10 隨機性

我們常提到“隨機”，如隨機現象及隨機變數等。其中的隨機一詞，定義是很寬鬆的。簡言之，只要不是一成不變即可。假設一銅板有正及反兩個面，往上一拋，觀測落地後朝上的為正面或反面，此便是一隨機現象，因事先不確定那一面會朝上。若銅板兩個面皆為正，則投擲後，朝上的必然是正面，沒有其他可能，所以這並非隨機現象。但亦有人稱此為一退化的隨機現象。即只要視一成不變為退化，則所有的現象，便無不為隨機現象。在隨機現象裡，用來投擲的銅板或骰子等，都不一定要公正，但仍要符合該有之規定，如各面出現的機率和為1。

不過對於統計檢定或民調裡，所提到之隨機取樣，其中的隨機，往往有特別的涵義。底下為幾種常見的情況。第一種是隨機樣本。例如，為檢定某廠牌電池的壽命，首先便是隨機取n個來測試，因而得到X₁，…，X_n，其中X_i表第i個受測電池的壽命，i=1，…，n。一般會假設電池品質一致，且各電池的測試互不干擾，亦即設X₁，…，X_n，有相同的分佈，且相互獨立。則X₁，…，X_n，便稱為一組隨機樣本。第二種情況是簡單隨機抽樣(simple random sampling)，乃針對有限的母體。欲取一組樣本數為n(n當然要小於母體數)之樣本，若母體中任一組可能的樣本，皆有相同的機率被抽到，便稱此抽樣步驟為簡單隨機抽樣，而獲得的樣本，則稱為簡單隨機樣本(simple random sample)。須注意的是，是要求每一組樣本數為n之樣本，皆有相同的機率被抽到，而不僅是每一個樣本，皆有相同的機率被抽中，前者的條件較強。即若母體數為m，m>n，則總共的C(m,n)組可能之樣本，每一組被取中的機率，皆須為1/C(m,n)，如此所得才是隨機樣本。如果自母體中，每次依序隨機取一樣本，取出後皆不放回，即第1次，母體中每一樣本被取中的機率為1/m，第2次每一樣本被取中的機率為1/(m-1)，以此類推，則n次後，所得便是一組樣本數為n之簡單隨機樣本。這是一較易執行之實際取樣方式。

如何檢定一銅板是否公正？當然就是先隨機投擲。此處的隨機，就是指將獲得一組隨機樣本。更明確地說，投擲同一銅板(其涵義為各次得到之結果，有相同的分佈)n次，各次投擲假設互不干擾(其涵義為相互獨立)。有趣的是，在隨機投擲下，其中又會含有不少隨機性。例如，假設隨機投擲一銅板(並不須是公正)4次，得到2個正面。此2正面會出現在那裡？C(4,2)=6，從4次中取2次來放正面，6種可能的位置，出現之機率會相同，即皆為1/6。一般若一銅板隨機投擲n次後，得到k個正面，此k個正面如何散佈？將有如母體數為n，從中採簡單隨機抽樣，以得一組k個樣本。即總共的C(n,k)組可能之樣本，每一組被取中的機率，皆為1/C(n,k)。

A君想讓B君相信他手上的銅板為公正。隨機投擲20次，假設出現10個正面，顯然可通過銅板是公正之檢定。只是B君注意到，前10次投擲出現7個正面，後10次投擲卻僅出現3個正面。這麼偏頗？銅板真的公正嗎？B君懷疑。A君不計較，重新投擲銅板20次，這回剛好出現1正1反，…，1正1反。仍出現10個正面，且前後10次各5個，這樣總沒話講了吧！A君心想。不料細心的B君再度指出，10個正面，皆出現在奇數次投擲，偶數次投擲，則1個正面也無。B君的一再質疑，反使A君想通了。他對B君說，10個正面，就是會出現在某10次投擲，你豈非永遠可質疑，為何僅這10次出現正面？B君總算不說了。

事實上，10個正面集中在前10次，或奇數次投擲，這些是較明顯的，很難不被注意到。有如49取6的樂透彩，若頭獎號碼開出1，2，3，4，5，6，可能會很轟動，傳誦多年。但其實這組號碼，與任何一組，如看起來很普通的9，14，23，29，35，46，及4，10，21，23，38，46都一樣，出現的機率，皆為1/C(49,6)=1/13,983,816，只是1，2，3，4，5，6這組，較引人注目而已。

投擲銅板20次，在出現10個正面下，10個正面皆出現在奇數次(或前10次)投擲，其機率為1/C(20,10)=1/184,756，的確相當小。所以若出現此狀況，有人感到懷疑，並非完全不合理。大膽懷疑無妨，惟須小心求證。要知投擲銅板，若出現的正面數過於偏頗，會讓人認為銅板非公正；但若出現過於巧合的結果，也是會讓人懷疑有作假。現考慮投擲次數較一般的情況。假設投擲一銅板2n次，且出現n個正面。這本來還好，但仔細一看，n個正面，都發生在奇數次投擲，其機率為1/C(2n,n)。當n=1，2，3，此機率分別為1/2，1/6，1/20，愈來愈小，且隨著當n之增大，將漸減至0。換句話說，n不大時還好，n愈大恐會愈起疑。1正1反交錯，看起來很“公平”，卻不但不會讓人相信銅板確實公正，反而會懷疑是否真做到隨機投擲？底下來看一些例子。仍先看公正銅板。

隨機投擲一公正銅板20次，給定出現10個正面。令

M_i=P(前、後10次投擲中，各出現i及(10-i)個正面)，i=0，1，…，10。

則

M_i=C(10,i)C(10,10-i)/C(20,10)=C(10,i)²/C(20,10)，i=0，1，…，10。

由於M_i=M_10-i，因此只需給出M₅，…，M₁₀，即可。之前已給

C(20,10)=184,756，

再求出

C(10,5)=252，C(10,6)=210，C(10,7)=120，

C(10,8)=45，C(10,9)=10，C(10,10)=1。

即得

M₅=252²/184,756=63,504/184,756≈0.344，

M₆=210²/184,756=44,100/184,756≈0.239，

M₇=120²/184,756=14,400/184,756≈0.078，

M₈=45²/184,756=2,025/184,756≈0.0110，

M₉=10²/184,756=100/184,756≈0.000542，

M₁₀=1/184,756≈0.00000542。

由上述M_i，可看出前、後10次投擲中，各出現5個正面，看起來是很均衡，但發生機率約為0.344，只比1/3稍大些。出現不均衡的可能性反而大多了，約0.656，接近2/3。而前、後10次投擲中，有1出現6個正面，有1出現4個正面，發生機率約為2M₆≈0.478。原來有點偏差，才是最可能的。但並不致於過度偏差。如10個正面，都集中在前、後的某10次投擲中，這麼極端的情況，其發生機率僅約2M₁₀≈0.0000108，根本很少會出現。

我們再令

N_i=P(前、後10次投擲中，有一出現至少i個正面)，i=0，1，…，10。

則N₀=N₁=…=N₅=1，這是當然的。又

N_i=2×(M_i²+…+M₁₀²)/C(20,10)，i=6，…，10。

故

N₆=121,252/184,756≈0.656，

N₇=33,052/184,756≈0.179，

N₈=4,252/184,756≈0.0230，

N₉=202/184,576≈0.00109，

N₁₀=2/184,576≈0.00001。

投擲銅板20次，總共出現10個正面，銅板的公正性，看起來並沒問題。但在給定出現10個正面下，若前、後10次投擲中，有一出現過多(如8、9或10個)的正面，是可懷疑投擲過程，並非如所宣稱的隨機。至於若要釐清，就去執行一假設檢定，以進一步確認。

在上例中，N₇不算小，有0.179，N₈雖較小，卻也仍有0.0230。顯示投擲一公正銅板20次，在給定出現10個正面下，前、後10次投擲中，出現的正面數為7及3，3及7，8及2，或2及8，偏離期望值5雖遠些，但發生的可能性都尚不算很小，主要是投擲數20不是很大。假設投擲次數40，且依然出現半數20個正面。則可求出對應的

N₁₅=2×(C(20,15)²+C(20,16)²+C(20,17)²+C(20,18)²+C(20,19)²+C(20,20)²)/C(40,20)≈0.00192。

此時前、後20次投擲中，有一出現至少15(75%)個正面之機率，便大幅下降。

最後，來看一非公正銅板之例。假設投擲一出現正面機率為0.88125之銅板56次，得到50個正面。由於期望所得之正面數為49.35，所以對所宣稱出現正面機率為0.88125，並沒什麼好挑剔的。令M_i及N_i的定義如上，但此處將56次投擲，分成前28次，及後28次兩部分。則

M₂₅=C(28,25)²/C(56,50)=10,732,176/32,468,436≈0.331，

M₂₆=C(28,26)C(28,24)/C(56,50)=7,739,550/32,468,436≈0.238，

M₂₇=C(28,27)C(28,23)/C(56,50)=2,751,840/32,468,436≈0.0848，

M₂₈=C(28,28)C(28,22)/C(56,50)=376,740/32,468,436≈0.0116。

由此得N₂₅=1，且

N₂₆=21,736,260/32,468,436/32,468,436≈0.669，

N₂₇=6,257,160/32,468,436≈0.193，

N₂₈=753,480/32,468,436≈0.0232。

跟之前投擲銅板20次出現10個正面之例比較，如今前、後28次投擲中，各出現25個正面，此最均衡的狀況，發生之機率M₂₅最大，約為0.331；至於愈偏差的機率則愈小。又前、後28次投擲中，除非有一全出現正面(即有28個)，此機率約為0.0232，否則都不算太偏頗。