微分之應用問題

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        至此我們可說已具備微分的基本工具。對所擬解決的一實際問題,我們就是要利用適當的已知結果,然後將該問題解出。

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例 1.用鋁片做容量之圓柱形罐,用什麼尺寸才可使材料最省。   

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例 2.(1)選取二非負數,使其和為 1,且平方和最大;

(2)選取二非負數,使其和為 1,且平方和最小。 

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例 3.平面上有一拋物線,在軸上有一定點。求拋物線與 最接近的點。 

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例 4.某校應用數學系欲租遊覽車一部旅行。公司出租費的算法是,每車基本費 5000 元,每有名乘客須多付元。另外,旅館費定價每人 1000 元,每超過 40 人, 每人可少付超出人數 6 倍之減價優待(例: 45 人時,每人房錢 1000-6(45-40)=970)。遊覽車最多只能坐 60 位旅客。問旅客多少時,每人平均負擔最少? 

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例 5.給定三角形之一邊長及面積,求其周長最小者。 

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例 6.設平面上有二點在一直線之同一側。在此直線上求一點,使此點至二點之距離和最小。 

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例 7.設有一圓錐的桶子,高為 4 公尺,底半徑為 5 公尺,以每小時 3立方公尺的速率注水入其中。令表在時間水之高度,求時,。 

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例 8.某人坐在岸邊釣魚,岸離水面 30 呎。當釣到魚時,收釣線的速度為每秒 2 呎。求線長為 50 呎時,魚沿水面之速度。 

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例 9.設一飛機之高度為 7 哩,水平等速飛行速度為每分鐘 10 哩。某人在地面點觀測飛機,求當飛機距此人水平距離為 24 哩時,觀測角度之變化。 

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        在很多應用問題中,常會遇到需解方程式之根的時候。底下我們提供一找根之近似解的方法,稱之為牛頓法。

        設為一可微函數,我們想找之根。先找一接近根的數,以表之,此可利用勘根定理來尋找。欲找一更接近根的值,作過之圖形上的點之切線,並交軸於。切線之方程式為

便求出截距,即

然後自出發,重複上述步驟,依序得 直至精確度為我們所滿意。不過,若起始值找得不好,依序得到的 可能離根很遠。

        又有下述關係,這是牛頓法的遞迴公式。

。(1)

在適當的條件下,時,會趨近至之一根 (並且收歛得很快)。我們先看下圖。

之一根,如圖,若在附近,之圖形為上凹,則宜取在 的右側,如此才會愈來愈接近。其他的情形也很容易由圖形判斷取在何處較佳。

        設在之一鄰域中,連續,且不為 0。因,泰勒展式為 (取)

其中介於間。將上式每一項各除以,得

由上式又得

,(2)

其中第一等式是由(1)式而來。

        的正負情況共有四種組合,我們只討論其中一種,其餘三種情況的討論類似。

        假設在前述,則由(2)式知。若亦成立,則因為漸增,,故由(1)式又得。 因此 為一單調且有界的數列,因此存在,以表此極限值。次在(1)式中兩側令,得

即得由牛頓法得到的數列 的確會趨近至的一個根。

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        其次看牛頓法求根的誤差。

        首先由均值定理得 (利用)

其中介於間。故若,其中為一常數,則

因當夠大時,很接近,因此很接近,故上式當夠大時,可用來作誤差之一很好的估計值。

        次由(2)式得

因此若,其中為二常數,則得

故若不大,由上式可看出趨近至的速度相當快。上式亦可做為誤差之估計。

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例 10. 之一近似根。  

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例 11. 。求 之近似值。

(1)用牛頓法做三次並估計誤差;

(2)若要誤差小於 ,問需以牛頓法做幾次?   

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例 12. 之根至小數第三位。   

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進一步閱讀資料:黃文璋(2002).  微分之應用問題。微積分講義第四章,國立高雄大學應用數學系。