3 數學應用不易

在丹尼爾狄福(Daniel Defoe，1660-1731)著的“魯賓遜漂流記”(Robinson Crusoe，1719，中文版由伍晴文譯，2015)一書裡，原本生活無虞的魯賓遜，偏偏不想過安定的生活，喜愛到處航海。只是上帝倒也未特別眷顧他，多次有驚無險後，終於挑戰機率失敗，在一次航行中，遇到海難。船上共17人，他是唯一的倖存者。當理解到，得在一個貧瘠荒蕪，且渺無人煙的小島，遙遙無期地待下去後，他決定設法改善生活。書上說：

現在我開始著手做一些生活上最需要的東西，像是桌子及椅子。沒有這兩樣東西，似乎無法好好過生活。…。而我必須在這裡說明一下，數學是一切的基礎，只要依此做出最合理的分析判斷，每個人都能完美掌握所有工藝。

在荒島上，想提高生活品質，首先讚美數學？

要做桌椅，不但要量測，且須有些幾何概念，或許都不見得太深奧，但的確是需要數學。不要說3百年前(此書是1719年出版)，一個人在小島上，各種工具本來就都不會太齊全。而從事工藝，免不了得做些分析判斷。魯賓遜顯然覺得，他淪落此無人島，一切只有靠自己，這時所仰賴的分析判斷能力，乃受惠於過去(即使不是很多)的數學訓練，遂悟出“數學是一切的基礎”(原文是“that as reason is the substance and origin of the mathematics”)。對數學的推崇，可說遠遠勝過“數學是科學之母”。諸如埃及的金字塔，及中國的萬里長城等，那些幾千年前的大工程，雖建築時所擁有的器具都很原始，但幸好自古人們便知利用數學，才成功地立起一座又一座，令人不可思議的建築。

時至今日，一般人民普遍都能受到有系統的數學教育。中小學的數學課程，在每一單元往往會附上應用，考題也不乏應用題。在中小學階段，共唸了12年的數學，應用來應用去，應用經驗相當豐富，我們怎會說“數學應用不易”？

在雪兒史翠德(Cheryl Strayed，1968-)著的“那時候，我只剩下勇敢”(Wild: From Lost to Found on the Pacific Crest Trail，2012，中文版由賈可笛譯，2012)一書中，作者描述她於1995年夏天，雖不過26歲餘，卻感到生命陷入死胡同，抑鬱又絕望。於是毅然決然地踏上美國的“太平洋屋脊步道”(Pacific Crest Trail)，展開一趟長達94天，一個人徒步走了1,100英哩的冒險旅程，就當做心靈之旅。中文版有底下一段：

我踏出的每一步都是努力計算、判斷後的結果，好讓自己能盡量留在我認為是太平洋屋脊步道的路線上。手中捧著地圖與指南針，我想盡辦法記起“指南針與地圖完全使用手冊─讓你不再迷路”一書中所提到的一切(我早在很久以前，就把它給燒了)。書中敘述的許多技巧─三角定位法、兩點相交法、支架法─即使是在我手中有書的時候，也令我頭昏腦脹，更別提現在，我完全沒有信心可以正確使用。我從來就不擅長數學，無法將那些數字與公式留在腦海裡。

之所以燒掉書，是為了減輕背包的重量。

高中數學裡的三角函數，一向讓許多學生吃盡苦痛。三角函數有什麼用？即使教科書上指出，可用來量測距離及高度等，學生卻不見得買帳。今日不乏精密的儀器，量測何須利用這種過時的方法？只是作者在山上踽踽獨行，那來儀器？這時三角函數還真能發揮功能。作者說，因她使用地圖和指南針的技巧拙劣，實際走的路，很可能比標示的距離多了不少。數學家對這類例子，可能會見獵心喜，拿來佐證數學的重要。但有效嗎？會因此引發學生學習數學的動機嗎？

在前述那段話之後，作者接著寫道：

數學對我而言是毫無道理的邏輯。在我看來，世界並不是由圖表、公式，或者方程式構成，世界是個故事。所以，我通常倚賴旅遊導覽中的敘述說明，一遍遍地閱讀，將它們與地圖相互對照，藉此掐指算出每一字每一句背後所蘊涵的寓意。…。我一再猜測、測量、閱讀、暫停、估算、計數，然後才作出決定，把信心放在某個我認為是正確的方向。

可看到在危機四伏的山上，即使是面對令她昏頭轉向的三角定位法，及兩點相交法等數學，該書作者並未懊惱書到用時方恨少，覺得當年該多花些功夫在數學上。她仍認為數學非她所能輕易接受(是毫無道理的邏輯)。而人生沒有數學，也無啥大礙(世界並非由圖表、公式，或者方程式構成)。但如何從手冊中的數學脫困？雖過去正規的數學訓練，未能給她幫助，但為了生存，她倚賴旅遊導覽中的說明，反覆閱讀，並與地圖對照。終於，該跨向何方的問題，迎刃而解了。原來數學並不真的是毫無道理的邏輯，可惜當年教室中的學習，多年後留給她的，是這種感受。

向日葵花盤螺旋線上的種子數，與費波那契(Fibonacci)數列有關、蜂窩的蜂房呈六角柱狀體螺旋線、…，大自然充滿各種讓人驚豔的數學之美。有趣或有用，是一門學問引發人們去探究的主因。但數學的用途，似乎少讓人真的重視。中小學數學教科書上的應用題，就是題目而已，並不是為了解決日後實務上會遇到的問題而準備。數學教師教學壓力不算大，不必太花心思去引發學生學習的動機，因這是如此重要的一科，沒興趣者自己倒霉。而大部分的學生，亦不過視數學如敲門磚，唸數學主要是為了升學，那管日後能發揮什麼功能？一旦高中畢業，便棄數學如敝屣，可以不碰就不碰，更不要說想拿出來用。既然從未形成什麼數學素養，久後即使很基本的數學能力，也都不具備了。底下來看些例子。

2008年9月9日，中國時報有一則新聞的標題為“中國附醫電梯墜落25層樓 21醫師驚魂”。原來前一天，位於台中的中國醫藥大學附設醫院，發生電梯墜落的意外事件。一台滿載該院醫師的電梯，從21樓墜到地下4樓，其中有兩位醫師還因此腿部骨折。電梯墜下固然令人驚魂，不過從21樓墜到地下4樓，卻不是墜落25層樓，而是24層。只要想由2樓墜到1樓，只墜1層(可以說從2樓墜下，但不會說墜了2層樓)，因此由21樓墜到1樓，墜了20層。再往下墜4層，20加4，共墜了24層。要知台灣樓房並沒有第0層。上述問題可能勾起大家一些回憶，想到小學數學裡的植樹問題。也就是告訴你一條路有多長，及每隔幾公尺種一棵樹，問共種幾棵樹？可分兩端種，兩端不種，一端種一端不種。也可複雜些，如在長方形的邊上種等。並不算難題，僅需要細心而已。只是有人於長大後，就不太會了。但不要以為前述計算錯誤，是因一般記者的數學不夠好，畢竟多數記者是文科出身。靠數學吃飯的數學家，也高明不到那裡去。

國內有一所研究型大學的應用數學系，在該系網頁上的“研究亮點”欄，有幾則應是該系引以為榮，與排名有關的訊息。其中一則為：

上海交通大學世界大學學術排名本系進入76-100名，成為全台灣數學領域排名最高的數學系。

看來這是一所研究表現，已可與世界一流大學，一比高下的應用數學系。該系於民國2006年11月校慶前，發信號召歷年畢業系友回來，以慶祝該系成立20周年。成立滿20年，的確值得大肆慶祝一番。只是該系創於1987年，先成立研究所碩士班，接著大學部於1990年成立。1987至2006年，怎會成立20周年呢？因1988年成立1周年，1989年成立2周年，以此類推。至2006年，2006減1987等於19，是成立19周年，而非20周年！可以說成立第20年，或進入第20年，但絕不能說成立20周年。這屬於植樹問題一端種一端不種的一類。諸如學系成立幾周年，或結婚幾周年等，算法一樣，且都宜弄正確。總不能像百貨公司的“周年慶”，主要是為了促銷，就算一年慶祝兩次，也不會有顧客計較。

無獨有偶，2008年8月，在該系出版的一份統計資料中，指出“至今已有大學畢業生14屆共xxx位，碩士班畢業生19屆共xxx位，…”。資料是統計到2008年7月底，那屆數怎會對呢？該系大學部成立於1990年，4年後，1994年產生第一屆畢業生，至2008年(這屬於兩端都種的植樹問題)，2008減1994再加1，共有15屆畢業生。至於碩士班要修讀2年，1987年成立，1989年產生第一屆畢業生。至2008年，2008減1989再加1，共有20屆畢業生。之前對於成立幾周年，多算了1年，這回畢業幾屆，則大學部與碩士班，都各少算一屆。看來不用太高深的數學，即使很簡單的植樹問題，要正確應用，對著作等身的數學家，也都不算容易。其實，就算不管植樹問題，對於諸如3到16有幾個數，不也應是16-3+1=14，而不該是16-3=13？

有些關心中小學數學教育的數學家，常捍衛中小學的數學必修學分數。只是如果連學養深厚的數學家，處理日常所遇到的數學問題之成效，都如此捉襟見肘，恐不易讓人相信唸較多的數學，是有益的。更不會相信修習更多的數學，有助於做出較合理的分析判斷。但只有數學家在應用數學時，才令人提心吊膽嗎？數學家會不會是因論文寫多後，由於常在高深的數學中打轉，久後對於簡單的算術，能力反而退化。社會上的知識分子，具基本數學素養的人，仍居多數？

教育部為提升國內大學的研究水準，並建設世界級的頂尖大學，給若干大學特別的經費。此計畫以五年為一期，每期撥款台幣500億元(1年100億)，故常被稱作“五年五百億”。此計畫已執行兩期，第一期由2006至2010年，第二期由2011至2015年。為徵求第二期計畫，第一期計畫的最後一年，2010年4月1日，教育部還舉辦一說明會。比其他大學，得到更多來自民脂民膏的補助，總該有可觀的成果，否則對不起納稅人。有鑑於此，在預期績效指標及評估基準，教育部共列出10項：

(一)至少10個研究中心或領域成為世界一流；所謂世界一流指在該領域權威期刊或國際研討會發表之論文數為世界前10名，或是由學校自訂而由審議委員會核可之指標。

(二)由國外延攬之專任教師、研究人員，成長25％(每年平均成長約5％)。

(三)就讀學位或交換之國際學生數，成長100％(每年平均成長約20％)。

(四)專任教師中屬國內外院士、重要學會會士者，增加200人(每年平均增加40人)。

(五)近10年論文受高度引用率HiCi之篇數成長50％（平均每年成長約10％）。

(六)赴國外大學或研究機構短期研究、交換、修習雙聯學位之師生成長100％(平均每年成長約20％)。

(七)開設之全英語授課之學位學程數成長100％(每年平均成長約20％)。

(八)非政府部門提供之產學合作經費成長50％(平均每年成長約10％)。

(九)研發之專利數與新品種數5年合計2,500件(平均每年500件)。

(十)智慧財產權衍生收入成長100％(平均每年成長20％)。

習於“作之師”的教育部，對這少數幾所被他們精心挑出的“頂尖大學”，不知是出於好心，或者不相信這些大學的數學能力，對於5年要達到的指標，在括號中一一換算成每年要達到的指標。如第(四)項的5年“增加200人”，將200除以5等於40，於是指出“每年平均增加40人”。畫蛇添足的後果，就自曝其短了。有百分比的那七項，都出現問題。先看第(三)、(六)、(七)，及(十)等四項。教育部應莫測高深地僅說“成長100％”，而不必多事加注“每年平均成長約20％”。教育部顯然忘了所謂“幾何級數”的成長，或者說不記得有“複利”這回事。每年成長20％，5年後成為多少倍？乃1.2的5次方，即2.48832。換句話說成長了148.832％。若每年成長20％，你可以說5年後“約”成長成長150％，但絕不能說成長100％！那如果5年後要成長100％，且每年的成長率要相同，則每年約須成長多少百分比？這雖筆算不易，卻絕非難題。即要先求2開5次方，或說2的5分之1次方，即2的0.2次方。只要計算機一按，就得到約1.14869835。即每年約成長14.87％，或就簡單地說，每年約成長15％。每年成長15％，5年後成為1.15的5次方，約為2.011，即約有101.1%的成長，與預定的成長100％相距不算太遠，這種誤差尚可接受。但若每年成長20％，則5年後約成長148.8%。目標值為成長100％，產生的相對誤差高達48.8%，未免太離譜了。幸好此計畫僅為期5年。如果是10年要成長200％，而教育部仍以為相當於“每年平均成長約20％”，那就會鬧大笑話了。因1.2的10次方，約為6.1917。即約成長519％，是成長5倍以上，而非教育部以為的成長2倍。至於如果是5年要成長50％(第(五)及(八)項)，依教育部的加注，每年成長10％，則5年後成為1.1的5次方，即1.61051，成長了61.051%，比預定的50%，相對誤差約22%。而如果是5年要成長25％(第(二)項)，依教育部的加注，每年成長5％，則5年後成為1.05的5次方，約為1.27628，即約成長27.628%，比預定的25%，相對誤差約10.5%。

連這些簡單的計算，都產生如此大的誤差，你還會相信教育部有關未來學生人數的估計嗎？廣設大學後，因學生數銳減，而要大學退場，也就不令人訝異了。

金字塔或萬里長城蓋不好，負責建造者，可能有殺身之禍。在荒島或高山，得盡力求生存。於壓力下，應用數學的能力油然而生。雖然數學裡一向強調嚴謹，遺憾的是，數學的訓練，卻未讓人必然變得更嚴謹，或體會到嚴謹的重要。處在太平盛世，沒有生存壓力，不論是專業或非專業人世，多數人平時碰到數學時，可能就是不太在意吧！馬馬虎虎的後果，導致未正確運用數學的情況，屢屢可見。也導致多唸數學的好處，未能普遍被相信。