在數學裡給定某個數是2, 它就一直是2。 但在機率裡, 某事件的機率是有可能因情況
而變。 這本來是不奇怪的, 但因大部分的人受數學的薰陶較久, 而數學裡通常是處理"不變"
的問題, 所以在學習機率時, 看到機率值居然會改變, 便不易理解。 如假設生男生女的機率
各為0.5。 則隨機抽取一個學生會是男或女的機率也就大約是0.5。但若知此學生是高雄女中
的學生, 則會是女生的機率就是1了, 因高雄女中沒有收男學生。 由於獲得資訊, 機率隨之而
變, 其實是合理的, 否則就失去收集資訊的目的。
若, 為樣本空間中二事件, 且。則在給定發生之下, 之條件機
率, 以表之, 定義為
。 ----------------------------(1)
在上述條件機率的定義中, 成為新的樣本空間: 。也就是原先的樣本空間
修正為。 所有事件發生之機率, 都要先將其針對與的關係做修正。 例如, 若與為互斥
事件,且, 則因, 故; 若亦為正, 則此時亦有
。
條件機率也可用來求非條件下的機率。由(1)式得
。-------------------------(2)
故若知道及。 則可得到 。當然亦有
, --------------------------(3)
只要。結合(2)式與(3)式, 得
。-----------------------------(4)
今後即使不特別聲明, 上式要成立就隱含著及皆為正。
(4)式為貝氏定理(Baye's
Rule)之一特例, 這是英國牧師貝斯(Bayes,
1702-1761)所首先提出, 因
而命名。 不過也有人認為法國的大數學家拉普拉士(Laplace, 1749-1827)才是第一位明確給出此
定理者, 所以應稱為拉普拉士公式(Laplace's Formula)。
我們已知道 , 若樣本空間中, 還有一個事件,那
會有什麼樣的形式? 看看底下的推導:
。
似乎有點規律。 若樣本空間中, 再加一個事件, 不難看出有下列形式
。
事實上, 我們可以給出更一般的形式, 設為樣本空間中的個事件, 且
, 則
此即條件機率的乘法性質。除此之外, 條件機率還有一些基本性質, 我們分別列於下:
設,,為樣本空間中的任意三事件, 且設, 則有
(1) , ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,
(5) 若, 則。
先前我們已給出貝氏定理之一特例, 現在我們給出一般的形式:
設為樣本空間中之一分割(所謂分割就是 , ,
且)。 則對任意及任一事件, 只要,
。
例如, , 為樣本空間中之一分割, 在給定一事件, 且, 則
。
生活中的實例1
假設生男生女的機率相等。某家庭有兩個小孩, 試問
(1) 已知老大為男孩, 求老二為男孩的機率;
(2) 已知有一男孩之下, 求兩個小孩均為男孩的機率。
[解]: 令表老大是男孩的事件, 表老二是男孩的事件, 所以
表兩個小孩都是男孩的機率,
表至少有一小孩為男孩的機率,
故
, ,
。
因此
(1) 已知老大為男孩, 老二為男孩的機率為
。
(2) 已知有一男孩之下, 兩個小孩均為男孩的機率為
。
隨堂練習1
投擲一公正的硬幣四次, 令表第一次為正面的事件, 表四次中至少出現三次正面的事件,
試求及。
[解]: =0.5, =0.8。
生活中的實例2
將排成一列, 令表排末的事件, 表兩個相鄰的事件, 試求。
[解]:
,
因表兩個相鄰且排末的事件, 所以
,
故
隨堂練習2
承實例2, 試求之值。
[解]:0.4。
生活中的實例3
甲生打算投擲一公正的銅板來決定要選修的課, 若出現正面則選修日文課, 若出
現反面則選修德文課。 從過去之資料得知選日文課有0.6的機率會得到90分以上,
而選德文課只有0.4的機率會得到90分以上。 試求甲生選修日文課會得到90分以
上的機率為何?
[解]: 令
表示選修日文課的事件,
表示所選的課得到90分以上的事件, 所以
表選日文課得到90分以上的事件,
故
=0.6×0.5=0.3。
因此甲生選修日文課會得到90分以上的機率為0.3。
隨堂練習3
承實例3, 試求甲生選修德文課會得到90分以上的機率為何?
[解]:0.2。
生活中的實例4
袋中有紅球5個, 白球3個, 袋中有紅球3個, 白球2個, 先隨機地選出一袋, 再自選出的
袋中取出一球, 試求取出白球的機率。
[解]:
令W表取出白球, 則
隨堂練習4
承實例4, 求取出的白球為來自袋的條件機率。
[解]:15/31。
呈正反應(假設檢驗只有正負反應); 若無病亦有0.05的機率呈正反應。 過去的資料顯示
平均每100人有一人會有此病。此檢驗迅速且無害, 若檢驗呈正反應, 則"須"至醫院住院
一週做進一步檢查。 試問你是否願意接受此檢驗?
他看見有一銅板朝上。甲聞言對丙說:你破壞了我們的賭局, 我的朋友乙正要猜兩個銅板
朝上的面是相同還是相異。試問丙提供的資訊是否對乙有幫助?
[解]:
1. 不願意。
2. 有幫助。
, 試求之值。
會做答, 而對於不會的題目, 該生會任選一個答案
(1) 求任一題目答對的機率。
(2) 某一題答對, 求此題是猜中的機率。
(1) 第一次得到正面。
(2) 首五次恰得到3個正面。
[解答部分]
1. 。
2. 。
3. 。
4. (1) , (2) 。
5. (1) , (2) 。