不臧的。如因隨意更動建築設計，導致1995年6月29日，南韓三豐百貨店倒塌事故(Sampoong Department Store Collapse)，造成502人死亡，937人受傷。突如其來的意外，是否會賠不出來？也就是保險公司本身保險嗎？底下以一簡單的例子來說明，保險公司若未適當規畫避險的方式，便絕非穩賺不賠。
根據衛生福利部之統計，2020年，台灣因“事故傷害”而死亡的人數為6,767人。至2020年底，台灣的人口約2,357萬，故2020年的意外死亡率不妨以
6,767/23,570,000≈2.87×10-4
為估計值。現假設C君成立一家保險公司，只承辦意外事故導致身故才理賠。保費每案一律每年4千，理賠金額則為5百萬，單位皆為台幣的元。又設每一投保案之平均行政支出費用為1,100。以Y表某一投保者在2020年之淨所得，則
E(Y)≈2.87×10-4×5×106-4,000=1,435-4,000=-2,565
為一負值。但該投保者並不太在意，因他是為了一旦遭遇意外身故，可留給家人一個保障，投保可不是為了被理賠。至於對C君而言，以W表2020年，對某一投保者，所淨獲之利益。則
E(W)≈4,000-2.87×10-4×5×106-1,100=1,465。
對每一投保案，C君平均淨獲利益約1,465，雖不如投保者以為的約有2,565那麼高，但每案之獲利超過35%，比很多行業好多了。那C君是否得承擔風險呢？
假設只有1千人投保，則這1千人皆未意外身故的機率約為(1-2.87×10-4)1,000，因而其中至少有1人意外身故的機率為
1-(1-2.87×10-4)1,000≈1-0.750=0.250。
約1/4的機率，並不算小。保費扣除行政支出後之總額為
(4,000-1,100)×1,000=2,900,000，
因此只要理賠1人，便虧了210萬，在經營初期，C君可說常處於心驚膽跳的狀態。若保戶中，有一群相識者常呼朋引伴來投保，而某回他們搭同一輛遊覽車出遊，卻不幸翻車遇難身亡，C君若資金不夠雄厚，這時將賠慘了。但由中央極限定理可求出，只要保戶夠多，如達到10萬，則C君會虧的機率便很小；若保戶夠達到百萬，則C君會虧的機率，便將微乎其微。但要能撐到保戶達到百萬，資金當然得相當雄厚。
再看一開始那一賭局。設D君每次投注1元，輸了賭注被收走，贏了除拿回賭注亦獲賠1元。又設每次D君贏的機率為p，即輸之機率為1-p，0<p<1。令Un表賭n次後，D君之淨所得。則易求出
E(Un)=n(2p-1)，Var(Un)=4np(1-p)。
當n夠大時，由中央極限定理，
P(Un≥1)=P((Un-n(2p-1))/(4np(1-p))1/2≥(1-n(2p-1))/(4np(1-p))1/2)≈1-Φ(((n+1)/2-np)/(np(1-p))1/2)，
其中Φ(x)=P(Z≤x)，x∈R，且Z有N(0,1)分佈。現假設D君所賭為歐式輪盤(European roulette)，即有1至36的數字，奇數為紅色，偶數為黑色，再加上一綠色的0。押紅黑中的某色，0出現算莊家贏，即p=18/37，賠率仍設為1賠1。對一些不同的n，我們給出P(Un≥1)之近似值如下：
n=102，P(Un≥1)≈0.3555，
n=103，P(Un≥1)≈0.1876，
n=104，P(Un≥1)≈3.327×10-3，
n=105，P(Un≥1)≈5.997×10-18。
即設D君之欲望不高，賭n次，只要有贏(即Un≥1)即可。若只賭1次，P(U1≥1)=18/37≈0.4865，D君的心願尚不難達成。但隨著n之增大，D君將愈來愈難如願。要知對大部分的賭客，一旦上了賭桌，便不易下來，所以他們的n是很大的。因而在此情況下，賭場並不太擔心風險問題。
在“三國演義”第九十五回裡，蜀國承相諸葛亮(181-234)在第一次北伐(即一出祁山)時，魏國派出驃騎大將軍司馬懿(179-251)前去對抗。司馬懿對先鋒張郃(生年不詳-231)論斷諸葛亮，“諸葛亮平生謹慎，未敢造次行事。若是吾用兵，先從子午谷逕取長安，早得多時矣。他非無謀，但怕有失，不肯弄險。”子午谷南北縱向，長約330公里，北起陝西省長安縣西南秦嶺山中，南至石泉縣。“不肯弄險”在此處，被司馬懿視為諸葛亮之一缺點。但在同一回裡，守在西城的諸葛亮，於接獲飛馬來報，說司馬懿引大軍15萬望西城蜂擁而來。由於身邊將領已全派遣出去，且城中僅餘一班文官及二千五百軍，只好擺出空城計。從遠處望到此情況的司馬懿，立即下令退兵。其次子司馬昭(211-265)說，“莫非諸葛亮無軍，故作此態？父親何故便退兵？”司馬懿回答，“亮平生謹慎，不曾弄險。今大開城門，必有埋伏。我兵若進，中其計也。汝輩豈知？宜速退。”待魏軍遠去後，餘悸猶存的眾文官，立即問諸葛亮，統率15萬精兵的司馬懿，乃魏之名將，怎麼從遠處，看到承相坐在城樓焚香操琴、悠閒自得，便趕緊撤軍？諸葛亮答道，“此人料吾生平謹慎，必不弄險；見如此模樣，疑有伏兵，所以退去。吾非行險，蓋因不得已而用之。”原來弄險、不弄險，有時恰當，有時不恰當。
我們雖藉數例，以機率的角度來分析風險，但在實務上，若只賭1、2次，有些人便不見得認同，僅憑機率的紙上談兵，為恰當的決策。反而習於採弄險或不弄險式地隨機應變，且以成敗論英雄。雖然如此，如同在介紹主觀機率時所說，即使採隨機應變，仍可先評估一下機率。“三國演義”第九十三回，當魏國軍師王朗(153-228)，前來企圖以話術逼迫諸葛亮不戰而退兵。諸葛亮心想，“王朗必下說詞，吾當隨機應之。”結果一席話下來，反讓王朗聽後，“氣滿胸膛，大叫一聲，撞死於馬下。”“三國演義”裡，將諸葛亮描述成極擅長隨機應變。但在陳壽(233-297)著的“三國志”之“諸葛亮傳”裡，於評論諸葛亮時，說他“可謂識治之良才，管、蕭之亞匹矣。然連年動衆，未能成功，蓋應變將略，非其所長歟！”小說裡或許會過於渲染，陳壽則認為諸葛亮的應變能力有所不足，由於是正史，說不定較接近真實。但無論如何，不論在小說及正史中，均顯示面對風險時，隨機應變的能力是很重要的。
