某日衛生局至高雄大學免費檢驗某疾病，並宣稱此檢驗之可靠度為90%。檢驗總有誤差，90%看起來不低，但學生好奇可靠度之意義。衛生局解釋：檢驗有正負二反應，某人若真有病，則有0.9之機率檢驗呈正反應；若沒有病，則有0.9的機率檢驗呈負反應。聽起來還不錯，檢驗算是相當可靠。但有一博覽群籍的學生注意到，這是一罕見病，過去資料顯示，平均每5,000人中，只有1人患有此病。此檢驗迅速且無害，但若檢驗呈正反應，則須至醫院住院3天，以做進一步的檢查。問你是否願意接受此檢驗？

住院3天很麻煩，有必要惹禍上身嗎？底下我們利用貝氏定理，來求機率P(有病|正)，這是在決定要不要接受檢驗前，想知道的，其中“正”表正的反應。

P(有病|正)

=P(正|有病)P(有病)/[P(正|有病)P(有病)+P(正|無病)P(無病)]

=0.9‧(1/5,000)/[0.9‧(1/5,000)+0.1‧(4,999/5,000)]

=9/5,008≒0.0018

由上述推導知，當檢驗呈正反應，真有病的機率其實非常小，僅約0.0018，不到1/500。看到此結果後，大部分的人可能便不願接受檢驗了。

這其中有二議題值得討論。首先，在計算出上述條件機率P(有病|正)之前，也許我們會以為此機率值仍應接近0.9，即衛生局事先所宣稱的可靠度。但不要忘了，衛生局是說P(正|有病)=0.9，而我們所關心的卻是P(有病|正)，這是完全不同的兩個條件機率。在本例中，此二值差異很大。直觀上來看，因檢驗有10%的錯誤，即約有10%的人，好好的沒病卻呈正反應。因此在每5,000人中，他們絕大部分都沒病，卻約有500個人，檢驗後會呈正反應，但其中根本才約1人有病。1/500=0.002，的確很接近所算出的0.0018。第二個議題是，雖然經計算後，檢驗給我們一不太可靠的印象，但在檢驗前，每個人覺得自己會有病之機率，約為1/5,000=0.0002(所謂事前機率)，而在檢驗後，若呈正反應，會是有病的機率，提高至約0.0018(所謂事後機率)，差不多是9倍。即使不能說檢驗很精準，也是有些效能，只是遠比以為的90%可靠度低很多。附帶一提，同理可求出

P(有病|負)=1/44,992≒0.00002223。

亦即檢驗若呈負反應，卻有病的機率極低，因此沒病的機率也就近乎1了。故當此檢驗呈負反應時，對判斷無病是相當可靠的。不過，如果你仔細比較一下，原先有病之機率本來就不大，約為0.0002，這是沒檢驗就知道的。檢驗後，降成約1/9倍。讀者不妨試將檢驗之可靠度，依序提高為99%、99.9%，及99.99%，看此時P(有病|正)及P(有病|負)之變化。又即使改為平均50人中，有1人患有此病，也就是有病機率提高為100倍，則P(有病|正)≒0.1552，較之前的約0.0018，大很多，只是仍不算太高，與90%的可靠度，還是相距甚遠。

由於有上述這類例子，對於那種發生率極低的疾病，許多人往往質疑其檢驗的有效性。也因此不時會有人說，醫生都該多懂些條件機率及貝氏定理。否則對被他們宣佈患有不治之症的病人，後來卻存活好幾年，便只能含糊地以奇蹟出現解釋。雖不會有病人反對這種奇蹟，但多了解條件機率的涵義，對病情估計之正確性，幫助應是很大。否則醫學上便只好屢有奇蹟發生。

不僅在醫學上，凡做估計時，條件機率都常會出現。在民國103年11月25日舉行的“全國大專校院研發主管會議”的開幕典禮中，教育部長吳思華(1955-)表示，“國內每年畢業博士生約3,500人，但大學僅需800個博士，加上國外回台的博士生競逐工作機會，預計10年後，台灣的流浪博士會比流浪教師還多。”近年來，由於就業困難，就讀及錄取的意願同時降低，導致各大學博士班，每年所錄取的新生，早已快速下降。又因教職難覓，博士畢業生，進入業界的比例，也已逐年上升。這是給定“就業困難，且教職難覓”條件下的變化。若未能隨時掌握條件機率的概念，估計將常極度偏離真實值。我們可以大膽地說，10年後流浪博士的人數，應會與教育部的預估，相差甚遠。

對條件機率及貝氏定理想進一步了解者，可翻閱一般機率論的書籍，或參考黃文璋(2000)，(2010)，及(2011)等三篇文章，可看到更多有趣的例子。

參考文獻

1. 黃文璋(2000). 瞻前顧後. 統計薪傳, 1(1): 83-99.

2. 黃文璋(2010). 機率應用不易. 數學傳播季刊, 34(1): 14-28.

3. 黃文璋(2011). 認識機率. 數學傳播季刊, 35(2): 32-44.