國立高雄大學統計學研究所
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主題:無罪推定的迷思
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2017/10/9 下午 04:03:19

做決策時,常需考慮合理性。K君有犯罪嫌疑,如何審判較合理?你可能聽過了,宜採無罪推定原則。這源自於保障人權、尊重現況的思維,適用範圍廣泛。我們簡單來說明。先假設K君無罪,然後檢視證據。若無不尋常事件發生,則認為原假設並無不合理,即接受K君無罪;若有不尋常事件發生,則認為原假設不合理,而接受K君有罪。若K君明明無罪,卻因不尋常事件發生,導致接受他有罪,這便犯錯了。犯錯機率自然不應太大,一般會先設定一可容忍的值,如0.050.01都是常採用的。但仍依情況而定,若涉及重罪,即使犯錯機率僅萬分之1,都不能說小。給定能容忍的犯錯機率後,再決定那些為不尋常事件,通常不會太難決定。

懷疑某銅板非公正,如何判定?先假設銅板公正,然後投擲20次。直觀上,出現的正面數如果在10附近,都屬尋常,可接受銅板為公正;若偏離10過遠,則屬不尋常,將接受銅板為不公正。怎樣才算偏離過遠?犯錯機率不妨設定為0.05。先由數值表查出,投擲一出現正面機率為0.5的銅板20次,所得正面數偏離10至少4,機率約為0.106;偏離10至少5,機率約為0.042。所以採偏離10至少5才算不尋常。即得到的正面數,只要是從614,便皆接受銅板為公正,否則判定為不公正。有人可能覺得14個正面相當偏頗,怎還認為銅板為公正?要知現況是被保護的,除非有較強的證據,否則不輕易推翻。如此一旦拒絕現況時,才較有說服力。而即使如此謹慎,當銅板實際上為公正,仍有約0.042的機率,會被誤判為不公正。所以接受銅板不公正,只是在所得數據下,一較合理的選擇,絕不表“證明”銅板不公正。

統計學裡,便依無罪推定原則,設計出一套假設檢定的程序,以決定一我們懷疑,或者說傾向拒絕的現況,是否可以拒絕,而接受傾向相信的情況。諸如新藥是否比舊藥有效,及喝咖啡是否能降低死亡率等,都可經由執行一假設檢定來判定。在這兩個例子裡,合理的現況,可分別取成新藥不比舊藥有效,及喝咖啡不能降低死亡率。只是在執行一假設檢定時,勿過度自信,以為基於無罪推定,已對現況充分保護了,誤判的可能性很低。若未具備一些基本的邏輯,有時犯錯的機率,將非以為的諸如0.050.01那麼小。

M君只買1張彩券便中頭獎。那是496的樂透彩,中頭獎要6碼全吻合,不計順序,故每張彩券中頭獎的機率為1/C(49,6) =1/13,983,816。不相信僅憑運氣就能中頭獎的N君,經由假設檢定,認定M君作弊,且說誤判機率不會超過千萬分之1M君當然不服氣,覺得亂用假設檢定。但那位崇尚統計的N君也不服氣,說錯在何處?

若依N君的論點,則每位中頭獎者,都將被判定是作弊了。事實上,彩券一旦銷售量夠大,則“有人”中頭獎便不足為奇,M君不過剛好是位幸運者。M君沒作弊,卻被誤判作弊的機率的確很小,將近14百萬分之1,而這正是M君中頭獎的機率,本來就很小。另一方面,依N君的邏輯,在無人作弊下,他會誤指某人作弊的機率卻是1,而非他以為的微乎其微之機率。那假設檢定對判定樂透彩中獎是否有作弊難道完全無用?並不盡然。若M君中頭獎後,此“特定的人”下一期再度只買1張且又中頭獎,這時被強烈懷疑作弊就很合理了。只是聽過“檢察官的謬誤”(prosecutors fallacy)嗎?仍須有其他佐證,不能因此就以為“證明”了M君作弊。要知在M君沒作弊下中頭獎的機率,與在M君中頭獎下沒作弊的機率,是兩個不同的條件機率。當前者很小,不表後者也必很小。而後者才是從M君角度,該關切的機率。

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