宇宙的運轉，有必然性和隨機性。銅板落地所需時間可求出，這是必然性，但那一面將朝上卻不知，這是隨機性。對事先不能預知結果的觀測或試驗，便稱為隨機現象。意思本已很明白，但曾有高中數學課本又畫蛇添足，加以如下說明：

一般而言，如果一個試驗具有隨機現象，可在相同條件之下重複進行；雖然無法預知其結果，但是我們可以知道所有可能出現的結果。

這段文字不太通順就不去管它，但必須一提的是，以這樣的方式解釋隨機現象，是不夠“一般”的。

諸如A先生是否今年底前結婚，B籃球隊是否得年度冠軍，都屬隨機現象。但“今年”只有一次；至於球隊是可能在未來某年獲冠軍，只是每年每隊的成員都不盡相同，連參賽隊伍也不見得一樣，因此每年的球賽，並不能算是在相同條件下重複進行。

另外，“可以知道所有可能出現的結果”，此句也有些爭議。首先，我們得釐清什麼是可能，不可能。有時人們遇到較困難的事，會說“這是不可能的任務”，但有些最後仍完成。考完大學學測，某人問你的總級分可能多少？你正為考得不太好而傷心，實在沒興趣回答此問題，便敷衍地說0至75分都有可能。問的人覺得你不可能考到75分，也不可能考0分。所以可能，不可能，不見得有那麼嚴格的界限。因此將“知道所有可能出現的結果”，特別放進對隨機現象的解釋，彷彿此為隨機現象須具備的條件，並不恰當。

你想知道今天出門，所遇到最高的人，身高可能是多少？你其實連世界身高最高紀錄為何，都不太清楚。但你認為將“可能出現的結果”，取成介於150公分至300公分間，便不至於掛一漏萬。換句話說，不像投擲一公正的骰子一次，並觀測所得點數的情況，在討論隨機現象時，那些才屬於可能出現的結果，有時不太確定。這時將所有可能出現的結果之集合，取得較大些，乃無關緊要。亦即雖列在可能出現的結果中，有些其實根本“不可能”出現。因此，在不少情況下，所有可能出現的結果之集合，可以給的不同。此集合有時是為了萬無一失而取的，倒不見得是我們一開始便知道那些結果真會出現。讀者也不難想通，不能以發生的機率不為0，來界定那些屬於可能出現的結果。例如，由0至1的區間中隨機地取1點，則所有可能出現的結果，當然是整個區間，但顯然該區間中任何一點被取中的機率皆為0。

對一隨機現象，所有可能出現的結果之集合(可以是觀測所得，或指定)，稱為樣本空間。如果問投擲一銅板兩次，樣本空間為何？這是不清不楚的問題。若觀測兩次會出現正、反面的情況，則樣本空間可取為{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中(正，反)表第一次得正面且第二次得反面，餘類推。若觀測兩次共出現的正面數，則樣本空間可取為{0，1，2}。若觀測兩次共出現的正面數減去共出現的反面數，則樣本空間可取為{-2，0，2}。因觀測的不同，尚可有其他樣本空間。整個機率的架構是很有彈性的，萬不可以為對投擲一銅板兩次，樣本空間一定是{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}。會這樣誤解，原因大約是根深蒂固古典機率的想法所造成。以為銅板必公正，各次投擲必相互獨立等。趁早跳出此桎梏，對往後靈活且正確的學習機率，其實是較好的。通常若確定觀測什麼現象，便可寫出樣本空間。甚至可更一般，連觀測都不必，直接說說“取”，或“令”樣本空間為何，然後繼續之後的討論。

為何我們強調上述那幾點呢？對於數學，人們通常較能嚴肅以對，因從小在數學課中，我們一再被要求須精準。但對涉及隨機現象的問題，以為反正也不一定會出現什麼結果，因此不管提出什麼結論，都不見得立即能被判定對或錯，何必如數學中的嚴謹？在一知半解下，隨機遂轉化為隨便，對事物的描述，便常不覺得須很明確。

今日大家對機率一詞，皆能朗朗上口，但究竟其意義為何，一般人卻可能不甚了了。在機率教科書上，通常可見到下述三種對機率的解釋：

以相同的可能性來定義機率，此為古典的定義。

在多次相同條件下重複試驗後，以一事件出現的相對頻率，來定義機率，此為統計的定義，或說客觀的解釋，或說頻率對機率的解釋。

以觀察者對一事件之相信程度，來定義機率，此即主觀的觀點，或說對機率的主觀解釋。

由前述三種解釋，得到啟示，二十世紀的三十年代，產生了以公理化的方式，來定義機率。定義中包含三基本要件：

樣本空間，事件的集合，及機率函數。

各基本要件，皆有一些條件。如樣本空間不可為空集合，這是很顯然的；又任一事件為樣本空間之子集合，其機率須介於0與1之間等，這符合長久以來人們對機率的認知。前述三基本要件，便構成機率空間，想進一步了解的讀者，可參考黃文璋(2011)一文。

你可能會好奇，我們不是早就經常在求機率，為什麼還需要機率空間？此有如原本只是一群人分兩隊在操場踢球，發展夠久後，總會想訂個足球的比賽規則。此規則當然會吸收長期以來，在球場上形成的默契，但會考慮的更周詳，以因應各可能發生的情況。

在機率空間裡，樣本空間可以是虛擬的，不必真的在執行什麼試驗，或做什麽觀測。就算真有試驗，如前已指出，樣本空間可以是指定的，而試驗也不必是可以重複的。對實際情況，不能重複的試驗，所涉及的機率，往往是主觀的。但主觀機率，常也是根據過去一些客觀的資料而產生，並非都毫無憑據。只是由於觀測僅有一次，在一翻兩瞪眼下，難免被質疑所給的機率之正確性。比如說，我們想知道最近形成的那一個颱風，是否會登陸台灣。這怎能重複觀測？氣象局預測登陸機率低，颱風卻帶來強風豪雨；預測登陸機率高，颱風卻不見蹤影，屢有發生。

在機率空間裡，集合不論有限或無限，離散或連續，都可以用來當做樣本空間。不像在古典機率裡，樣本空間只能是有限集合，而且由於發生機率相同之故，須知樣本空間中有幾個元素，才能給定機率，因此對那些能放進樣本空間，便很在意。事件的集合，更是可大可小。可小到只包含空集合及樣本空間兩個元素；也可大到包含樣本空間之所有子集合。在古典的機率裡，以及一般較初等的教科書中，就是取這最大的樣本空間。至於機率，只對事件才給，而機率函數也僅需滿足幾個特定的條件即可。在看似有約束的機率空間中討論機率，但一切可說彈性極大。

你不妨這樣想，訂出一很有彈性的足球比賽規則，其中每隊人數、場地大小，及比賽時間等皆不固定，但都得滿足某些條件。訂規則者可不管地球上是否存在能供幾十億，甚至更多的人比賽的場地。換句話說，所有對機率的討論，可以僅是紙上談兵。但這看似抽象的機率空間，卻非常一般，無所不包。那些原本常見的投擲骰子，及撲克牌遊戲等，所產生的機率情境，不過都是機率空間之一實例而已。

自引進機率空間的架構後，機率理論便開始長足發展，一切概念遂逐漸清晰起來。大部分的情況下還無妨，即使機率空間沒有很明確，也能討論機率。只是若遇到有爭議，或處理較細膩的問題時，可能便得弄清楚，到底當下的機率空間為何？有如必要時，就得將平常束之高閣的憲法搬出。

你是否信心十足，覺得自己不是一般人，了解機率的意義有何困難？在奇摩的網頁上，曾有人提出下述問題：

我先生的爺爺本身是雙胞胎，我外婆也生過雙胞胎，但公婆及我父母都沒有生下雙胞胎，請問我們會不會生下雙胞胎？如果會，那機率會是多少？

有一個可能是醫學院的學生，給出如下的答覆：

你的問題讓我一看就很想回答，因為很像教授考試的題目，大部分教授考的題目，在臨床上都沒什麼用途。

一般而言，孕婦生雙胞胎機率是1/89。如果家族中有雙胞胎，這機率比1/89一定還要大。你問我；你會不會生下雙胞胎？答案是會，但是不保證，只是機率比較大，就好像你問我；走在路上會不會被廣告看板砸下來，打到頭？我的答案也是會，但是機率比較小。結論是：有問好像沒問。

機率是統計學上騙人的東西，許多事情要重複做100次才有機率可言，懷孕不可能100次，每次懷孕生雙胞胎機率是1/89，但單次懷孕生雙胞胎機率若不是0%，就是100%，就好像問我，50元銅幣丟到地上一次，是蘭花機率有多少？事實上，50元銅幣丟到地上，不是總統府，就是蘭花，如果丟到地上100次，那麼機率就會接近50%。如果丟到地上一次，蘭花的機率若不是0%，就是100%。

前述回答者對機率的解釋，雖然不正確，但可能是不少人的看法。要知在每次懷孕前，皆可問生雙胞胎之機率，只是一旦生產後，此機率便不是0就是1了。投擲銅板的情況也類似，並非要投擲很多次才能談機率。而投擲100次，也非(正面出現的)機率就會接近50%。而是正面出現的相對頻率，接近0.5的機率會很大。至於如何接近？以及對於隨機現象，究竟我們能否保證什麼？這些問題較難些，我們稍後會討論。

最後必須一提的是，依機率空間的定義，樣本空間中允許僅有一元素。例如，假設投擲一兩面皆為正之銅板，則會出現那一面？毫無疑問，當然只可能是正面，即樣本空間內只有正面一個元素。這原本並非隨機現象，但我們仍將此視為隨機現象。或更明確地說，視此為一退化的隨機現象。此兩正面銅板一擲之下，出現正面之機率為1，出現反面之機率為0。將退化的情況亦納入(其實是不得不納入)，河海不擇細流故能就其深，所有觀測或試驗，便都是隨機現象了。兩千多前，畢氏(畢達哥拉斯，Pythagoras，約西元前580–500年)學派有“萬物皆數”(All is number)。我們則說“萬物皆隨機”(All is random)。處在這隨機世界裡，我們怎能不將隨機以及機率的概念，都弄得更清楚些？

參考文獻

1. 黃文璋(2011). 機率空間。黃家小館(http://huang.nuk.edu.tw/cindex.htm)。