28 再探假設檢定

機率與統計有何不同？考卷上有道題，“設有一公正銅板，獨立地投擲20次，試求至少出現17個正面的機率。”不必在乎是否真有一個公正銅板，也不必實際去投擲，學生很快便能算出正確答案1,351/2²⁰。此為機率問題，在給定的前提(銅板為公正)下，去推導出指定事件的機率。其中前提是給的，不必去懷疑是否真有此前提，這與數學裡一向的推導，其精神是一致的。再看一情況。若有人獨立地投擲某銅板20次，由於事先看不出銅板有何特別，因而合理地視為公正。結果一擲之下，得到17個正面。因正面數過多，遂懷疑該銅板並非公正，出現正面的機率可能大於0.5，於是去執行一個假設檢定。這便是統計問題，見可疑追查到底，由觀測到的結果，去檢驗前提(銅板為公正)是否可接受。

對於銅板，若投擲出較偏差的結果，便懷疑其公正性；若投擲出的正面數，約為一半的投擲數，便大致相信其公正性。因正面數出現的多寡，乃由銅板出現正面的機率而定，且銅板會無怨無悔地讓人投擲，並維持同一出現正面的機率。至於投擲的人會不會搞鬼？除非有證據，否則便不考慮此因素，當然也是認為銅板的投擲，想搞鬼沒那麼容易。但銅板之外的假設檢定，就得很謹慎地執行。如曾有一則報導，標題是“德國科學家證實，喝綠茶可以減肥”。看到這種新聞，立即會令人想到假設檢定，要找人做實驗。但人可不是銅板，每個人之體質各不相同、人也不見得會安份地聽命行事，且人除了綠茶外還會吃喝很多食物，這些都使減肥若要與喝綠茶連結，實驗必須嚴謹地設計。

我們以下例來說明，假設檢定的推論，應用時須謹慎。A君某日心血來潮買了1張49取6的樂透彩，而居然就中了頭獎。頭獎要6碼全吻合，不計順序。因此中頭獎的機率為

1/C(49，6)=1/13,983,816。

將近1千4百萬分之1的機率，卻僅買1張就中了。A君的好友B君，他每期都買好幾張，幾年下來，卻只曾中過幾個小獎。B君對A君說，“你一定是買通樂透彩公司的員工，或能算牌之類的，否則豈可能一買就中？”A君當然否認。兩人都學過統計，B君說“我們來做一假設檢定”。A君心裡坦蕩蕩，欣然同意，但強調“虛無假設須取成我是清白的”。B君毫不猶豫地說“那當然。”虛無假設是被保護的，A君遂安心地等著看B君“證實”他清白。現令

H₀：A君沒作弊，H_a：A君作弊，

分別表虛無假設及對立假設。此處作弊的意思很廣，借助任何外力(包含作假)都算。至於拒絕域要取成什麼？要知只要是合理的拒絕域，便該包含A君中頭獎，這是一明顯可能觀測到的結果。如今在H₀為真下，觀測到A君中頭獎，此機率即

p-值=1/13,983,816。

B君認為實務上顯著水準α極少有設定這麼小的，所以在任一合理的α之下，皆該拒絕H₀，而接受H_a。居然被證實作弊！怎會這樣？A君愣住了。

事實上，眾所皆知，樂透彩只要銷售量夠大，則“有人”中頭獎，幾乎可說是必然。如今這個“有人”，不過恰好就是A君而已。投擲銅板出現正面數之多寡，與銅板出現正面的機率，極度相關。但樂透彩要中頭獎，並非只能靠作弊，還有運氣可依賴。所以就算B君如上得到A君作弊的推論，大部分的人，恐怕仍是相信A君就只是好運而已。否則用相同的方法，將得到歷來每位樂透彩的頭獎得主，都是作弊之推論。但若下一期，A君仍僅買1張，且又中頭獎，當然便會被強烈懷疑其中有弊。第一次中頭獎，A君僅會被視為不過是“有人”好運臨門的那位。而前面已指出，一旦銷售量夠大，“有人”好運中頭獎，乃毫不稀奇。但A君第二次中頭獎，人們的認知將是，有一“特定的人”中頭獎，其機率為1/13,983,816。運氣好得驚人，被調查就沒什麼好覺得委曲的。只是若無其他佐證，也不能就因A君運氣過度好，便判定他作弊。其實對前述投擲銅板之例，即使投擲20次出現20個正面，雖對大部分實務中的顯著水準α(只要大於1/1,048,576(=1/2²⁰))，都將拒絕“銅板為公正”。但銅板是否真的不公正？並不得而知，只能說在此結果(出現20個正面)下，接受銅板不為公正，是合理的。假設檢定並無法證明那一假設為真。這是何以科學家一旦接受某假設，習於宣稱“證實”(而不說證明)某假設成立，如前述“證實喝綠茶可以減肥”。

如同遺傳學家孟德爾之豌豆生長實驗，由於結果與預期太吻合，遂被懷疑可能是持續重覆做實驗，直到結果看起來很好才停止，然後只公佈結果較好的那組數據。假設檢定也不能只公佈想要的數據。否則若顯著水準α取為0.05，則即使H₀為真，可預期平均做20次實驗，便將有1次能拒絕H₀；就算α取為0.01，且H₀為真，仍平均做100次實驗，便將有1次能拒絕H₀。舉個例來看。假設某公司研發出一種新飲料後，心想市面上現有飲料品牌眾多，如何才能脫穎而出，獲顧客青睞？該公司遂設計出一套實驗流程，然後找到25所中學進行實驗，每所中學的飲料配方僅有極微小的差異。各校均執行一檢定，取

H₀：喝此飲料無法提高記憶力，H_a：喝此飲料能提高記憶力。

中學生升學壓力大，飲料若對提高記憶力有幫助，就有賣點。在α=0.05下，其中有一所學校得到顯著的結果。於是該公司以此校的結果(其餘24校的結果當然就不公開了)，完成一份研究報告，宣稱“經嚴格的統計檢定，證實喝該配方的飲料，能提高記憶力”，且大力促銷。一瓶才20元左右的飲料，會有那麼驚人的功能？不少人嗤之以鼻。但報告看起來，卻符合假設檢定的流程。

上述飲料提高記憶力的實驗，乃屬俗稱“德州神槍手謬誤”(Texas sharpshooter fallacy)之一種，與中文裡的“先射箭再畫靶”類似。典故的由來，是美國有個德州人，朝著自己的轂倉(barn)射出多發子彈，隨即在彈孔最密集的區域畫一靶(shooting target)，然後自稱是神槍手(sharpshooter)。其後衍伸出，凡在大量的數據中，刻意挑選出對自己的觀點有利者，然後宣稱得到具統計顯著性的結果，至於其餘多筆對自己想要之觀點不利的數據，則棄之不用，皆可稱為“德州神槍手謬誤”。底下再來看一例子。

高壓電線可怕嗎？也就是對人體有害嗎？直至今日，仍屢有人對為輸送電力，而架於空中的高壓電線，深感疑慮。1992年，瑞典曾有項研究，試圖找出空中上的高壓電線，對人們健康之影響。研究人員收集某地區高壓電線300公尺範圍內，所有居民的健康資料，時間長達25年。他們對超過800種大小疾病(ailments)，一一檢驗在該地區之發生率，是否較其他非住高壓電線地區，有顯著性的多。結果顯示，孩童白血病(leukemia)之染病率，為其他地區的4倍。依據此結果，研究主持者，施壓政府相關單位，須採取行動改善。只是當比較的疾病超過800種時，其中至少有一種疾病，其染病率較一般高達4倍，不過是隨機下正常會產生的現象。而後續的研究，果真不再發現高壓電線，與孩童白血病，有任何相關。

投擲一銅板100次，設得到65個正面，比公正銅板出現正面數之期望值50，超出3個標準差，p-值=0.0026，所以對大部分常見的α值，此結果是顯著的，將拒絕銅板為公正之假設。但若某中學的高二年級，有超過4百個學生，每位學生皆執行一投擲銅板100次之實驗，則就算每位學生拿的銅板皆為公正，其中若有學生擲出之正面數，與期望值50，偏離至少3個標準差(≥65，或≤35)，絲毫不必訝異。