案例五：懸崖邊的醉漢

　　有天晚上小明與朋友相約到柴山上慶生且欣賞夜景，興緻一來就喝了不少酒。他帶著滿身的酒意想走到山路邊搭計程車。由於喝醉了無法站穩，因此他在那裡直線地前後移動。假設他正站在距離山崖一步的位置，後退一步就會掉落山崖，若他能連續往前走9步，則可順利攔到計程車回家。又假設他走向路中一步的機率為2/3，往後退向山谷一步的機率為1/3。請問小明9步之內可能會掉落山崖的機率是多少？11步呢？13步呢？

解答：

　　這類問題是屬於隨機漫步(random walk)中的問題。小明9步內所有可能的走法如下圖所示，圖中亦算出他到達每一交點的機率值。

　　假設他原來的位置在1，且差一步(位置0)就會掉到山崖下。由圖我們可以知道，第1步就掉落山崖只有一種情形，機率為1/3。若他第一步沒掉進山崖又繼續走1步，即共走了2步，則不可能會有危險。走第3步才掉落山崖的情況也只有一種１→２→１→０，機率為2/27。走4步不會掉落山崖。走5步才掉落山崖的情況可能有兩種，分別為１→２→１→２→１→０及１→２→３→２→１→０，機率為8/243。依此類推，只有走奇數步，才有可能會掉落山崖。因此，9步之內掉落山崖的機率為

　　我們可合理地猜測在他走了愈多步後，掉落山崖的機率也就愈來愈小。用類似的作法，我們可以推廣求出第n步才掉落山崖的機率。如

因此，

因此，

　　另外，若改為每一步向路中的機率為3/4，往後退向山谷的機率為1/4，則

類似問題：

　　設每次之賭注為1元，贏與輸之機率分別為p及q, p+q=1。又設一開始有r元，0≦r≦n，若全輸光或賭資達到n元便停止不玩了。我們假設(見黃文璋(1995)第二章)「最後」必定是輸光或達到n元。令u_r表輸光(即破產)之機率，v_r=1-u_r則表達到目標之機率，n=∞則表賭博之對手(如莊家)有無限的資金。則由假設可得下述方程組:

而u₀=1, u_n=0為二邊界條件。(1)為一差分方程組(difference equations)，若p≠q，可如下求解。

先將(1)改寫為

。

再將(2)式由i=2至i=j，左、右分別乘起來並消去共同項得

。

將(3)式由j=1至j=r，左、右分別相加得

。

利用u_n=0，由上式可得u₁-1=-(1-q/p)(1-(q/p)ⁿ)^-1，代入(4)式即求出p≠q時

。

若p=q，(3)式成為

。

由此得

。

利用u_n =0解出當p=q時

。

至於v_r,由u_r +v_r =1立即可求出來。

另外，若n=∞，則u_r之解為

若p=q，由v_r=1-u_r=r/n，可知若一賭徒帶了r=999元去賭，則有0.999之機率在輸光全部錢之前贏得1元。

若p=0.4，q=0.6，此賭局雖對賭徒不利，但此時在輸光全部錢之前贏得1元之機率近似2/3：

一般而言，一賭徒若一開始之賭資r夠大，則在破產前要贏到一不算大的錢n-r之機率並不小。