樣本空間中的元素, 不一定是數字, 可以是紅球、白球, 或正面、反面等。 做民意調

查, 想了解民眾對某議題的看法, 選項可能有極力贊成、贊成、不贊成、極不贊成、沒意見

等。我們一向比較喜歡處理數字的問題。 對上述情況, 可將紅球視為1, 白球視為0; 正面

視為1, 反面視為0; 極力贊成視為5, 贊成視為4, 不贊成視為3, 極不贊成視為2, 沒意見視

為0。也就是將實驗的結果數量化。

     調查選民對某候選人支持與否, 以1表支持, 0表不支持。 雖是數量化了, 但若調查一

千位, 則樣本空間共有個元素, 每一元素為一長串有1000個的0或1的數字, 其中第個

數字為1, 表第個人為支持, 0表不支持。 這麼大的樣本空間不但難以掌握, 也顯得累贅。 

因我們可能只對其中共有多少人支持感到興趣。 因此可令

                            =數字中1的個數。

則對, 樣本空間成為{0,1,2,…1000}, 減小許多。



    由於以上這些原因, 隨機變數(random variable)的概念便自然地產生了。 所謂隨機變數, 就是

一個定義在樣本空間的實函數。 若以表一隨機變數, 則此函數的定義域為, 對應域是實

數, 值域則為的一個子集合。 換句話說對, 。即對一個隨機變數,

可以想成原先觀測到, 再轉換至, 樣本空間由轉為。我們先看一個例子。

   考慮擲一公正銅板二次, 用H表出現正面, T表出現反面, 則此試驗的樣本空間是

                     ={HH,  HT,  TH, TT},

 其中HT表第一次出現正面, 第二次出現反面, 餘類推。我們令隨機變數 =出現正面的次數, 所

以可以很清楚知道:

                 (HH): 表出現兩個正面, 所以 (HH)=2;

                                  (HT)與(TH): 均表出現一個正面, 所以 (HT)=(TH)=1;

                                  (TT): 表沒有出現正面, 所以 (TT)=0;

因此隨機變數取值在0,1和2。

   若我們對樣本空間很清楚, 通常會將(), 寫成, 省略。如上例, 若寫成=2, 就表示

出現兩個正面, 即樣本點為HH。

    隨機變數常以大寫的英文字母表示, 而它的觀察值則以對應的小寫字母表示, 即, 我們通

常會把這個形式說為"隨機變數取值"。

  隨機變數依其取值的形式, 區分為兩種, 第一種若取值為有限或無限且與自然數有一對一的對應,

, 則稱之為離散型隨機變數(discrete random variable)。如不良品的數目、某一營業日進入銀行的顧客數

皆是離散型隨機變數。而第二種就是連續型隨機變數(continuous random variable) , 此取值在某一區間或

區間集合的所有數值, 如重量、時間、溫度等。目前我們只針對離散型的隨機變數進行討論。

    在前面單元, 我們常會求某事件的機率, 如投擲一公正銅板兩次, 求出現一正一反的機率?

那將其用隨機變數表示後, 機率要如何求呢? 就以這個例子為例, 令隨機變數表出現正面的次數,

 則, 就是要求"出現一個正面"的事件之機率, 就回到之前學過的事件的機率。通常我們

以表示"之機率", 作法就是先找出中,有哪些事件符合, 再去求出這些事

件的機率值。

生活中的實例1

  投擲一公正銅板三次, 令隨機變數=出現之正面數, 試求

(1) 隨機變數所有可能的取值範圍;

(2) 之值。

[解]: 用H表出現正面, T表出現反面, 則樣本空間為

         ={HHH, HHT, HTH, HTT, TTT, TTH, THT, THH}

           其中HTH表第一次出現正面, 第二次出現反面, 第三次出現正面, 所以

         =0:表沒有出現正面, 即事件{TTT},

                  =1:表出現一個正面, 即事件{HTT、THT、TTH},

                  =2 : 表出現二個正面, 即事件{THH, HTH, HHT},

                  =3: 表出現三個正面, 即事件{HHH}   

        所以隨機變數取值在0,1,2,3。

    而就是"出現一個正面"的事件之機率, 即事件{HTT、THT、TTH}的機率, 所

    以為3/8。

隨堂練習1         

   承實例1, 試求之值。

[解]: 3/8。

生活中的實例2

   投擲一公正的銅板5次, 令隨機變數=出現之正面數, 試求之值。

[解]: 因每次出現不是正面就是反面, 所以樣本空間中共有=32個樣本點, 每個樣本點之機率

為1/32, 因=2, 表示"5次投擲中出現2次正面"之事件, 由組合概念知, 共有=10個樣本點,

因每個樣本點出現機率相同, 所以5次投擲中出現2次正面之機率為10×1/32=5/16, 即

=5/16。

隨堂練習2

   投擲一骰子2次, 令隨機變數=出現點數之和, 試求之值。

[解]: 1/6。

1. 試判斷下列每一隨機變數敘述, 決定它是離散的還是連續的:

   (1) 擲一銅板100次反面出現的次數,

   (2) 結婚開始至第一胎嬰兒出生的時間,

   (3) 在5分鐘內打電話至某一航空公司訂位的顧客數,

   (4) 一份20道問題的考卷, 所答對的題數,

   (5) 一個人的重量。

2. 三位學生已約好暑假到麥當勞打工之面試的時間。對每位學生來說, 面試的結果不是錄用就是未

   錄用。若樣本空間為三個人面試的結果。

   (1) 列出此樣本空間,

   (2) 令隨機變數表示錄用人數, 列出每一試驗結果所對應的隨機變數的取值。

3.  為了做某種血液分析, 檢驗技師必須執行兩個程序。第一個程序需要1個或2個步驟, 第二個程

    序則需要1個、2個或3個步驟。假如感興趣的隨機變數是完成血液分析所需步驟的總數, 試列出

    每一試驗結果的隨機變數的取值。

[解答部分]

1. (1) 離散, (2) 連續, (3) 離散, (4) 離散, (5) 連續。

2. (1) 設錄取為Y, 未錄取為N, 則樣本空間={YYY, YYN, YNY, YNN, NYY, NYN, NNY, NNN}。

      (2) YYY-->3,  YYN-->2,  YNY-->2,  YNN-->1,  NYY-->2,  NYN-->1,  NNY-->1,  NNN-->0。

3. 設A1表第一個程序需1個步驟, B2表第二個程序需2個餘類推, 則樣本空間

        ={(A1,B1), (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)},

   所以每一試驗結果的隨機變數的取值分別為

    (A1,B1)-->2,  (A1,B2)-->3, (A1,B3)-->4,  (A2,B1)-->3,  (A2,B2)-->4,  (A2,A3)-->5。