機率的意義究竟是什麼? 在某些條件下我們稱一事件發生的機率為, 此處的含義為何?

不同的書不同的作者, 往往有不同的定義方式, 但大致可分為下述三種:

(1) 將機率的概念以"相同的可能性"(equal possibility)來解釋, 此為古典的定義。

      假設所有試驗結果之機率相等, 若有個試驗結果, 則平均分配機率   至每一試驗結果。

就投擲一公正銅板的試驗而言, 認為兩種試驗結果(正面和反面)有相同的可能性是合理的,因此

分配每一試驗結果之機率為0.5, 即觀察到是正面的機率是0.5, 觀察到是反面的機率也是0.5。若

是投擲一公正骰子的試驗, 認為六種可能結果有相同的可能性也是合理, 因此分配每一試驗結果之

機率為1/6, 即出現1點的機率是1/6, 6點的機率也是1/6, 餘類推。

(2) 以多次重複試驗後, 一事件出現的頻率(frequency)來表示機率, 此即統計的定義, 或客觀的解釋。

   由於古典的定義不夠一般性, 因它無法用來描述一有無限可能性的試驗結果。以頻率來解釋機率, 

必須針對是可以重複做試驗的事件, 如丟銅板等。由於是實驗的結果, 與觀察者是誰無相關, 因此

又稱客觀的解釋。如某公司新產品試賣中, 接觸了400位顧客, 其中100位買該產品而300位沒買。事

實上, 可以想像每接觸一位顧客, 相當於做了一次試驗, 重複試驗了400次, 而當中有100次顧客

買該產品, 300次顧客沒有買, 因此我們可以說顧客購買該產品的機率為100/400=0.25。同理, 顧客

沒有買該產品的機率為300/400=0.75。

(3) 以觀察者對一事件的相信程度來定義機率, 此即主觀的觀點。  

       當試驗結果相同的可能性之假設不合理, 我們可以採用主觀的觀點。主觀的觀點是根據過去客

觀的事實來決定, 即使有相同的資料, 不同的人對同一事件, 有時也會給出不同的主觀機率。如考慮

中華台北對美國的世界盃棒球賽, 中華台北贏的機率是多少? 很顯然地, 比賽結果輸、贏的可能性不

相等。同時過去中華台北對美國的次數並不多, 因此若想估計中華台北獲勝的機率, 我們必須用主觀

的觀點, 如評量雙方的投手之防禦率, 或打擊者之打擊率等, 給予一個值以表示中華台北會贏的相信

程度。

   當然無論使用那一種的機率的定義方式, 都需滿足下列條件:

  (i) 給予每一試驗結果的機率必須介於0與1之間, 

 (ii) 全部試驗結果之機率和必須等於1

給予每一試驗結果之機率後, 我們就可以給出任何事件的機率。任何事件之機率等於該事件所有試驗

結果機率之和。如投擲一公正的骰子, 因出現每一點的機率都是1/6, 所以若令事件表出現點數為

偶數的事件, 即={2,4,6}, 則事件的機率為出現2點, 4點, 6點的試驗結果之機率加總, 即 

1/6+1/6+1/6=1/2, 通常以來表示事件之機率, 因此=0.5。

關於機率有一些基本的性質, 我們列於下:

設、為樣本空間中的二事件, 則

(1) ,  ,

(2) ,

(3) 餘事件的機率: ,

(4) 機率的加法性: ,

(5) 若、為互斥事件, 則, 且 ,

(6) 單調性: 若, 則。

生活中的實例1

投擲一公正的銅板兩次, 試求出現兩個正面的機率。

[解]: 若以"正反", 表第一次出現正面, 第二次出現反面, 餘類推。因此樣本空間

          ={正正, 正反, 反反, 反正},

    我們可以認為這四種試驗結果有相同的可能性, 因此分配每一試驗結果的機率為1/4, 所以

    出現兩個正面的機率為1/4。

隨堂練習1 

投擲一公正的骰子兩次, 試求出現兩個3點的機率。

[解]: 1/36。

生活中的實例2

某一醫院X光部門, 連續30天記下早上九點鐘等待服務的病人人數, 得下列結果:

試求等待人數為1的機率為何?

[解]: 我們可以假設每一天為一次試驗, 重複試驗了30次, 而等待人數為1, 共出現了7次, 所以機

率為7/30。

隨堂練習2 

承實例2, 試求等待人數為2的機率。

[解]: 1/3。

生活中的實例3

甲先生和乙先生出價買一棟房子, 有兩種可能的結果:

        =他們出的價格被接受

        =他們出的價錢被拒絕

甲先生相信他們出價被接受的機率是0.7, 因此甲先生設=0.7。乙先生相信他們出價被接

受的機率為0.5,  因此乙先生設=0.5。我們可以注意到乙先生在出價是否被接受上, 較甲

先生悲觀。

隨堂練習3

承實例3, 在甲乙兩位個人主觀條件下, 分別求出他們認為出價被拒絕的機率。

[解]:甲先生相信他們出價被拒絕的機率是0.3; 乙先生相信他們出價被拒絕的機率是0.5。

生活中的實例4

一袋中有3個紅球, 4個白球, 5個黑球, 今自袋中任取3球, 試求取出3球為同色之機率。

[解]: 任取3球的可能結果共有=220種, 所以出現每一種的機率均為1/220。因3球為同色, 

所以可能情形為: 3球皆為紅球有=1種, 3球皆為白球有=4種, 3球皆為黑球有=10種, 

故共有15種。因每一種機率皆為1/220, 所以15種之機率為15/220=3/44, 即取出3球為同色之機

率為3/44。

隨堂練習4

承實例4, 試求取出3球為不同顏色的機率。

[解]: 3/11。        

生活中的實例5

設與為樣本空間中之二事件, 且已知=0.3, =0.4, =0.1, 試求

(1) , (2) 。

[解]: 

    (1) =0.3+0.4-0.1=0.6。

    (2) =0.4-0.1=0.3

隨堂練習5 

在某一研究發現有30%家庭的先生和20%家庭的太太會定時收看星期日晚上的某一節目。有12%的家

庭是夫婦同時收視此節目。試求夫婦中至少有一人會定時收視此節目之機率是多少? 

[解]: 0.38

1. 設921集集大地震後, 一星期內統計共發生100次餘震, 其層級(取餘震整數部分, 小數部分

   略去)與次數統計如下表:

   層級	2級	3級	4級	5級	6級
   次數	30	30	20	15	5

   依此數據推測下述問題

   (1) 餘震小於4級的機率。

   (2) 餘震不小於5級的機率。

   (3) 連續兩次平均餘震為4級的機率。

2. 設某人每天上學途中, 總共會遇到五個紅綠燈裝置, 假設該月總共上課20天,此人記錄該月

   在上學途中會遇到紅燈的次數與機率如下:

   次數	0	1	2	3	4	5
   機率	0.05	0.15	0.20		0.20	0.10

   依此數據試求下述問題:

   (1) 之值,

   (2) 遇到紅燈在四次以上的天數,

   (3) 遇到三次以上紅燈之機率,

   (4) 遇到兩次以下紅燈之機率。

[解]

1. (1) 0.5,  (2) 0.2,   (3) 0.16。

2. (1) 0.30, (2) 6天  (3) 0.6, (4) 0.4。

1. 若袋中有相同樣式的黑鞋3雙, 紅鞋2雙, 自袋中任取四隻, 若機會均等, 則四隻恰有兩雙

   的機率為何?

2. 同時投擲三顆公正的骰子, 試求下述情形之機率

   (1) 三顆點數均相異,

   (2) 三顆點數均相同,

   (3) 出現點數和為8,

   (4) 出現點數和為15。

3. 一副撲克牌共52張, 試求下列情形之機率

   (1) 任取兩張, 一紅一黑,

   (2) 任取兩張, 不同號碼,

   (3) 任取五張, 同花色。

4. 投擲一個骰子四次, 試求下述情形之機率

   (1) 恰好出現1點三次,

   (2) 至少出現1點三次。

5. 在春節返鄉, 設甲買到對號火車票的機率為0.5, 而乙是0.6, 又兩人同時

   買到的機率是0.3。 試問兩人皆未買到對號火車票的機率為何?

[解答部分]

1. 。

2. (1) , (2) , (3) , (4) 。

3. (1) , (2) , (3) 。

4. (1) , (2) 。

5. 。