方 向 導 數
a
我們先考慮兩個變數的情況。設 為一二變數函數, 為一在
之定義 域 中的點, 為 上一條通過 之直線。若將
視為 中之 - 平面, 則通過 且垂直 -
平面之平面 , 交 之圖形於 一曲線 , 稱為
之圖形在平面 的一截域 。 在 中, 集合
即為 之圖形。由幾何上的性質知, 可表示為
其中
為一二維之非零向量。 即為一經過 點且方向為
之直線。又對一向量 , 我們以
表其二分量分別為 及 。 若將
視為一 之函數, 則此函數在 之導數以
表之。即
|
(3.1) |
便稱為 在 點且方向為
之導數。若令
, 則 (3.1) 之右側即為 , 故
|
(3.2) |
又若將 取為一座標軸, 取為原點, 另一軸取為與 軸平行,
則 即為 在平面 上 之圖形。
例 1.令
。 求 在
且方向
之導數。
仍令
, 且令
, ,
則由連鎖規則得 。令 , 即證出
因此
|
(3.3) |
若
為一單位向量, 即
, 則
稱為
在 點且方向為
之方向導數。
若 ,
, 且
, 即 , 則
之參數式為
因此前述曲線 上任一點可以
表之。再度由幾何 中的結果知, 曲線 在點
的切向量為
又
為對應 點之 的圖形上的點。故在 點之切向量為
, 此向量即稱為
之圖形在 點 且方向為
之切向量。此向量之斜率為
,
其中最後一等式用到 (3.2) 式。故方向導數即為
之圖形上,
在所給定方向之切向量的斜率。
例 2.令
, 求 在 且方向為
之方向導數。
例 3.令
, ,
,
求
。 設有一函數 , 則過 點, 只要給一方向
,
便可有一方向導數。其中在
及
之方向導數特別重要。若 , 則
可看出
即為固定 , 將 視為一
之函數的導數, 而
則為固定 , 將
視為一 之函數的導數。通常我們以 表
,, 以 表
.
及 仍為 之函數, 並稱為 之一階偏 導數 。
當變數為 , 時,
及 分別稱為 對 及 之一階偏導數。對偏導數尚有一些常用的記號:
符號 仍發音 “”, 只是在多變函數裡,
為了與單變函數之導數符號區別, 我們以
取代
。
例 4.令
, 求 之一階偏導數。 例
5.令
, 求 之一階
偏導數。
當 為一二變數函數, 及 皆仍為二變數函數,
因此我們可再討論 及 之一階偏導數, 即 ,
, 及 。此四函數稱為
之二階偏導數。 對二階偏導數,
常用的記號為
注意, 與 之定義並不相同, 前者為先對
微分再對 微分, 後者為先對 微分再對 微分。微分為一關於極限的運算, 而我們已提過多次, 兩個有關極限的運算,
若交換其運算次序, 結果並不一定相同。 同理, 若 為一三變數函數, 則 有 9 個二階偏導數,
當然這些二階偏導數當中, 有些可能會相等。有了二階偏導數,
當然可再定義三階偏導數等高階偏導數。例如, 設有一函數 ,
則
其中 也可寫成
,
但卻不一定等於
。
例 6.令
, 求 及
。
例 7.令
求 及 。
a
進一步閱讀資料:黃文璋(2002).
方向導數。微積分講義第九章,國立高雄大學應用數學系。
|