所謂NBA，是National Basketball Association(美國國家籃球協會)之簡稱。分屬東區及西區兩個聯盟(Conference)，每聯盟各有三組(Division)，每組有五支球隊。在全部共30支球隊中，有29支為美國球隊，另一支則是來自加拿大的多倫多暴龍(Toronto Raptors)隊。
NBA正式比賽於每年11月的第一個星期二開始，分為例行賽和季後賽。在例行賽裡，每支球隊要出賽82場(2011-12年度，由於勞資糾紛，球季延至12月26日才正式開始，因此每隊只有66場例行賽)。例行賽到次年的4月底結束，每聯盟的前8名，及未列入前8名的各組冠軍(此情況很少)，將有資格進入季後賽。參加季後賽，是每支球隊的年度首要目標。季後賽抓對廝殺，採七戰四勝淘汰制，共分四輪，最後一輪由兩個聯盟的冠軍，爭奪年度總冠軍。
因林書豪的關係，很多國人開始關心NBA的新聞。而只要有心，從中多少可學到一些機率。例如，林書豪所屬的紐約尼克(New York Knicks)隊，例行賽的勝率不過比五成多些，但不時發生連勝多場，或連敗多場，而非勝1敗1的交錯。讓人有時對他們寄與厚望，覺得冠軍就在眼前；有時卻連他們能否進入季後賽，都擔心不已。但機率理論告訴我們，這其實是正常的。只要用投擲公正銅板來模擬，便可知連勝或連敗的現象，才是常態。可參考黃文璋(2006)一文的圖1。
2012年3月31日，洛杉磯湖人(Los Angeles Lakers)隊的布萊恩(Kobe Bryant，1978-)，在主場對紐奧良黃蜂(New Orleans Hornets)隊，創下前15次出手皆落空的紀錄。這位有小飛俠之稱的好手，歷來已立下不少輝煌的紀錄。例如，2005年12月20日，布萊恩於對戰達拉斯小牛(Dallas Mavericks)隊時，僅上場3節(一場比賽有4節)，便攻下62分，而小牛隊前3節，得分才不過61。真是一夫當關，萬夫莫敵。另外，2006年1月22日，在主場對多倫多暴龍隊，布萊恩得到個人生涯單場最高的81分。他目前不但在NBA史上總得分排行榜名列第五，更是現役球員中，唯一總得分超過29,000分者。又雖已年過33，但NBA的2011-12年度每場平均得分王，並非別人而是布萊恩。果真寶刀未老。
這樣的好手，繳出他生涯最差的先發表現，當然成為媒體追逐的焦點。面對批評，布萊恩回答“這可不是隨便就發生的事，就像我拿81分的那場比賽一樣！”底下我們來看，對布萊恩而言，連15投不進，究竟有多罕見？
依媒體報導，布萊恩在NBA的生涯，至該場共出賽1,155場，每場平均出手約23.5次，平均命中率則約為0.42。為了簡化，就假設布萊恩每場都出手23次，且命中率為0.42。以A表布萊恩在一場比賽中，出現“至少連續15次出手落空”的事件，其機率以P(A)表之。因並非只有恰好連15次出手全落空才會受到矚目，更多次連出手落空，將令人更訝異，這是我們考慮“至少”連15次落空的原因。A包含連16次，連17次，…，甚至全部23次出手皆落空。而一串連15次落空，可能發生在始自第1至第15次(出手)，始自第2至第16次，…，始自第9至第23次，共9類情況。連15次落空後，不論進球或不進球，便都無妨，因都已歸屬事件A了。但那連15次的前1次出手，必須是進球，否則連續落空的歸類，便要屬於開始更早。例如，對第3類，即始自第3至第17次連落空，其第2次出手一定是進球，不會是落空，但第1次出手則可以是進球也可以是落空。從第2類至第9類，那8類都是這種情況。至於第1類，則因始自第1次出手，故並無前1次。又因每次進球機率0.42，落空機率0.58，故得
P(A) = 0.5815+8×0.42×0.5815。
P(A)約為0.00123283908，即將近1000分之1，並不算大。也就是布萊恩在某特定的一場球賽裡，會發生連續15次出手落空，的確如他所言，為一罕見事件，不是隨便就發生。但會為球迷及媒體所重視，當然並不限某一特定的賽事。我們已求出P(A)，因此A未發生的機率為1-P(A)，此值約為0.99876716，很接近1。由此得在布萊恩生涯1,155場的比賽中，A皆未發生之機率為
p = (1 - P(A)) 1,155，
p約為0.240554792。故在1,155場裡，A至少發生1次的機率為1 - p，即約0.759，為一不算太小的機率。
底下我們仍考慮簡化下的情況。假設NBA的30支球隊裡，每隊都有一位能與布萊恩相匹比的明星球員，命中率同為0.42，生涯同樣出賽1,155場。則仿上述討論，此30位明星球員，會有某一位在其生涯中，發生於一場比賽裡，至少連續15次出手落空的事件，其機率為
1 - ( (1 - P(A)) 1,155 )30 = 1 - (1 - P(A)) 34,650。
雖1 - P(A) 很接近1，但經過34,650次方，便幾乎是0了，約為2.73×10-19。換句話說，對NBA的球迷，要看到好手凸槌，幾乎可說是必然。
另一方面，布萊恩為NBA史上單場3分球命中數最多的保持人(12個，2003年所創)，總共的罰球命中數則排第4(截至2012年4月7日止有7,398個)，因此若發生諸如連續18次3分球失手，或連續10次罰球落空的事件，同樣會引人注目。亦即僅就布萊恩而言，便有各式各樣的罕見事件。更不要說NBA有30支球隊，共數百位球員，因此在每年的1千多場比賽裡，某罕見事件的發生，可說一點都不稀奇。
最後，在相同的假設下，布萊恩發生“至少連續14次出手落空”的事件，其機率約為0.932，比原先的0.759大了不少；若再放寬，改為連續13次出手落空，對布萊恩而言，這也算罕見了，此機率則約為0.994，相當接近1。
參考文獻
1. 黃文璋(2006). 決策的誤差。數學傳播季刊，30(3)：66-79。
