3 假設與檢定

兩人分一塊蛋糕，該如何分，才會讓雙方都覺得公平，或者說都覺得自己拿到的並非較小？由一人負責切，然後讓另一人優先挑選，是一合理的方法。有一男孩不知該如何做，才能取悅女孩。有人建議他秉持民之所欲常在我心的精神，揣摩女孩喜歡什麼，他就使命必達。

很多時候，就是會遇到上述這類如何讓雙方都較服氣，或較不至於心有不甘的問題。唐宋八大家之一的歐陽修(1007-1072)，在追念其父母的“瀧岡阡表”一文中，提到其父為死囚“求其生而不得，則死者與我皆無恨也”。早在1千年前，歐陽修之父，可說便已具備現代法律裡所重視之“無罪推定”的精神。我國刑事訴訟法第154條：

被告未經審判證明有罪確定前，推定其為無罪。犯罪事實應依證據認定之，無證據不得認定犯罪事實。

這就是所謂“無罪推定原則”。我國最高法院，於民國25年立下有罪推定原則的判例後，經過65年，民國90年廢止該判例。自此被告原則上是無罪的，法官只要認定罪證不足，即可宣判無罪，而不必窮調查之途。在無罪的前題下，若證據夠充分，就不得不判定有罪。必須一提的是，前述條文裡的“證明”一詞，應與數學裡的證明意義不同，而與前一節裡的“證實”同義。

依無罪推定原則，如果德國科學家相信喝綠茶可以減肥，那該如何假設？要先假設喝綠茶不能減肥，然後若證據夠強，便能推翻此假設，即證實喝綠茶可以減肥。統計學裡，設計了一套“假設與檢定”的流程。一開始要先確定二假設，即虛無假設(null hypothesis)與對立假設(alternative hypothesis)。虛無假設通常表現況，或傾向想推翻的；而對立假設則表傾向接受的。雖想推翻虛無假設，卻很有風度，儘量保護，不讓它輕易被推翻。如此一旦推翻，才能減少不服。也就是須儘量做到“求其生而不得，則死者與我皆無恨也”。

對隨機現象做決策，要不誤判幾乎是不可能。例如，若懷疑某銅板較易出現正面，令p表銅板出現正面的機率，則可將虛無假設取為p = 1/2，對立假設取為p > 1/2。只是即使銅板實際出現正面的機率為0.55，比1/2大，投擲100次，也可能正反面各得50次。這時合理的推論，當然是接受虛無假設，但這就誤判了。至此，讀者也許可以明白，虛無假設何以名之為“虛無”了。天下本無事，庸人自擾之。不相信銅板為公正，進行檢定，大費周章後，卻接受銅板為公正，可說白忙一場。英文null意義為空的。接受虛無假設，乃接受一空的假設。試想，法官若判定被檢察官起訴的嫌犯無罪，消費者保護會若宣佈經檢驗某食品成份合格，表示整個過程沒有建設性，多此一舉。檢察官得重新偵辦案子了，而消費者保護會說不定會被認為擾民。

為了簡便，我們以H₀及H_a，分別表虛無假設及對立假設。有兩種可能的誤判。其一是虛無假設為真卻拒絕，稱此為第一型錯誤；其二是對立假設為真卻拒絕，稱此為第二型錯誤。在無罪推定之原則下，被起訴者明明無罪卻被判有罪，便犯了第一型錯誤；實際有罪卻被判無罪，便犯了第二型錯誤。通常犯第一型錯誤比較嚴重。因無罪被判有罪，可能坐牢、受處罰，或至少名譽受損，這種錯誤較難彌補。至於有罪被判無罪，犯罪者僥倖逃過制裁，若因此改邪歸正，那便還好；但若得意忘形，則夜路走多，疏漏愈來愈大，總有被定罪的一日。通常會先設定一個第一型錯誤機率值之上限α，稱為顯著水準(significance level)，α為一較小的值，常取成0.05，0.01，或0.001等。在α給定後，決定何時拒絕H₀，即決定拒絕域。拒絕域的選取，若能使第二型錯誤的機率值β最小，當然最好。此時的拒絕域，稱為顯著水準不超過α下之最佳拒絕域。對某些情況，統計學裡有一套找到最佳拒絕域的方法。

既然犯第一型錯誤較嚴重，那α是否取得愈小愈好？一般而言，α愈小β將愈大，無法兩全。以法庭審判為例，若悲天憫人，寧可錯放1千不錯罰1人，對證據的審核高度嚴格，則很多實際有罪者，將可興高采烈地等著被判無罪了。所以α取得過小，不見得就好。宜視不同狀況，斟酌取適當大小的α。

現考慮檢定銅板出現正面的機率p。設H₀：p = 1/2，H_a：p≠1/2。即擬檢定此是否為一公正銅板。持續投擲銅板n次，以X表所得正面數，則X有參數n，p之二項分佈，即B(n,p)。當H₀為真，即p = 1/2，則X較可能落在期望值n/2的附近。所以直觀上，X偏離n/2較大時該拒絕H₀。由是取拒絕域為{|X-n/2| ≥ c}={X ≥ n/2+c，或X ≤ n/2-c}，其中c由n及α決定。現取n=100，α=0.05。由於n較大時，二項分佈的機率值不太好算，以常態分佈來近似，得c約為9.8。取c=10，因c該是整數。如此拒絕域={X ≥ 60，或X ≤ 40}，且實際的α值約為0.0456。對離散型分佈，有時無法取到剛好能達到所給α值之拒絕域。若α=0.01，則c約為12.88，所以取c=13。如此拒絕域={X ≥ 63，或X ≤ 37}，且實際的α值約為0.0094。在同樣的n之下，α值愈小，表H₀愈被保護，因此拒絕域將愈小，即愈不容易拒絕H₀。投擲銅板100次，得到62個正面，比在H₀下(銅板為公正)的期望值50多了12，即超過24%，感覺上很偏差，卻仍得接受此銅板為公正。沒辦法，那是α太小的關係。解決之道是加大n。假設取n=10,000，則在H₀下，X之期望值=5,000。當α=0.01時，c約為128.8，故取c=129，且拒絕域={X ≥ 5,129，或X ≤ 4,871}。此時正面數X，只要比5,000偏離逾129/5,000=2.58%，就得拒絕H₀了。至於有關求第二型錯誤的機率，比較複雜些，在此不討論。

最後來看“顯著”一詞的由來。顯著與否，乃依發生機率的大小。發生機率較大的事件若發生，乃屬稀鬆平常，無須大驚小怪。但若小機率事件發生，此事件便屬顯著，顯著事件自然引人注意。至於怎樣的機率算小？0.05或0.01？當然視情況而定，不能一概而論。所以得先訂個標準，亦即給定顯著水準，依此決定拒絕域。因而觀測值若落在拒絕域，便稱檢定結果為顯著，且接受H_a；否則便是不顯著，且接受H₀。

4 結語

統計是門入世的學問。統計學裡提供一套假設與檢定的程序，以為做選擇，或給推論時之依據。此程序並非在判定事情的真偽，而是用來做為擬採對策之指引。本文僅對假設與檢定給一粗淺的介紹，想進一步認識此題材者，可參考黃文璋(2004)及(2005)二文。了解假設與檢定的內涵後，將發現它不過是將人們平常做抉擇的思維，有系統地給出一執行的流程。設計出此流程，算不上是一顯著事件。因就是有那麼多極具洞察力的統計學家，他們能透視人們的某種思維，並據此設計出好的方法。

參考文獻

1. 黃文璋(2004). 統計學裡無罪推定的精神. 科學發展月刊, 383期(2004年11月號)：68-73.

2. 黃文璋(2005). 統計顯著性. 數學傳播季刊, 29(4)：29-38.

3. 吳菲及李建銓譯(2012). 等雲到：與黑澤明導演在一起的美好時光(野上照代原著)。漫遊者文化事業股份有限公司，台北市。