在說明乘法原理之前, 我們首先考慮下述問題: 

  設有三名男生(甲、乙、丙)及三名女生(丁、戊、己)參加聯誼活動, 某遊戲需男女配對一同進行, 

試問共有幾種不同的配對方式?  

 首先, 我們先將可能的配對方式一一列出:     

        甲丁、甲戊、甲己、乙丁、乙戊、乙己、丙丁、丙戊、丙己         

可以發現共有9種配對方式。 但若人數太多, 一一列出可能很繁雜, 因此我們用另一方式來解這個

問題。 我們將此問題分成兩個步驟: 第一個步驟: 先從3名男生中選一名, 共有3種選法, 第二個步

驟由3名女生中選一名, 也有3種選法。因第一個步驟中每選一名男生, 都有3名女生可供選擇, 故共

有$3\times 3=9$種選法。

   如果將上面配對過程看做完成某一件事的過程, 將選擇男生看做完成此事的第一個步驟,而完成

將選擇女生看做完成此事的第二步驟, 並且分別將3名男生, 與3名女生看成完成第一步有種方法, 

第二步有種方法, 則完成這件事共有種方法。 事實上, 我們可以推廣至更一般的形式,

 即所謂的乘法原理。  

乘法原理

如果完成某件事情可依序分成$k$個步驟, 而第 $j(j=1,2,\cdots,k)$個步驟有$m_j$種方法可以完成它, 

那麼完成這件事的方法共有 $m_1\times m_2\times \cdots m_k$種。

       有了乘法原理後,接下來我們看看下面問題: 

       假設某教室內有$n$張椅子, 有$n$位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?

 解這個問題可分$n$個步驟, 

       第一步:第一位學生先從$n$張椅子任選一張, 共有$n$種選法, 

       第二步:第二位學生從剩下的$n-1$張椅子任選一張, 共有$n-1$種選法, 

       第三步:第三位學生從剩下的$n-2$張椅子任選一張, 共有$n-2$種選法, 

     至第$n-1$步:第$n-1$只能剩下的2張椅子任選一張, 共有2種選法, 

       至第$n$步:第$n$位學生只能選剩下的一張椅子, 故只有$1$種選法。

  由乘法原理知: 共有 $n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$種選法。

我們通常會將 $n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$ 用$n!$來表示。讀做"$n$ 階乘"。 即

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$$

其中 $n=0,1,2,3,\cdots$, 通常會將$0!$定義為1。

  底下是一些常用的階乘值。

$1!=1$,	$2!=2\times 1=2$,
$3!=3\times 2\times 1=3\times 2!=6$,	$4!=4\times 3!=24$,
$5!=5\times 4!=120$,	$6!=6\times 5!=720$,
$7!=7\times 6!=5040$,	$8!=8\times 7!=40320$,
$9!=9\times 8!=362880$,	$10!=10\times 9!=3628800$。

      除了乘法原理外, 尚有一重要的加法原理： 

加法原理

如果完成某件事的方法可區分成$k$個類別, 而第 $j(j=1,2,\cdots,k)$個類別有$m_j$種方法, 且每個

類別互不相干, 那麼完成這件事的方法共有 $m_1+m_2+\cdots+m_k$種。

    例如,  從甲地到乙地有飛機、火車與巴士等三種交通工具可到達,其中飛機每天有3班, 火車每天

有15班, 巴士每天25班,若A先生欲從甲地至乙地,  很明顯地, 可看出此問題的A先生只能選擇一種交

通工具的某個班次, 故共有3+15+25=43個交通班次可選擇。   

 

生活中的實例1

某兔穴有進出口四處, 一兔由不同一口進出的方法共有幾種?

[解]: 第一個步驟: 進→4種選法。

        第二個步驟: 出→3種選法。

        由乘法原理知, 共有$4\times 3=12$種方法。

生活中的實例2

假設某教室有四張椅子, 甲、乙、丙、丁四位學生依序選擇座位, 試問共有幾種不同的選法?
[解]:

    第一步: 甲生從四張椅子任選一張$\Rightarrow$ 4種選法;

        第二步: 在甲生選定後, 乙生從剩下三張椅子任選一張$\Rightarrow$ 3種選法;

    第三步: 在甲乙二人選定後, 丙生從剩下二張椅子任選一張$\Rightarrow$ 2種選法;

    第四步: 在甲乙丙三人選定後, 丁生只能選擇剩下的一張椅子$\Rightarrow$ 1種選法;

    由乘法原理知, 共有 $4\times 3\times 2\times 1=24$ 種選法。

隨堂練習1

  某速食店舉辦週年慶, 提供主餐5種, 副餐4種, 飲料6種, 任選主餐、副餐與飲料各一種, 特價70元, 

試問顧客有多少種選擇的方式？

[解]: 120種。 

　

隨堂練習2

 甲、乙兩人在排成一列的8個座位中相鄰而坐, 試問共幾種不同的坐法? 

[解]: 14種。

　

生活中的實例3

試求下列各值。

(1) $$\frac {5!}{3!}$$, (2) $$\frac {3!\times 4!}{1!+2!}$$。
[解]:

(1) 原式 $$=\frac {120}{6}=20$$。

(2) 原式 $$=\frac {6\times 24}{1+2}=48$$。

生活中的實例4

假設某期刊室內, 有5種週刊, 4種月刊, 3種季刊供民眾閱讀, 今甲生從這些期刊中任選一種, 

試問共有幾種不同的選法。

[解]: 因總共期刊數有5+4+3=12種, 所以甲生從這12種中選一種, 故共有12種不同的選法。

　

隨堂練習3 

試求$$\frac {12!\times 8!}{10!\times 6!}$$之值。

[解]: 7392

隨堂練習4

某校想了解學生對法律常識的認識, 想從該校高三有20班, 高二有19班, 高一有18班，任選一班進行

法律常識測驗, 試問共有幾種不同的選法?

[解]:57種。

　

  

1. 今有一列火車, 共有十節車廂, 每節車廂有52個座位, 每排4個座位, 共13排。每節車廂的座

   位號碼由1至52號編排。 其中1號靠左窗, 2號靠右窗, 3號靠走道左側, 4號靠走道右側, 餘

   此類推。今有甲、乙、丙三位學生分別購買一張火車票, 若三人皆坐在第二節車廂的同一行,

    且甲生的座位號碼為42, 試問

   (1) 此三人座位是靠左窗、靠右窗、靠走道左側還是靠走道右側?

   (2) 此三人共有多少種不同的坐法?

   (3) 若此三人前後緊鄰而坐, 有幾種不同的坐法?

   (4) 若三人之座位號碼和為3的倍數, 共有多少種不同的坐法?

   (5) 若三人之座位號碼和為90, 共有多少種不同的坐法?

   　

2. 某高中舉行班際盃籃球賽，若有24個班級參與比賽，將其分成4組，每組6個班， 每組再分兩

   小組(各三班)，進行單淘汰比賽(每小組首輪有一班輪空)，產生分組冠軍後， 4隊再進行單循

   環比賽，以決定前四名名次。試問

   (1) 共需安排多少場比賽?

   (2) 若該校共有4個球場，每天只有二個時段能安排賽程， 且每班每天最多賽一場，則學校最

   少需安排多少天的賽程?

[解答]

1.(1) 靠右窗, (2) 132種, (3) 2 種,(3) 46種, (4) 10種。

2. (1) 26場, (2) 6天。

　

1. 試求下述各值。

   (1) $8!+3!-5!$, (2) $$\frac {(10!)^2-(8!)^2}{8!\times 8099}$$。

2. 設由山腳至山頂有三條山路, 甲、乙兩人上山後返回山腳。

   (1) 若二人上山可同路, 下山不同路, 則有幾種方法?

   (2) 若兩人上山不同路, 下山亦不同路, 則有幾種方法?

3. 將100元換成5元、10元或50元銅板, 共有幾種換法?

4. 將42個彈珠分成三份, 每份個數各別為$a$、$b$、$c$

   (1) 若$a$、$b$、$c$成等差數列, 則有幾種情形?

   (2) 若$a$、$b$、$c$成等比數列且公比為整數, 則有幾種情形?

5. 設有相同的紅、白、黑色襪子各1雙, 及相同的箱子3個, 若限制每個箱子各放兩隻不同顏色

   的襪子, 則有幾種不同的放法?

6. 每次用20根相同的火柴圍成一個三角形, 共可圍成多少個不全等的三角形。

7. 某國自用小汽車的牌照號碼, 前兩位為大寫英文字母, 後四位為數字, 例如$AB-0950$, 

   若最後一位數字不能為4, 且後四位數字沒有0000這個號碼, 那麼該國可能有的自用小汽車

   的牌照號碼有多少個?

8. 有趣的階乘:
   $\hspace*{2cm} 1=1!, 2=2!, 40585=4!+0!+5!+8!+5!,$
   只要一數等於其各位數字之階乘和, 便稱此數為"階乘數'' 。 總共只有四個階乘數, 試找

   最後一個(提示: 位數不超過3位)。

   　

[解答]

1. (1) 40206, (2) 40320。

2. (1) 54, (2) 36。

3. 18。

4. (1) 27, (2) 3。

5. 6。

6. 8種。

7. $26\times 26\times (9000-1)$種。

8. 145。