16 取樣偏差

“淮南子”乃西漢淮南王劉安(西元前179-122年)，召其幕下士人所完成，但掛名的只有劉安。如果在今日，劉安肯定會被批評違反學術倫理。但往昔並無著作權的概念，有人辛苦寫本書，惟恐自己人微言輕，心血將難被重視，還假借是某古代名人所作。人們常說的“一葉知秋”，便出自“淮南子”的“說山”篇，“嘗一臠肉，知一鑊之味；懸羽與炭，而知燥濕之氣；以小明大。見一葉落，而知歲之將暮；睹瓶中之冰，而知天下之寒：以近論遠。”意思是說，嘗一小塊肉，便知整鍋肉之味道；懸掛羽毛與木炭，便知空氣之濕度：這是由小明白大的道理。看到一片葉子凋落，就知道一年將盡；看見瓶中的水結冰，就知道天氣已很冷了：這是以近知遠的道理。

一葉知秋，與嘗一臠肉，便能知一鑊之味，原理相同。而二者之先決條件，皆是母體的變異不能太大。也就是若樹葉變黃脫落的時間，每年都差不多是進入秋天時，以及整鍋肉的味道均差不多，便容易一葉知秋，及一肉知味。生活上，一葉知秋的現象處處可見。我們有時僅由嚐一粒葡萄，便據此來判斷整串葡萄，甚至整批葡萄之酸甜，以決定購買與否。僅抽幾cc的血，便能對人體做檢驗。而對動物的捕捉-再捕捉法，通常也是基於某類動物，每隻被捕捉到的機率皆差不多。但對於人的各種調查，只要族群不同，差異性往往不小，因此若取樣偏差，就不易以小明大、以近論遠了。

有些誤差是可容忍的。如大數法則指出，從母體隨機取樣(取出後放回，因而取出的樣本獨立且有共同分佈)，當樣本數夠大，則樣本平均接近母體平均的機率將很大。而我們曾說過，即使取出後不放回，雖樣本間並不獨立，但只要取出的樣本數，與母體數相比很小，則大數法則與中央極限定理，便仍可引用，誤差不至於太大。只是如果取樣過度偏差，則不要說將無法一葉知秋，有時甚至連落葉多至滿坑滿谷，都無法知秋了。因此在取樣時，不可不慎。

假設擬估計某大學男女生之比例，到校圖書館點數閱覽桌上的男女生人數，以所得之男女比來估計全校之男女比。這樣能一葉知秋嗎？不見得可以，除非已知男女生去圖書館的比例很接近。否則若有某一性別，較習於去圖書館讀書，則所得估計之誤差便將不小。另外，能以某大學圖書館借出書籍多寡之排名，作為該校學生喜愛看的書之排名嗎？並不盡然。因學生看書，除了向圖書館借閱，至少還有購買的管道。

在抽樣調查裡，樣本的產生必須很公正，才能獲得有效的推論。若在選樣過程中，有排除(或多取)某一類樣本的傾向，便稱“選擇偏差”(selection bias，即“取樣偏差”)。底下來看一著名的，於執行選舉民調時，因取樣偏差，造成預測大錯誤之例。1936年的美國總統選舉，現任總統、民主黨籍的羅斯福(Franklin D. Roosevelt，1882-1945)競選連任，挑戰他的是共和黨所推出，堪薩斯(Kansas)州的州長蘭登(Alfred Landon，1887-1987)。彼時美國正從經濟大蕭條(Great Depression)中復甦，雖全國失業率仍超過10%，失業人口高達900萬，且人民的實際收入，比1929-1933年那段時期少了約1/3，但情況正開始好轉。絕大部分的政治觀察家，均預測羅斯福將輕易連任成功，蘭登則將不堪一擊。不過“文學文摘”(Literary Digest)雜誌，卻力排眾議，於投票日(1936年11月3日)前3天(10月31日)，宣布他們的選前最後一次預測：蘭登將大勝羅斯福，普選得票率是57%比43%。另外，美國總統選舉，採特殊的“勝者全得”(Winner-take-all)制。各州各有一定名額的選舉人(elector)，所有選舉人，便組成選舉人團(Electoral College)。各州得票率最高的候選人，便囊括該州所有的選舉人票。那時在總共531張選舉人票中，“文學文摘”預測蘭登將獲得超過半數的370張，佔約67.68%。也就是現任的羅斯福，將黯然神傷地下台。此預測雖讓人驚訝，大眾卻不敢視為企圖嘩眾取寵。因“文學文摘”並非等閒之輩，在美國總統選舉的預測，夙負盛名。此雜誌自1916年起，開始預測美國總統選舉，包括1916、1920、1924、1928，及1932年，此前5次，從未失手。

即使過去的預測，有如神機妙算，“文學文摘”這回卻栽了個大跟斗，黯然神傷的是他們，而非羅斯福。因羅斯福獲得普選票的60.8%，蘭登的得票率僅36.5%。而除美國東北部新英格蘭(New England)地區的緬因(Maine)及佛蒙特(Vermont)兩個小州外，羅斯福在那時全美48個州中的46個州勝出。選舉人票則獲壓倒性的523張，佔約98.49%，蘭登僅獲區區8張，約僅佔1.51%，離“文學文摘”預測的370張選舉人票，可說遠得很。不論普選票的60.8%，或選舉人票的98.49%，羅斯福的得票率，均是自1820年以來的最高。

“文學文摘”共寄出約1,000萬份問卷，回收約227萬份。那很可能是有史以來所做最大規模的一次民調，回收的問卷數也相當可觀。但怎會陰溝裡翻船呢？不是說只要成功樣本數有1,068，抽樣誤便就3%而已，如今成功樣本數有1,068的兩千多倍呢？不妨做個對照，前一年(1935年)才成立的蓋洛普(Gallup)公司，那次僅用約5萬個樣本，便正確地預測羅斯福會贏，雖然得票率的估計有些誤差(預測羅斯福會獲得約56%的票，實際得票率約60.8%)。

“文學文摘”是如何挑選樣本的？從其訂戶、電話簿，及一些俱樂部的會員名單。他們的訂戶中，共和黨員的比例，較美國人口中之比例高，共和黨員當然傾向投給共和黨推出的候選人蘭登。又在1936年，美國電話尚非那麼普及(平均約每4戶才有一具)。此外，沒有參加任何俱樂部者，也被排除了。換句話說，抽樣過程中，有排除窮人的傾向：明顯的選擇偏差出現了。在1936年之前，這種選擇偏差，對於預測的影響還可容忍，因當時富人與窮人的投票行為，差異還不是太大。但在1936年，因經濟的因素，造成選民的政治傾向有很大的分野：窮人較多選擇羅斯福，而富人則較支持蘭登。當有選擇偏差時，樣本數再怎麼多，便可能都無用了。選擇偏差，是造成“文學文摘”那回預測，會謬以千里之一主因。對“文學文摘”預測錯誤的檢討不少。選後40年，一篇於“美國統計學家”刊登的文章(Maurice C. Bryson (1976). The Literary Digest Poll: Making of a Statistical Myth. The American Statistician, 30(4), 184-185)指出，“文學文摘”該次誤差的實際原因(actual reason)為，其民調完全仰賴自願參與(voluntary responses)，因而回收的227萬份問卷，遠非隨機樣本，而是選民中，對該次選舉議題較感興趣者。而羅斯福的反對者比起其支持者，更積極參與民調。另外，再12年後，一篇於“公共輿論季刊”刊登的文章(Peverill Squire (1988). Why the 1936 Literary Digest Poll Failed. The Public Opinion Quarterly, 52(1), 125-133)指出，取樣偏差加上“不回答的偏差”(non-response bias)，造成“文學文摘”預測的錯誤。

我們略說明一下不回答的偏差。民調守則之一是，一旦決定受訪名單，就要儘可能去獲得他們的意見，一般這並不容易。當取出的樣本中，有過多沒有回覆或拒絕受訪者，將可能造成一嚴重的扭曲。有時不回答者與回答者的意見間，存在很大的差異。舉例而言，“文學文摘”在芝加哥(Chicago)所發出的問卷數約240萬，差不多是當時芝加哥全部選民人數的1/3，因而絕不能說問卷數不多。但回覆者才約20%！回收的問卷中，支持蘭登的超過半數。但選舉結果，羅斯福在芝加哥獲得約2/3之選票。另一方面，“文學文摘”對全國所發出的約1千萬份問卷中，只有比例不高的22.7%回覆。這22.7%回覆者的意見，不見得能代表全部被挑選出來之1千萬選民。一般而言，低收入與高收入二族群，不回答問卷之比率較高。也就是回收問卷中，來自中收入者，往往超過該有之比率。而中收入者的意見，與高收入或低收入者，並不見得會相同。由於有這種不回答的偏差，現代民意調查機構，對於重大或較敏感的議題，在時間及經費允許下，傾向採用電訪(或面訪)，而非郵寄問卷。電訪(或面訪)之成功率通常能比郵寄問卷之回收率高很多。不過即使採用電訪(或面訪)，不回答的偏差仍然存在。那些電訪(面訪)時人不在家者，與在家者之習性，如工作類別、家庭狀況、社會背景等，可能會有很大的差異，想法因而將大不相同。拒絕受訪者的情況也類似。好的抽樣調查設計，會正視不回答偏差的問題，而採用較巧妙的方法，以設法降低不回答率。總之，抽樣調查設計，並不僅是統計上的問題，還要結合諸如心理學、社會學，及經濟學等方面的知識。