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積分的定義

        設為一定義在閉區間上連續且非負的函數。在座標平面上，由之圖形，與二直線、，及軸所圍出之區域以表之。在求之面積前，我們必須先介紹一區間之分割的概念。設有個點

將分為個子區間

我們便以符號

表上述個子區間，並稱此為之一分割。若一分割之每一子區間皆等長，則稱此為一正規分割。

        現對區域，欲求其面積。令為之任一分割，因為連續，可在每一子區間，分別找到及，使得為之極小值，為之極大值。以表內接於之長方多邊形的面積，則

，

以表外接於之長方多邊形的面積，則

。

        因每一內接於之長方多邊形，必包含於每一外接於之長方多邊形，故對任二之分割，皆有

。

因此若令，分別表下述二集合：

， ，

則中每一數皆為之一下界，且中每一數皆為之一上界。由實數系統之最小上界公理，集合有最小上界（以 lub 表之），集合有最大下界（以 glb表之）。若令

， ，

則。若，的面積便可取為。

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例 1. 設，為在之圖形下由至與軸所圍之區域，又設，求及。   

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        次設為上之一有界函數。對之任一分割，令

其中，分別為在子區間之 glb 及 lub。則及分別稱為於分割在之下和及上和。又因對及，故

  。

為了方便，我們以希臘字母( 即之大寫 ) 來表示差距，即為， 。因此及可改寫為

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對上之一有界函數，仍令

，              (1)

。              (2)

由前定理知，中每一數皆為之一下界，而中每一數皆為之一上界。

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例 2. 設為一常數，，求在下積分及上積分。  

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例 3. 設，求在 [1,3] 之下積分及上積分。  

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例 4. 函數在區間 [2,5] 為有界且漸增，求下積分及上積分。  

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 積分的定義。微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。