多談無益，底下我們便來實作假設檢定。機率與統計裡，不少主題的討論，常由銅板開始。所以首先會想到的，應是檢定銅板出現正面的機率。雖說處理的僅是銅板，但大家知道，其原理可應用至很多能重複觀測的情況，只要能將出現的結果分成兩類。對於銅板，若欲檢定其出現正面的機率p，該如何進行呢？當然是先投擲再說。如同以往，各次投擲間假設相互獨立，則投擲n次後，所得之正面數X，便有二項分佈B(n,p)。
先將虛無假設及對立假設，取為
H0：p=0.5，Ha：p=0.6，
即H0與Ha皆為簡單假設。這可能源自於由觀測，懷疑銅板並非公正，且出現正面的頻率較高，似為0.6。為了簡便，考先慮較小的n，且就取n=10，如此X有B(10,p)分佈。直觀上，若出現的正面數較多，會拒絕H0。所以拒絕域取為{X≥k}的型式，其中k可能為0，1，…，11。怎會有11？此表不會拒絕H0，即一定接受H0。至於k的選取，則依事先給定的顯著水準(即第一型錯誤機率之上限)α而定。對p=0.5，0.6，及0.7，我們分別給出B(10,p)分佈之累積機率P(X£k)，k=0，1，…，10，於表2。
表2 B(10,p)分佈之累積機率P(X£k)
|
p\k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0.5 |
.001 |
.011 |
.055 |
.172 |
.377 |
.623 |
.828 |
.945 |
.989 |
.999 |
1 |
|
0.6 |
.000 |
.002 |
.012 |
.055 |
.166 |
.367 |
.618 |
.833 |
.954 |
.994 |
1 |
|
0.7 |
.000 |
.000 |
.002 |
.011 |
.047 |
.150 |
.350 |
.617 |
.851 |
.972 |
1 |
在分別給定α=0.1，0.05，及0.01之下，我們來決定檢定。所謂決定檢定，即給出拒絕域。
(1)首先取α為0.01。由表2，若取拒絕域={X≥10}={X=10}，則第一型錯誤之機率為
P(X≥10|p=0.5)=1-P(X£9|p=0.5)»1-0.999=0.001，
此值遠比事先選定的α=0.01小很多(指位階，一為10的-3次方，一為10的-2次方)。是拒絕域取的太小嗎？只是若取的稍大些，即改取拒絕域={X≥9}={X=9，10}，則第一型錯誤之機率成為
P(X≥9|p=0.5)=1-P(X£8|p=0.5)»1-0.989=0.011，
超過所給的α=0.01。所以，就取拒絕域={X≥10}。拒絕域確定後，來求第二型錯誤之機率。由表2，得
β=P(X£9|p=0.6)»0.994，
這機率可說相當大。也就是當實際上p=0.6，卻會很容易拒絕Ha，而仍接受H0：p=0.5。雖第一型錯誤之機率，被壓到才0.001，但第二型錯誤之機率，卻很接近1，何以會如此？這樣合理嗎？原因是p=0.5與0.6差異並不太大，導致當p=0.6時，X的值會落在接受域{X£9}的機率(0.994)，與p=0.5時，X的值會落在接受域的機率(0.999)，都很大且相差有限。換句話說，不論p=0.5或0.6，都不容易拒絕H0。於是當p=0.6時，犯錯(接受H0：p=0.5)也就很難避免(機率0.994)了。
(2)其次取α為0.05。由表2，該取拒絕域={X≥9}={X=9，10}。則第一型錯誤之機率為
P(X≥9|p=0.5)=1-P(X£8|p=0.5)»1-0.989=0.011，
比0.05小很多。但再度拒絕域不能再大了，因若改取稍大的拒絕域={X≥8}={X=8，9，10}，則第一型錯誤之機率成為
P(X≥8|p=0.5)=1-P(X£7|p=0.5)»1-0.945=0.055，
超過所給的限制α=0.05。所以，就取拒絕域={X≥9}，比α=0.01時大。我們知道，α愈小，表H0愈被保護，因此拒絕域將愈小，即愈不容易拒絕H0。又此時第二型錯誤之機率為何？由表2，得
β=P(X£8|p=0.6)»0.954。
(3)再看α=0.1。由表2，該取拒絕域={X≥8} ={X=8，9，10}。則第一型錯誤之機率為
P(X≥8|p=0.5)=1-P(X£7|p=0.5)»1-0.945=0.055。
至於第二型錯誤之機率，由表2，得
β=P(X£7|p=0.6)»0.833。
上述3種情況，之所以第二型錯誤的機率β都相當大，關鍵皆在於對立假設中的p=0.6，與虛無假設中的p=0.5，二值不算差太大。現改變Ha：p=0.7。在α分別為0.01，0.05，及0.1之下，讀者不妨自行檢定
H0：p=0.5，Ha：p=0.7，
以為比較。此時β分別約為0.972，0.851，0.617，是變小一些。
附帶一提，由表2，亦可求出α在不同的範圍裡，各自的拒絕域。當0<α<0.001，拒絕域為空集合，即都接受H0；在0.001£α<0.011，拒絕域={X≥10}；在0.011£α<0.055，拒絕域={X≥9}；在0.055£α<0.172，拒絕域={X≥8}；在0.172£α<0.377，拒絕域={X≥7}；餘此類推。另外，如果觀測到X=9，則先由表2，求出p-值»0.011，然後再視給定的α值，而做決策。例如，若α=0.01，則接受H0；若α=0.05，則拒絕H0；若α=0.1，則亦拒絕H0。
由對稱性，若虛無假設及對立假設，分別取為H0：p=0.5，Ha：p=0.4，則當正面數較少，會拒絕H0。故可取拒絕域為{X£k}的型式，這也符合直觀。對給定不同的α值，拒絕域及β值，皆可對應求出，在此略去。但讀者能否看出，本檢定與前述檢定H0：p=0.5，Ha：p=0.6，二者拒絕域及β值，其間之關係？
