22 統計相關

某作家新近出了本書，這本書值得看嗎？現今一般人常不假思索，便進入搜尋引擎Google查查。立刻出現很多相關的資料。看起來評價相當不錯，決定要買後，進入某網路書店找到該書，結果出現一句“瀏覽此書的人，也瀏覽…”。所列出的書，有些你毫無興趣，但也有幾本引起你的注意。網路時代，人們若對某事物或事件有興趣，常會主動或被動，接觸相關的事物或事件。

相關就是有關係，有各式各樣的關係。數學裡的命題“若A則B”，便是一種因果關係。只要某條件(或者說前題)A成立，便導致結果B必然成立，這是一很強的關係。數學裡的定理，通常便是顯示某重要的因果關係成立。因果關係外，有些關係就不見得那麼強烈。事實上，只要夠努力去追究，總會找出兩物或量之間，有某種程度的關係，當然有可能很微弱。正如有些人對於食品、農藥及汙染等，無法容忍其中有某特定成分存在，要求該成分須“零檢出”。但也有專家指出，凡儀器不夠好，無法驗出的，便是“零檢出”。此隱含只要儀器夠精密，很多成分即使微乎其微，也能驗出。統計裡兩量間有所謂“相關”(correlation)，又稱為相關性，並以相關係數(correlation coefficient，有時只稱correlation)來計量兩變數共同變化的程度。兩量相關並不表有因果關係。另外，有相關便也有“無相關”(uncorrelated，或稱no correlation)，但無相關也不表兩量間，一定沒有關係，關係要找總是有的。

2021年6月29日聯合報有則報導，標題是“NBA／喬治好表現重新證明自己 卡森斯：給他該有的稱讚”。這是對西區快艇隊，在一場季後賽獲勝後的評論。快艇隊的球員莫里斯(Marcus Morris Sr.，1989-)，在該場比賽中，16投9中攻下22分，命中率有56.25%，算是不錯。記者誇獎他，“本季季後賽，當莫里斯命中率高於5成時，快艇8勝0敗。”數據如此，那可否說“若莫里斯命中率高於5成時，則快艇隊必勝。”假設此因果關係成立，快艇隊當然得善用，因已進入季後賽，每一場勝利都很關鍵。可惜此因果關係很可能不成立。在職業球賽裡，這類應被歸於“有趣事件”的還不少。如“xxx隊本球季在主場出賽，若xxx與xxx合得至少60分，則xxx隊至今尚未敗過”。30支球隊，又那麼多場比賽，仔細觀察，總會發現一些有趣的現象。其中大部分，就只是某段期間有的現象，若繼續觀察，通常遲早該現象便中斷了，顯示並未存在一因果關係。但“莫里斯命中率高於5成”，與“快艇隊獲勝”卻的確可能相關。畢竟一球員有特別好的表現，是可能帶動士氣，增加球隊獲勝之機率。“有趣事件”的存在，仰賴的常是觀察入微。

在“愛麗絲鏡中奇遇”(Through the Looking-Glass，1871，路易斯卡羅(Lewis Carroll(1832-1898)著，中譯本很多)的第五章：

Alice laughed. ‘There’s no use trying’, she said. ‘One can’t believe impossible things.’

‘I daresay you haven’t had much practice,’ said the (White) Queen. ‘When I was your age, I always did it for half-an-hour a day. Why, sometimes I’ve believed as many as six impossible things before breakfast.’

早餐前能發現6件不可能的事件？令人嘆為觀止。人們常說資料探勘，如果能像白王后一般，很細心敏銳地觀察，自然可找出很多有趣的關係、現象，或屬於“不可能”的事件。只是所發現的關係或現象等，當然要加以確認，方能斷言此關係是穩定存在，或僅是偶發性的。

前面指出，相關不表就有因果關係。例如，有人注意到，當可樂消售量增大時，不少醫院腸胃科的門診人數，亦顯著增加。經統計分析後，也果真得到，可樂消售量與腸胃科之門診人數，二量相關性很高。那是喝可樂對腸胃不好嗎？不能驟下結論。比較可能的原因是，可樂銷量大，往往是天氣炎熱時。天氣炎熱，使食物易腐敗，導致較會吃壞肚子。氣溫便是所謂“干擾因子”(confounding factor)。當兩量相關性高時，須謹慎搜尋是否有干擾因子。另外，阿茲海默症(Alzheimer’s disease)，乃一很令人擔心罹患的疾病，尤其是婦女。男性不必擔心嗎？事實上，是有研究指出，病患中約有2/3為女性。但這項研究的推論，應是“性別與罹患阿茲海默症的相關性很高”，不能輕率解讀成女性較易罹病。要知阿茲海默症，通常發生在年紀較大時，而女性平均壽命比男性長，因此罹病者以女性居多，這是合理的。在此壽命，便是一干擾因子。有些相關並非假消息，只不過是無用的訊息。例如，曾有報導，“O型、射手座、已婚男 最易中彩券”。前述3項條件都符合的，是否該趕緊去買彩券？可能不需要。單看血型一項，就知此項相關性沒啥用途，因台灣的居民裡，O型血佔最多，超過4成，因此中獎者以O型血最多，只是合理而已。至於中獎者中，12個星座各自佔的比例，很可能差異並不太大，但總有個星座比例最高，如今“剛好”是射手座而已。至於中獎者中，已婚男最多也沒什麼，很可能就是購買彩券者中，以已婚的男性佔最多。

“英國醫學雜誌”(British Medical Journal，縮寫BMJ)，曾刊登一篇瑞典烏普薩拉大學(Uppsala University)的麥可森(Karl Michaelsson)教授，所領導完成的研究報告。此研究於1987至1990年間，針對61,400位婦女，記錄她們的飲食習慣，之後進行長達20年的追蹤觀察。該篇論文中指出，婦女若一天飲用3杯(約共680cc)以上的牛奶，則死亡率比每天喝不到1杯的人高出1倍，且其中骨折的比率亦較高。人們一直以來，都以為喝牛奶是有益健康的，如今女性是否不該多喝牛奶了？別急，這仍要進一步研究才能下定論。因有些專家並不認同麥可森之觀測結果，他們認為很可能是婦女若有骨質疏鬆，常會被鼓勵多喝牛奶。但牛奶畢竟不是仙丹玉露，喝再多也免不了一死。結果死後卻把原因歸咎於牛奶，因果關係完全顛倒。是“骨質疏鬆”的人易骨折，因而易死亡。導致多喝牛奶與骨折及死亡率增加的關連性很強。至於牛奶喝多，是否會導致骨折增加？是否導致死亡率增加？這才是一般人較關心的議題，卻非前述研究之結論。

身為研究人員，就得從事研究，並將成果發表。但成果都有用嗎？並不盡然。像前述那些花大功夫去研究，但成果的價值不太高之情況很多。再給一例。曾有人研究台灣自1999至2008年，1856位65歲以上獨居老人的生活習性。發現經常逛街者，較不常逛街者，存活率高出27%。此成果令人關切，難道“購物療法”對健康有益？如果真是這樣，獨居老人是否該多逛街以延年益壽？即使一身是病，是否該強忍病痛出門？實情說不定是對獨居的老人，身體狀況較佳者，才較方便自行逛街。而身體較好的人，存活率本來就較高。因果關係倒過來了。事實上，亦有人指出，獨居者只要樂於外出與人打交道，減少孤寂感，就有助健康了，逛街不過是這種方式之一。所以即使找到二量之相關性高，在運用前，也宜探討相關性產生之原因。

再看一例。曾有一則美國麻省理工學院(Massachusetts Institute of Technology)所做的研究之報導：單親媽媽撫養長大的男孩比較難有成就，日後也較容易離婚，製造下一代的單親家庭。離婚媽媽若有兒子，看了此報導後得趕快再婚嗎？以免當年所做的抉擇，將禍及愛兒。而望子成龍的媽媽，是否不論如何遇人不淑，都該吞忍下來，萬不可離婚？這可不見得。要知孩子的成就，乃與遺傳及成長環境關係密切，前述兩種作法，很可能都不見得有用，且還可能讓孩子將來的發展更差。因果關係易誤用的情況著實不少。如若去分析死亡的獨居老人之生活習性，很可能發現不抽菸的比例很高。那能得到不抽菸者，於上了年紀後，將易自己一人過活的結論嗎？一般而言，即使多年的菸槍，一旦上了年紀，基於“貪生怕死”的原因，戒菸的比例不低，與是否獨居關係並不大。

但有時相關性是可善用的。曾有美國某大型連鎖超市，經由探勘顧客的購物清單，發現星期五晚上，啤酒與嬰兒尿布同時出現在購物清單的比例很高。難道是使用尿布者，較愛喝啤酒嗎？顯然不是。真正的原因很可能是，若家中有嬰兒，當爸爸的周末便常得留家幫忙照料，為打發時間，會看球賽轉播之類的節目。於是買尿布時，順便買些啤酒，以便看電視時享用。或者反過來，去買啤酒時順便買尿布，才不會在家球賽看一半，被太太差遣去買尿布。了解此原委後，超市可設計較佳的貨品動線，以同時增加啤酒及尿布的銷售量。經由統計分析，找出那些變數間相關性較高，並善加利用。警方辦案也常如此，從大量的數據中，找到種種線索。但切記相關性較高的兩變數間，其間並不必然便有因果關係？須更進一步探討方能得知真相。

有時二變數的相關性並非太明顯。生物相互間有一“密度制約”(density dependence)的族群效應。給一例子來看，這取自“半個地球：探尋生物多樣性及其保存之道”(Half-Earth: Our Planet’s Fight for Life，2016，愛德華威爾森著(Edward O. Wilson，1929-)，金恒鑣與王益真譯(2017))一書。一般人想到狼幾乎都是不好的，從小時候聽到的童話：小紅帽、三隻小豬，及狼和七隻小山羊等，到上學後學到的有關狼的成語：聲名狼藉、引狼入室、狼狽為奸，及豺狼當道等，相信對狼的描述，極少是正面的。牧羊者更痛恨狼，欲除之而後快。美國的黃石國家公園(Yellowstone National Park)，也曾儘量除狼。大功告成後，1995年，卻從加拿大東部引進一群狼。為什麼？原來狼不是書生，並非百無一用。對協助樹木生長，狼能扮演很正面的角色。在狼銷聲匿跡後，赤鹿(elk)等草食動物，便過著幸福快樂的日子，不受抑制地大幅成長。可憐白楊樹(Balsam poplar)苗，便被啃得光禿禿的。一隻狼在一星期內，可吃掉一整隻赤鹿(elk)，而一隻赤鹿在一星期內，可啃掉一大片白楊樹苗。公園裡每星期少一隻赤鹿沒什麼，但每星期少一大片白楊樹可就觸目驚心了。當公園內有狼群時，赤鹿能啃掉的白楊樹苗就會減少，白楊樹苗也就欣欣向榮。一旦移除狼群，赤鹿便多起來了，白楊樹苗的成長也就快速下降。明白此關係後，黃石國家公園便維持適當的狼群。

類似上述狼、鹿、白楊樹關係的例子很多。印度的孫德爾本斯國家公園(Sundarbans National Park)，有世界最大的紅樹林。公園內老虎的角色，便如同黃石國家公園裡的狼，會捕食並減少花鹿、野豬及獼猴等族群，間接保護了紅樹林。亦即紅樹林裡有了老虎，並不必過於厭惡，因會增加不少動植物之數量，有助維護公園的生物多樣性(Biodiversity)。另外，在“狼圖騰”(姜戎著，2004)一書中，描述大陸的內蒙草原，狼群經人類持續捕殺後，數量大減。在生態缺乏高等獵食者下，獺子(旱獺內蒙亞種)及地鼠等便大量繁殖。草原被這些低等齧齒類動物啃光後，嚴重沙漠化，大部分已不適合放牧了。

網站搜尋功能日益提升的今日，可快速找出較相關之事物，以供決策者參考。如由Google網站，在短期間內，擁入多人查詢有關流感的病情，及如何用藥等，便能推斷流感可能快爆發了。這種利用搜尋流感的資料，與流感流行有相關性來預測，有時比官方的預測流感，更及時且經濟。只是兩因素間之相關性高，並不表其間有因果關係，這點我們已一再強調了。