23 相關性之考題

底下來看兩道學測數學科裡涉及“相關性”之試題。第一道是104學年的多選題：

小明參加某次路跑10公里組的比賽，下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數：

在這10公里的比賽過程，請依上述數據，選出正確選項。

(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為188。

(2)小明此次路跑，每步距離的平均小於1公尺。

(3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關。

“大考中心”提供的答案是(2)、(4)、(5)。

先檢視5個選項的敘述。由於題目中的數據，都是關於小明在“某次”路跑賽裡的資料，所以也只能得到有關小明在該次路跑的推論。但選項(1)及(2)，是問小明如何，選項(3)、(4)及(5)，卻皆未提到“小明”，兩相對照，會讓人以為(3)、(4)及(5)，是針對一般人的體能提問，這是命題者之疏失。另外，在選項(2)裡，於“小明”之後，有“此次路跑”4字，選項(1)、(3)、(4)及(5)裡則沒有，再度，會讓人以為選項(1)、(3)、(4)及(5)，是針對一般情況之提問，而不僅是有關小明此次路跑的這組樣本。所以，若依現有題目之敘述，有學生遵循邏輯，未選(1)、(3)、(4)及(5)，應該算是對的。所以5個選項裡，都該有“小明此次路跑”幾字才完整。雖是屬於注重邏輯的數學科，但命題者對題目之敘述，顯然相當不謹慎。

要知這只是一次路跑的數據，若小明再跑一次，或繼續跑10公里，將可能得到完全迥異的數據。因而所得之樣本相關係數，連正負號說不定都會反過來。這有如假設題目裡說“投擲一銅板10次，得到5個正面”，則若問“銅板出現正面的機率為0.5？”，便不該選，要選也是還諸如提問“可以0.5做為銅板出現正面機率之估計值嗎？”。也就是不論投擲多少次，得到的都只是銅板出現正面機率之估計值。那能辯解機率有不同的意義，這裡乃指主觀的解釋嗎？若是這樣，則有沒有選此選項，便都該給分了。事實上，依據此次實驗所計算出來的只是樣本之相關係數，可做為母體相關係數之估計值。至於母體之“每公里完成時間和每公里平均心率”，及“每公里步數”和“每公里平均心率”，是否為正相關或負相關，並無法由題目所給之小明跑10公里後的數據得知。

再給一文字方面的問題。兩個變數間，才有所謂正相關、負相關，或無相關可言。至於相關係數，不過是一個數字，可能為正、負或0。因此在選項(3)、(4)及(5)裡，問“相關係數是否為正相關(或負相關)”並不恰當，宜問相關係數是否為正(或負)；或者 “的相關係數”5字全刪除。猜想命題者並不熟悉“相關係數”此一題材。

在學測如此大型的考試，命題者對文字的陳述顯得過於隨意，尚非本題最關鍵的缺失。要知就算題目寫得不清不楚，早已身經百戰的台灣中學生，大致能猜出命題者的意思。假設某人想觀察自己體重的變化，遂每天量測並記錄。能否想到該注意些什麼？有的！須儘量在相同的情況下量測。例如，每天皆在剛起床時量測，這樣才較能相比。即使如此，每天起床時間可能有差異，或有些日子前一晚因應酬吃喝較多，因而就算採取固定時間量測，恐怕也不敢宣稱，確實做到每天在相同的情況下記錄，但至少已儘量了。如今題目一開始便敘明，小明是參加比賽。而眾所皆知，比賽有競爭，跑者大抵會依自己體能去配速。甚至，人非汽車也非機器，連續跑10公里，豈能維持每1公里的狀況都相同？因此，少有以如題所述的方式，收集個人數據並做分析。若每天在差不多同一時間跑1公里，量測3項數據，連跑10天，再分析所得的數據，還較合理些。出這種考題，可說易教壞學生的統計概念。話說回來，僅以少少的10筆數據，便大做分析，也未免不像個統計分析。

資料收集為統計分析裡，一重要的步驟。惟有秉持很嚴謹的態度，如此取得的數據，方能準確客觀，而得到的推論，也才較具參考價值。就如醫學上，一種新藥或新技術，想知其效果如何，便需找人做實驗。但並非徵求自願，來者不拒。實務上，不僅須謹慎挑選受測樣本，且實驗過程須有一定規範。而對某議題進行一項民調，也並非就站在商區街頭，任意找願意受訪者填寫問卷，或拿起電話便撥，誰接便問誰，若沒人接就再打下一通。取樣須很嚴謹，才能得到有意義的結果。

最後，對於上述考題，可否“假設”小明每一公里，都維持相同的狀態？亦即假設10筆數據(指完成時間、平均心率及步數)間為相互獨立。前面已說了，若加上這樣的假設，則便是數學而非統計題目了。總之，考試畢竟引導學習，高中生若常接觸這類題目，將難具備統計素養。

再看一道是106學年學測的單選題：

下圖是某城市在2016年的各月最低溫(橫軸)與最高溫(縱軸)的散佈圖。

https://upload.cc/i1/2021/11/14/5HUnrC.png

今以溫差(最高溫減最低溫)為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。

(1)最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強。

(2)最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱。

(3)最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強。

(4)最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱。

(5)最高溫與溫差為零相關。

“大考中心”提供的答案是(4)。

由所給最低溫x與最高溫y之散佈圖，不難看出(採目測近似值)最高溫y愈小時，溫差y-x愈大。如y=5時，x為-12， 因而y-x= -17；y=27時，x=19，20，y-x=8，7。由於是單選題，故知答案必為(3)或(4)之一，因最高溫與溫差只能為負相關。至於相關性強弱之比較，就不易以如此簡單的方式看出。新的圖就不給了，不過若繪出最高溫與溫差之散佈圖，將發現此新圖，12個點大致由左上往右下散佈，即最高溫與溫差兩變數的確為負相關。另外，沿一直線散佈的情況，“感覺上”沒有原圖那麼明顯，因而判斷出最高溫與溫差的相關性，比最高溫與最低溫的相關性弱。

必須一提的是，題目所給散佈圖上的點畫得太大，在繪最高溫與溫差之散佈圖時，對緊張的考生不利就不說了。但此題之缺失並不在此，而是沒什麼統計的味道。人們對父親身高與兒子身高、入學成績與大一成績、每日最高溫與翌日清晨最低能見度、每日心血管死亡人數與當日溫差等，會想了解其相關性。另外，求一天之最高溫與最低溫的相關性，也尚可想出理由。日溫差令人感興趣，月溫差可能就較無感了。至於為什麼會去求各月份最高溫與最低溫，此二極端值之相關性，本就已不清楚了，由此進而去求各月份最高溫與溫差之相關性，便更是目的不明了。顯然只是因有了X與Y之相關性，便去求Y-X與Y之相關性。再度，這是數學思維，而非統計思維。

近年統計被大量引進高中數學課程後，應是覺得高中學生該多懂些統計。只是由上述兩道學測題目，顯示在中學數學裡，統計不過被視為一類計算簡單的數學看待，如此是無法讓學生學到正確統計概念的。與其這樣，還不如將統計移出中學數學，免得讓學生學壞了。

附錄。

統計裡引進相關係數，主要是量測兩變數間之線性相關性(linear correlation)，包含強度及方向。相關係數取值介於-1至1間。若取正值，兩變數便稱正相關；若取負值，兩變數便稱負相關；而當相關係數為0，則稱兩變數無相關。線性關係是一很簡單的關係，加上前述符合度量需求的性質，因此不只在統計裡，在很多科學的領域，都廣被採用來量測兩變數的線性相依程度。由於是為英國統計學家皮爾生(Karl pearson，1857-1936)首創，且為有別於統計裡其他不同定義的相關係數，有時稱為“皮爾生相關係數”(Pearson’s correlation coefficient，又稱Pearson’s r)。

假設有兩個隨機變數X，Y，其共變異數(covariance) Cov(X，Y)，與兩變數的標準差σ_X，σ_Y之商，便是相關係數。在此

Cov(X，Y)=E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]=E(XY)- μ_Xμ_Y，

其中μ_X及μ_Y，分別為X，Y之期望值。若以ρ表X與Y之相關係數，則

ρ=Cov(X，Y)/(σ_Xσ_Y)= E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)/(σ_Xσ_Y)=E[((X-μ_X)/σ_X)．((Y-μ_Y)/σ_Y)]。

由上式知，相關係數即兩隨機變數經“標準化”(減去期希望值，再除以標準差)後，乘積之期望值。由於標準化後之隨機變數，期望值為0，標準差為1，所以相關係數，可視為兩隨機變數標準化後之共變異數。兩非退化隨機變數X與Y，相關係數要存在，先決條件是，X與Y之期望值及變異數都存在。

可看出Cov(X，X)=Var(X)。即自己跟自己的共變異數，就是變異數。因此共變異數的概念，乃變異數之推廣。如果變異數，是用來度量一隨機變數偏離期望值的程度，則共變異數，便能度量二隨機變數同時偏離各自期望值的程度。若X > μ_X時，較可能使Y > μ_Y，且若X < μ_X時，較可能使Y < μ_Y，也就是說X與Y，有同時增大或同時減小之傾向，則(X-μ_X)(Y-μ_Y)便較可能是正的，因而它的期望值Cov(X，Y)也就較可能為正。反之，若較大的X，有伴隨較小的Y之傾向，且較小的X，有伴隨較大的Y之傾向，則(X-μ_X)(Y-μ_Y)便較可能是負的，因而它的期望值Cov(X，Y)，將較可能為負。也就是Cov(X，Y)之正負，能反映X與Y之增長方向，究竟傾向相同或相反。由於標準差為正值，所以相關係數與共變異數符號相同，且二者同時為0，或同時不為0。因此相關係數為正或為負，分別顯示X與Y之增大與減小的傾向，相同或相反。

我們說過，對二隨機變數X與Y，共變異數是用來度量它們同時偏離各自期望值的程度。但與變異數類似，其值與所採用的尺度有關。例如，對於父與子身高的共變異數，身高單位採用公分，與採用公尺，前者之共變異數為後者之1萬(=100²)倍。不過一旦除以兩標準差後，得到的相關係數，便無此困擾了。相關係數ρ，永遠取值在區間[-1，1]。當ρ很接近0，表X與Y的線性關係較弱；而當ρ很接近1，或很接近-1，表X與Y有較強的線性關係，或者說相關性較強；ρ較接近0時，便表X與Y有較弱的線性關係，或者說相關性較弱。事實上，當ρ=1，或-1，X與Y便有完美的線性關係，或者說X與Y為完全相關(completely correlated)。即對二隨機變數X與Y，若ρ=1，則存在常數a，b，其中a>0，使得Y=aX+b；若ρ=-1，則存在常數a，b，其中a<0，使得Y=aX+b。曾有報導，同卵雙胞胎，若性別相同，則身高的相關係數很高，達到0.95，這乃可以預期。至於大學成績與將來收入多寡的相關係數，就不見得太高了，且說不定是負的。

另外，當X與Y獨立時，Cov(X，Y)=0，因而ρ(X，Y)=0。但其逆不真。也就是說，共變異數(或相關係數)為0，此時兩隨機變數為無相關，但不必然獨立。甚至，二隨機變數即使無相關，也不表二者沒有關係。例如，自區間[-1，1]隨機地取一個點，以X表之，再令Y=X²。Y是X的平方，二者顯然關係無比密切，一旦知道X，Y便完全決定了。但底下來看X與Y卻為無相關。因X為一對稱的隨機變數，故E(X)=0，且E(XY)=E(X³)=0，因而Cov(X，Y)=0，即得X與Y為無相關。這種例子很多，可參考一般機率論的書。仍要強調，相關係數雖說是量測二隨機變數之關連程度(degree of association)，但主要是反映二隨機變數間，線性關係之強度及正負，而非反映任何其他關係。

對於數據，亦可定義其相關係數。設有(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，且分別以̄x，̄y表其平均值，則數據x’s，與y’s之相關係數，一般表示成r，定義為

r = Σⁿ_i=1(x_i -̄x)(y_i-̄y)/[(Σⁿ_i=1(x_i -̄x)²)^1/2(Σⁿ_i=1(y_i -̄y)²)^1/2]。

例如，設有數據(1，5)，(3，9)，(4，7)，(5，1)，(7，13)，則

̄x=4，̄y=7，且

(1-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(7-4)²=20，

(5-7)²+(9-7)²+(7-7)²+(1-7)²+(13-7)²=80，

(1-4)(5-7)+(3-4)(9-7)+(4-4)(7-9)+(5-4)(1-7)+(7-4)(13-7)=16。

故得

r = 16/(20．80)^1/2=0.4。