有些老師處罰考試成績不佳的學生，但對考得好的學生，也向來不假以顏色，連口頭讚美也吝惜。是厭倦教學了嗎？倒也不是，他們教書認真，且視學生如子。只是教學多年的經驗告訴他們，經處罰後，原先考得較差的學生，往往下次有些進步；而原先考在前面者，卻常有不少下次成績退步了。這些老師深深體會，學如逆水行舟，不進則退，因此必須兢兢業業，即使百尺竿頭，都還得更進一步。如今成績下降，可見一點都鬆懈不得。若當初還獎勵考得較好者，不是會讓他們退步更多？因此那些老師，對教不嚴師之惰的古訓，一直堅信不疑。每當有新近老師來報到時，也會以過來人的身分，這樣傳授經驗給他們。
只是卻有細心的新老師注意到，那些秉持愛的教育，對學生一向鼓勵有加的老師，班上學生成績，也屢有上次考得好，這次下降；上次考得差，這次上升的現象。啊！年輕老師猛然想起，大學時修過統計學，其中曾提到迴歸效應(regression effect)。原來高分下降且低分上升，乃極正常，跟老師對待學生是否嚴厲，並無太大關係。
為了描述父親身高與兒子身高二變數間的關係，十九世紀時，高爾頓引進了迴歸的概念，因而衍生出迴歸分析此一現今常用的統計方法。高爾頓先注意到，個子較高的父親，兒子亦有較高的傾向，至於較矮的父親，兒子也有較矮的傾向。這當然不是什麼了不起的發現，僅是眾所皆知的遺傳之影響而已。但隨後高爾頓又觀察到，較高的父親，兒子往往比父親稍矮一點，而較矮的父親，兒子卻常比父親略高些。高爾頓稱此現象為向平均迴歸(regression toward the mean)，也就是靠向平均。“regression”一詞，即有後退或退化的意思。後來稱此為迴歸效應。在高爾頓所獲得的1,078對父子的身高數據中，父親的平均身高約為68吋(即英寸，1吋=2.54公分)，兒子則約為69吋，高了1吋。既然兒子比父親平均約高1吋，因此直觀上，對一個72吋高的父親，會估計其兒子高73吋，而對一個64吋高的父親，會估計其兒子高65吋。實際上，分別約為71吋及67吋，前者少了2吋，後者高了3吋，皆向兒子身高的平均值69吋靠近。
對於迴歸效應，你可以歸之為數據就是如此。得到的線性迴歸函數，也是這樣的估計。但不是說統計如考古，要替所得到的數據說話。何以有此現象？是上天濟弱扶傾，有心做一些平衡嗎？倒也非如此。就仍以父子身高為例，來說明迴歸效應產生的原因。假設某國身高最高的達230公分。又假設這些長人，他們兒子的平均身高沒有比較高，亦為230公分。但因不致於全部下一代都一般高，而平均為230公分，故其中必有比230公分還高者，當然也會有比230公分還矮者。如此一代超越一代，該國的長人身高紀錄，將不斷向上提升。但人類身高紀錄並未一直上升。故身高230公分的那群父親，其兒子的平均身高，不要說不多於230公分，比較可能會少於230公分。反過來，身高最矮的那群父親，其兒子的平均身高，也很可能會比其父親輩增加些。
學測滿級分是75，有位高中應屆畢業生，考了74級分。面對親友紛紛祝賀，他卻哭喪著臉，因進不了心目中的第一志願。你是否會建議他放棄申請及推甄，背水一戰，拼7月初的指考？因都已考到74級分了，滿級分不就唾手可得？再考一次，多了幾個月的準備，沒有理由不考得更好些，如此就什麼想進的校系都進的去了，有些人可能會這樣認為。我們常講要有邏輯，拼指考的策略，看起相當合理。只是天下豈有此理的事，還果真不少。那些放棄學測高分，背水一戰參加指考者，實際結果常不如預期。當初能進的校系，如今反而進不去了。早知如此，就不必多此一舉了，有人感到懊惱。其實，學測考高分，指考成績退步，乃符合預期。再度，僅是迴歸效應，並非上天想挫挫考高分者之銳氣，給他們多些磨鍊。不妨這樣想：為什麼人們會擔心一試定終身？因覺程度不見得能每次考試，都完全反映出來。考試成績乃真正程度，加上誤差後之呈現。其中誤差總是難以避免，有些機運，可能正向也可能負向。第一次考高分者，運氣大抵不會壞。則第二次考試，就不容易在原先的好運之上，再有好運了。例如，假設學測能考兩次，則第一次考74級分的人，往上只有1級分的成長空間，要提高相當不易。其程度的“代表值”說不定是72級分，但因好運，不但該會的都會，且臨機應變，做對一些向來不會的，因而多了2級分，達到74級分。再考一次，不要說不見得能再有好運，要有比上次更多的3級分好運，實在是難上加難。而第一次只考10級分的人，除了程度不佳，運氣大約也不會好，連猜都全錯。既已在谷底，第二次又能怎樣往下掉呢？上升還較可能。
不過，迴歸效應是就整體平均的觀點，也是有實力原本更強，因運氣不佳，考壞了，學測僅“得”74級分，這些人若再考，便較有可能考得更好。總之，對考74級分者，是否適合考第二次，迴歸效應指出，整體而言是不宜，但仍因人而異。如果對考生夠了解，自然可給出與整體不一樣的建議。記得“千鈞一髮”(Gattaca，1997)嗎？電影裡，每個人只要一出生，便依照基因，被指定日後可做什麼工作。一心想當太空人的伊森霍克(Ethan Hawke，1970-)，卻屬於基因不良者，被認為絕不適合當太空人。大部分的人會認命，接受科學的判定。但憑努力，加上幸運，伊森霍克最終打敗了基因，實現自小升上太空的夢想。所以，迴歸效應也是有可能被打敗的。
雖有迴歸效應，但只會向平均靠近，順序不會改變的可能性仍較大。即身高較高的父親，與身高較矮的父親，前者兒子身高之平均值，仍較可能超過後者，但二平均值會拉近。對迴歸效應有興趣者，亦可參考黃文璋(2007)及(2013)二文。
參考文獻
1. 黃文璋(2007). 統計裡的估計. 數學傳播季刊, 31(2): 3-20.
2. 黃文璋(2013). 迴歸效應. 科學人, 131期(2013年1月號): 24.
