7.3正項級數

正項級數

設有一級數 $\sum a_i$ , 若 $\geq 0$ , $\forall i$ $\geq 1$ , 稱此為一正項級數 (positive term series, 或 nonnegative term series)。對一正項級數, 因部分和 $\{s_n, n\geq 1\}$ 為一漸增數列, 利用第一章定理 1.1 便得底下的結果。

定理 1.設 $\sum a_i$ 為一正項級數。則 $\sum a_i$ 收斂, 若且唯若部分和數列有上界。

理論上來說, 欲判別一級數之斂散性, 須檢驗其部分和數列 $\{s_n, n\geq 1\}$ 是否極限存在。但很多時候並無簡單的形式, 因此也就不易看出 $n\to\infty$ 時, 之極限值是否存在。利用下列方法可不經由求部分和即可來判別。

級數之斂散性的判別法有三大類: (i) 充分條件, (ii) 必要條件, (iii) 充要條件。設為關於級數 $\sum a_i$ 之某一條件, 則上述三類分別可如下說明:

(i) 若成立, 則 $\sum a_i$ 收斂;

(ii) 若 $\sum a_i$ 收斂, 則成立;

(iii) $\sum a_i$ 收斂, 若且唯若成立。

例 1. 設 $\sum a_i$ 為一重疊級數, $a_i=b_i-b_{i+1}$ , 則 $\lim_{i\to\infty }b_i$ 存在, 為 $\sum a_i$ 收斂之一充分條件。而 $\lim_{n\to\infty }a_n=0$ 為 $\sum a_i$ 收斂之一必要條件。又若已知 $\sum a_i$ 為一等比級數, 則公比小於 1 為此級數收斂的充要條件。對必要條件, 可用來判別級數發散, 即若 $\lim_{n\to\infty }a_n\neq 0$ , 則此級數發散。

本節先討論關於正項級數之斂散性的判別法。

定理 2.比較檢定法 (comparison test)。設 $\sum a_i$ 及 $\sum b_i$ 為二正項級數。若存在一正的常數 , 使得

$\begin{displaymath} a_i\leq c b_i, \ \forall i\geq 1, \end{displaymath}$

(3.1)

則 $\sum b_i$ 收斂導致 $\sum a_i$ 收斂。

在定理 2之條件下, 一個等價的結果為若 $\sum a_i$ 發散, 則 $\sum b_i$ 發散。而若存在一 , 使得 (3.1) 成立, 我們便說級數 $\sum a_i$ 受制於 $\sum b_i$ ( $\sum a_i$ is dominated by $\sum b_i$ ), 或說 $\sum b_i$ 支配 $\sum a_i$ 。又顯然若存在一 $n_0\geq 1$ , 使得 (3.1) 成立, $\forall i\geq n_0$ , 則上定理 2之結果仍成立。甚至, 若 $\{a_n\}$ 及 $\{b_n\}$ 是自某項開始為非負, 則定理 3.2 之結果仍成立。一級數之斂散性, 不受前面有限項的影響。

定理 3.極限比較檢定法 (limit comparison test)。設 , , $\forall n\geq 1$ , 且

$\begin{displaymath} \lim_{n\to \infty }\frac {a_n}{b_n}=1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(3.2)

則 $\sum a_i$ 收斂若且唯若 $\sum b_i$ 收斂。

註 3.1. 若存在一常數 , 使得

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }\frac {a_n}{cb_n}=1, \end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }\frac {a_n}{b_n}=c \end{displaymath}$

(3.3)

時, 由定理 3 知此時 $\sum a_i$ 與 $\sum c b_i$ 同時收斂或發散。故當 (3.3) 成立時, $\sum a_i$ 收斂若且唯若 $\sum b_i$ 收斂。另外, 若

, 則易見此時只能得到結論: $\sum b_i$ 收斂導致 $\sum a_i$ 收斂, 而 $\sum a_i$ 發散導致 $\sum b_i$ 發散。最後, 若 $c=\infty$ , 則 $\sum b_i$ 發散導致 $\sum a_i$ 發散, $\sum a_i$ 收斂導致 $\sum b_i$ 收斂。

定義 1.設有二數列 $\{a_n\}$ 與 $\{b_n\}$ 滿足

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }\frac {a_n}{b_n}=1, \end{displaymath}$

則稱 $\{a_n\}$ 與 $\{b_n\}$ 近似相等 (asymptotically equal), 且以

$\begin{displaymath} a_n\sim b_n,\ n\to\infty \end{displaymath}$

表之 (讀做

is asymptotically equal to

)。

由定理 3 即得下述推論。

系理 1. 設有二正項級數 $\sum a_n$ 及 $\sum b_n$ , , $b_n>0, \forall n\geq 1$ , 且存在一 , 使得 $a_n\sim cb_n$ , $n\to\infty$ 。則 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 同時收斂或發散。

例 2. $\sum(n^2+n)^{-1}$ 為一收斂的重疊級數。因

$\begin{displaymath} \frac 1{n^2}\sim \frac 1{n^2+n},\ n\to\infty , \end{displaymath}$

故由系理 1 知 $\sum 1/{n^2}$ 收斂。又對 $\forall s> 2$ , $\sum 1/n^s$ 受制於 $\sum 1/n^2$ 。
故 $\sum 1/n^s$ 收斂, $\forall s\geq 2$ 。稍後會證明, 事實上 $\sum 1/n^s$ 收斂, $\forall s>1$ 。

若令

$\begin{displaymath} \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s},\ s>1, \end{displaymath}$

(3.4)

便定義出著名的 Riemann zeta 函數 (Riemann zeta-function, 簡稱
zeta 函數)。歐拉發現許多關於 $\zeta(s)$ 之美妙的公式, 例如,

$\begin{displaymath} \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac {\pi^2}6, \end{displaymath}$

此公式至 8.6 節再推導。

例 3. (i)討論級數 $\sum_{n=1}^{\infty}n 2^{-n}\sin (n^{-1})$ 之斂散性。
(ii)討論級數 $\sum_{i=2}^{\infty } 1/\log i$ 之斂散性。

(iii)討論級數 $\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)/(2n^2)$ 之斂散性。

　　利用底下柯西在西元 1837 年證明的積分檢定法 (integral test), 可判別更多級數的斂散性。

定理 4.設為一定義在 $[1, \infty )$ 之漸減的正函數。對 $\forall n\geq 1$ , 令

$\begin{displaymath} s_n=\sum_{i=1}^n f(i),\ t_n=\int_1^n f(x)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

則數列 $\{s_n\}$ 及 $\{t_n\}$ 同時收斂或發散。

例 4.對 $\forall p>0$ , 級數 $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^p$ 稱為一級數 ( series)。在例 2. 已證明 $p\geq 2$ 時, 此級數收斂。如何利用積分檢定法, 證明此級數收斂, 若且唯若。

例 5.試判別 $\sum_{k=1}^{\infty }k/e^k$ 之斂散性。

例 6.因

$\begin{displaymath} t_n=\int_2^n\frac 1{x(\log x)^p} dx=\left\{\begin{array}{lll... ...log n)-\log(\log 2) &\hspace{-0.2cm}, &p=1, \end{array}\right. \end{displaymath}$

故 $\{t_n\}$ 收斂若且唯若

, 因此

$\begin{displaymath} \sum_{n=2}^{\infty }\frac 1{n(\log n)^p} \end{displaymath}$

收斂若且唯若

。我們知道 $\sum 1/n$ 發散, 而只要

的次方比 1 大, 譬如說 $1+\varepsilon$ , 其中 $\varepsilon$ 可以是一任意小的固定正數, 則

$\begin{displaymath} \sum \frac 1{n^{1+\varepsilon }} \end{displaymath}$

收斂。上例指出, 事實上分母可``更小些". 此因雖

$\begin{displaymath} \sum_{n=2}^{\infty }\frac 1{n\log n} \end{displaymath}$

發散, 而

$\begin{displaymath} \sum_{n=2}^{\infty }\frac 1{n(\log n)^{1+\varepsilon }} \end{displaymath}$

收斂, 其中 $\varepsilon$ 可為一任意小之固定正數。而若令

$\begin{displaymath} a_n=\frac 1{n(\log n)^{1+\varepsilon }}, \ b_n=\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}, \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac {a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarr... ...)^{1+\varepsilon }}=\infty \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

對二正項級數 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ , 且 $\lim_{n\rightarrow \infty } a_n/b_n=\infty$ , 則由 $\sum b_n$ 收斂並無法確定 $\sum a_n$ 是否收斂。本例即指出, 雖級數 $\sum a_n$ 比 $\sum b_n$ “大很多”, 但 $\sum a_n$ 仍有可能收斂。這種例子其實很多, 如取

, 則 $\lim_{n\rightarrow \infty } a_n/b_n=\infty$ , 但 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 皆收斂。

關於正項級數尚有兩種常用的檢定收斂的方法。

(i)根式檢定法 (root test).

定理 5.設一正項級數 $\sum a_n$ 滿足

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty } a_n^{1/n}=R\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(i) 若

, 則級數收斂;

(ii) 若 , 則級數發散;

(iii) 若 , 則此法失效。

例 7.分別討論下述各級數

$\begin{displaymath} \mbox{(i) $\sum_{n=3}^{\infty }\frac 1{(\log n)^n}$, (ii) $\... ...}\right)^{n^2}$, (iii) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {n^2}{2^n}$} \end{displaymath}$

之斂散性。

(ii)比值檢定法 (ratio test)。

定理 6.設有一級數 $\sum a_n$ , 自第某項開始 , 且滿足

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\frac {a_{n+1}}{a_n}=L\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(i) 若 , 則級數收斂;

(ii) 若 , 則級數發散;

(iii) 若 , 則此法失效。

對一級數 $\sum a_n$ , 即使 $a_{n+1}/a_n<1$ , $\forall n\geq 1$ , 也不保證此級數收斂。因此時 $\lim_{n\rightarrow \infty } a_{n+1}/a_n$ 仍有可能為 1。例如, 若 , 則 $a_{n+1}/a_n=n/(n+1)<1$ , $\forall n\geq 1$ , 但 $\sum a_n$ 發散。不過若夠大時 $a_{n+1}>a_n>0$ , 則 $\sum a_n$ 必發散, 因此時不趨近至 0。

例 8.討論下述各級數的斂散性。

(i) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {n^n}{n!}$ ;

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {n^34^n}{n!}$ ;

(iii) $1+\frac 1 2\frac {19} 7$ $+\frac {2!}{3^2}(\frac {19} 7)^2$ $+\frac {3!}{4^3}(\frac {19} 7)^3$ $+\cdots$ .

例 9.討論下述各級數的斂散性, 其中為一常數。

(i) $\sum_{n=1}^{\infty}{(\log n)^k}/{2^n}$ ,

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty}{e^n}/{n^k}$ .

一級數之收斂或發散是確定的, 某一方法失效, 不表示此級數之斂散性不能決定。一般而言, 比值檢定法較根式檢定法好用。但是根式檢定法適用性較廣。更明確地說, 當由比值檢定法證出級數收斂時, 由根式檢定法亦可得到級數收斂; 而當根式檢定法失效時, 比值檢定法亦失效。底下便給一比值檢定法失效但根式檢定法成功的例子。

例 10.設有一級數

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty } 2^{(-1)^n-n}=\frac 1{2^2}+\frac 1{2^1}+... ...1{2^6} +\frac 1{2^5}+\cdots\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \frac {a_{2n}}{a_{2n-1}}=2,\ \frac {a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac 1 8, \end{displaymath}$

故 $\lim_{n\rightarrow \infty } a_{n+1}/a_n$ 不存在, 因此比值檢定法失效。

但

$\begin{displaymath} \sqrt [n]{a_n}=2^{((-1)^n-n)/n}\rightarrow 2^{-1}<1, \end{displaymath}$

故由根式檢定法知此級數收斂。

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 數列及級數。微積分講義第七章，國立高雄大學應用數學系。