合 成 函 數 及 隱 函 數 之 微 分
a 有些二變數函數 , 其混合的二階偏導數 與 不一定相等。但有時二者會相等。例如, 設
則
因此
a 但定理
2
之逆並不成立, 即有可能 (5.2) 成立, 而 及
在點並非皆連續。見下例。
例 1.設
一多變函數 若為連續, 且其第一階偏導數亦連續, 則 稱為平滑函數。一般而言, 若 及其所有至第 階之偏導數皆連續, 便稱 為 -平滑函數。 在第二章對單變函數, 我們以連鎖規則來求合成函數之微分。對多變函數亦有對應的結果。
定理 3 也可改寫為下述形式: 在適當的條件下, 若 , 其中 , , 則
另外, 定理 3 中之 為一單變函數, 對多變的合成函數, 我們也可有連鎖規則。例如, 設有一函數 , 且 , , , 又令
則
只要上述這些導數在一適當的集合中存在且連續。上二式之證明除了包含三個變數外, 其餘部分與定理 3 完全相同。 更一般地, 若有一 變函數 , 且
又令 , 則
當然所有一階偏導數仍要假設存在且連續。
其次我們來看隱函數之微分。
設 為一二變數之平滑函數, 且 為一可微函數,
使得對每一屬於 之定義域 中的 ,
利用連鎖規則得
由上式可求出 為
上式對每一在 之定義域中的 且
成立。
設
由上式可定義出一函數
設 與 皆為平滑函數。因
, 由 (5.8)
式得
又
,
, 因 ,
視為二獨立的變數。因此
同理可得
a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002).
合成函數及隱函數之微分。微積分講義第九章,國立高雄大學應用數學系。
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