變 數 代 換 a 在單變函數的積分中, 變數代換為一重要的積分技巧, 許多複雜的積分, 往往可藉助變數代換, 而轉成較簡單的形式因而積出。此法是基於下述公式:
在第 3.3 節, 於 為連續可微及 為連續的條件下, 我們證明上式成立。 對於兩個變數, 我們也有一類似 (5.1) 的公式, 也就是二重積分的變數代換公式, 此公式可將一在 - 平面上一區域 上的積分 , 轉為一在 - 平面上一區域 的二重積分 。底下我們便將給出 與 的關係及與 的關係。 二重積分的變數代換, 較一維的情況複雜許多。此因有二變數要代換, 亦即不若在 (5.1) 中只有一函數 出現, 現在會有二函數, 以 表之, 此二函數結合 與 如下:
上述二函數將 - 平面上一點 映至 - 平面上一點 。而 - 平面上一集合 便映至 - 平面上一集合 。 有時由 (5.2) 中之二式, 可解出 以 及 表之, 即得
上述二式定義出一由 - 平面至 - 平面的映射, 稱為 (5.2) 所定義之映射的反映射。11 映射為一特例, 即 中不同的點映至 中不同的點。 我們將只考慮 及 為連續函數, 且 , , , , 等偏導數皆為連續。對及 也做類似的假設。大部分我們實際遇到的函數, 皆會滿足這些條件。 二重積分的變數代換公式為
上式右側積分算子中的 , 與 1 維公式中的所扮演的角色相同。此項稱 Jacobian determinant (行列式), 或只稱 Jacobian, 它等於
有時以取代 。 (5.3) 式的證明可參考 Apostol (1974) Theorem 15.11。 除了前述關於 及 之假設外, 尚須設由 至 之映射為 11 且 。不過若只是在一面積為 0 的集合中, 此映射不為 11 或 Jacobian 為 0, 則 (5.3) 式仍成立。當 為一 矩形且 , , 則 (5.2) 式成為
即使對此特例, 證明也不容易。藉助 Green 定理, Apostol (1969) Section 11.29 給了 一 (5.4) 式之證明。然後在 Section 11.30, 由此特例導出 (5.3) 式。 Jacobian 可視為二維變數代換過程中, 由 - 平面至 - 平面, 一邊長分別 及 的矩形的面積變化因子。關於這方面的幾何解釋, 可參考 Apostol (1969) pp.394-396。 我們來看一些例子。
則此為在 - 平面上矩形 之任一子集上的 變換。此變換之 Jacobian 為
故轉換公式成為
- 平面上一矩形對應至 - 平面上一扇形, 如圖 5.1。當 時 Jacobian 為 0, 但因 之點的集合之面積為 0, 故不影響轉換公式的成立。
圖 5.1. 極座標之轉換 若積分區域的邊界是沿著 或 為常數, 則極座標的轉換便會很適合。例如, 在求第一卦限之半徑為 之球的體積, 即求
其中 。若變換為極座標, 積分成為
其中 為矩形
。上述積分可很容易地求出為 。
其中 為常數。則 Jacobian 為
為了使 Jacobian 不為 0, 我們假設 , 如此才能由 (5.5) 解出 及 。 原來平行的二直線, 經過線性變換, 仍為平行。故 - 平面上一矩形, 經此變換後, 成為 - 平面上一平行四邊形, 而面積為原來矩形的面積乘上 。變換公式為
舉一個例子來看, 考慮積分 , 其中 為由直線 及二座標軸所構成之三角形, 見圖 5.2。由於積分算子中有 及 , 所以令
解出 , , 。欲求在 - 平面上 之映象, 因直線 及 分別映至直線 及 , 且直線 映至 。故 為一三角形, , 。因此
圖 5.2. 線性變換之映射 a |
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