6 極限

如同故事結局引人關注，對一進行中的事，人們屢會好奇，一直下去最後會怎樣？這其實就是想知道極限為何，極限是數學中一重要的概念。大學裡很多學系的必修課中，均列有微積分。因這是進入不少領域的敲門磚，而微積分的基礎便是極限。由於高中的選修數學裡，已有微積分的題材，所以極限對一般高中畢業生，並不陌生。

極限是什麼？簡單講，有一數列a_n，n≥1，考慮n趨近至無限大(以n→∞表之)時，a_n會趨近至何值？或有一函數f(t)，t≥0，考慮t→∞時，f(t)會趨近至何值？這是微積分裡，兩個求極限之基本形式。至於怎樣是趨近？那可非三言兩語能解釋得清楚。有些人還誤以為趨近乃接近之意。像曾在一則新聞裡出現“至於籃球，相較起來，兩隊總得分出現單或雙的機率，就比較趨近於相等”一句。其中的“趨近於相等”便非正確敘述，宜以“接近”取代。又極限當然也可能不存在，極限不存在的討論，常會讓學生搞得糊裡糊塗。換句話說，要真正弄懂極限，並不十分容易。即使在大學裡，修過微積分的人，對極限多半也只是懞懞懂懂，不敢多談。雖然如此，機率與統計裡，兩個基於極限的隨機法則，即中央極限定理與大數法則，不少人卻能朗朗上口，隨時引用，一無所懼。

2014年11月底九合一選舉投票前，有位臺北市長候選人，拋出以遴選委員會，來挑選首長的主張。他解釋：

在統計學上，N＞25，就會接近大數法則，也就是中央極限理論，不太容易出現偏頗的情況。雖然他準備設置的遴選委員會成員不到25人，但以過去經驗來看，“只要15個人就會蠻準確的”。

N是什麼沒說，且N＞25時，何者會接近大數法則也沒說。只是大數法則，顧名思義是個法則(law)，引用無妨，至於說“接近它”，就不知意義為何？另外，大數法則與中央極限定理(通常稱“定理”而不稱“理論”)內涵完全不同，所以沒有“大數法則也就是中央極限定理”這種講法。而大數法則居然能用來遴選市政府首長，還認為蠻準確，更是聞所未聞。

這位候選人究竟在說些什麼，一般人可能並不太清楚。但看他一付言之鑿鑿，即使對其講法心存懷疑者，恐怕大多數寧可不開口了，以免自曝其短。畢竟知之為知，不知為不知，是知也。

先來看大數法則，這可能是較容易理解的。氣象局每日公佈對各地降雨機率之預測。只是就算預告的降雨機率高達90%，一天結束，也不見得果真下雨。氣象局的預測準確嗎？令人好奇。你知道不能僅由幾天的準不準，便驟下結論。就像對一銅板，若只投擲幾次，並無法判定銅板是否公正。我國中央氣象局，在其網站上，對“降雨機率60%”的說明為，每預測100次，實際降雨有58.6次。每100次，怎會有不是整數的58.6次？這應是指“平均”而言，也就是若過去預測“降雨機率60%”的有n次，其中k次真的下雨，則k/n約為0.586。由於氣象局已長期進行預測，這裡的n當然不會小。氣象局所提供對機率的解釋，乃符合常見頻率的觀點。

一隨機試驗若有兩個結果，即稱為伯努力試驗(Bernoulli trial)。這種試驗，雖簡單卻處處出現。如投擲一銅板，會出現正面或反面；投擲一骰子，會出現偶數或奇數等。一般而言，若對一隨機試驗的某事件A有興趣，則觀測後，可能事件A發生，也可能事件A沒發生，如此便是兩個結果了。對於二結果，人們習於其一以成功稱之，其二以失敗稱之。成功常只是表有興趣的那一結果，並不見得真的做什麼事成功。

假設有一可重覆觀測的伯努力試驗，每次成功的機率以p表之。則每次試驗後，便產生一有伯努力分佈之隨機變數，即取值0或1，其中1表成功，0表失敗，且得到1的機率為p，得到0的機率為1-p。觀測n次後，以S_n表總共成功的次數，則S_n有二項分佈B(n,p)。而S_n/n表觀測n次後，平均每次觀測成功的次數。S_n/n即為n次試驗後，所得n個伯努力隨機變數之樣本平均。不論專業或非專業人士，皆知可以S_n/n來估計p。統計學裡，則告訴我們，此一p之估計量，有很多好的性質。

當觀測次數n不太大時，S_n/n取值還可能上下有不小的波動，但當n很大時，S_n/n便“大致”會很接近p。即若在座標平面上，繪y=S_n/n，n≥1，之圖形，則隨著n之愈來愈大後，其圖形將“大致”貼近水平線y=p。這便是一般人以為的大數法則，即使沒正式學過，直觀上也覺得會成立。之前所提以頻率的觀點來解釋機率，其背後的理論基礎，便是大數法則。對大數法則，有時會將其詮釋成，一件事最終會呈現該有的風貌。所指的就是上述觀測次數夠多後，樣本平均將“差不多”等於事件發生機率的意義。所以，想估計銅板出現正面的機率p，人們向來知道，就是持續投擲，只要投擲數夠多，則以總共出現的正面數除以投擲數，便是p之一不錯的估計值。

要注意的是，前述討論其實隱含做了一假設。即各次投擲相互獨立，且每次出現正面的機率相同。也就是假設各樣本為相互獨立且有相同分佈。因此不會有這次出現正面，下次便較易出現正面；或投擲若干次後，出現正面的機率改變等情況。實務上，如果以隨機取樣，來估計池中某種魚之比例，或市民對某議題之支持率，由於魚與人皆有“個性”等因素，此假設並非毫無疑義地成立。但對於投擲銅板，此假設通常可接受。只是不論n再大，S_n/n不但不見得會等於p，甚至也不保證就很接近p。以投擲一公正銅板100次為例，是有可能全出現正面，雖發生的機率(1/2)¹⁰⁰相當小。此時，n=100，S₁₀₀=100，因而S₁₀₀/100=1，可一點都不接近p=1/2。

我們已指出，對n=1，2，…，隨機數列S_n/n，隨著n之增大，並不必然很接近p。但這豈非違反大數法則？倒也沒有。那大數法則是在講些什麼？以白話來說，乃表只要n夠大，S_n/n任意接近p的機率，便可任意接近1。而怎樣算是任意接近？即差距可以小於任給的一個上限，所給的上限當然須是正的。以數學來表示，對任給的二正數a，b，其中考慮b<1即可，則只要n夠大，便能使|P(|S_n/n-p|≤a)-1|<b。又因機率不會大於1，前述不等式等價於P(|S_n/n-p|≤a)>1-b。所以，只要n夠大，S_n/n雖不一定很接近p，但會很接近p的機率，便將很大，要多大皆可。我們之前提到的“大致”，便是這個意思。而由於是在談機率，當n很大後，S_n/n不接近p的機率既然很小，要多小皆可，那就夠了，不必在意S_n/n不接近p的情況。

大數法則告訴我們，對任一給的正數a，只要n夠大，則S_n/n與p之差距不超過a的機率，將差不多是1。討論隨機現象，機率是1或0的事件，表必然發生或必然不發生，這樣的事件，通常不會讓人太感興趣。由於機率差不多是1，顯示若想知道S_n/n究竟如何散佈在p附近，不論a如何小，當n持續增大後，S_n/n與p之差距不超過a，便遲早是一“太大”的範圍(表S_n/n落在此範圍內之機率差不多是1)。因此欲較“有意義的”描述S_n/n散佈在p附近的情況，所給的S_n/n落在p附近之範圍，須更小才行。固定的範圍，已知不適用了。最後求出，適當的範圍，其尺度單位為1/n^1/2，乃一隨著n之無止盡地增大，而漸減至0之尺度。如此一來，便有辨法來近似S_n/n落在p附近一範圍內之機率。更明確地說，對α<β，n很大時，

P(S_n/n∈[p+αp(1-p)/n^1/2，p+βp(1-p)/n^1/2])，

即(S_n/n - p)/(p(1-p)/n^1/2)落在區間[α,β]的機率，即

(1) P(α≤(S_n/n-p)/(p(1-p)/n^1/2)≤β)= P(α≤(S_n-np))/(np(1-p))^1/2≤β)，

上式左側是關於樣本平均S_n/n，右側則是關於樣本和S_n，可以函數

(2) ϕ(x) = exp(-x²/2) / (2π)^1/2，x∈R，

由α至β的積分來近似。此結果，便是著名的二項分佈之常態近似，也是很原始版本的中央極限定理。

(2)式為標準常態分佈(以N(0,1)表之)之機率密度函數，其中包含數學中幾個重要的常數、函數及運算。以常數來說，有最小的正整數1、最小的偶數2、圓周率π、自然對數函數的底e。由於S_n的期望值為np，標準差為(np(1-p))^1/2，減去期望值後，再除以標準差，便是將S_n標準化。中央極限定理即指出，樣本和S_n經標準化後，當n很大時，其分佈可以標準常態分佈來近似。函數y=ϕ(x)，x∈R，其圖形有如鐘形，對稱於y軸，最高點發生在x=0，自y軸向兩側漸減至0。

機率裡分佈的產生，有一些不同的途徑，經由極限為主要的一種。常態分佈便是極限下，所產生的一重要無比之分佈。

大數法則說，n很大時，S_n/n“大致”在p附近。但“大致”一詞乃口語，若想知道如何大致法，則大數法則就束手無策了，得換由中央極限定理來發揮功能。中央極限定理能給出，S_n/n落在p附近一範圍內之機率的近似值。而若不欲機率值“太大”，範圍便得隨著n之增大，而愈來愈小。中央極限定理，相當於用倍數以n^1/2的速率成長之顯微鏡，來觀看S_n/n散佈在p附近之情況。若要讓散佈情況看起來更優美些，便將倍數調整為n^1/2/(p(1-p))。

投擲一公正的銅板100次，以X表正面出現的次數。大數法則指出，X/100“大致”是0.5。即有很大的機率，X/100會很接近0.5。那是否表X“大致”是50？如果答案為肯定，由於X取整數值，因此X便有很大的機率為50了。利用排列組合，會出現50個正面的機率為

P(X=50)=C(100,50)(1/2)¹⁰⁰=100!/(50!)²×(1/2)¹⁰⁰。

只是100!是一很大的數，上述機率值要正確算出不易。藉由近似公式，可得

P(X=50)≈0.0796，

為一不算很大的機率。所以大數法則，並未使投擲一公正的銅板100次後，出現的正面數“大致”為50。X/100“大致”是0.5沒錯，但小差距放大100倍，可不見得仍是小差距了。X的散佈範圍變大了。事實上，投擲一公正的銅板2n次，當n愈大，將愈不容易出現恰好n個正面。

X之期望值為50，且標準差為5。底下藉求X落在期望值50附近一範圍內的機率，來看中央極限定理之一應用。先求P(45≤X≤55)，即X與期望值50相距不超過1個標準差之機率。利用(1)及(2)式，及N(0,1)介於正負1間之機率，約為0.6826，即得

P(45≤X≤55)≈0.6826。

或者就簡單的說機率約為0.68。至於X與期望值50相距不超過2個標準差之機率，仍由中央極限定理，得

P(40≤X≤60)≈0.9544。

或者就簡單的說機率約為0.95。

有幾點要說明。首先，當n很大時，分佈可以N(0,1)來近似的，既不是S_n，也不是S_n/n，而是標準化後的S_n。包括若干高中數學課本的作者，很多人誤解這點。還宣稱隨著n之增大，S_n及S_n/n的機率密度函數之圖形，都會愈來愈像N(0,1)那一鐘形的機率密度函數圖形。其實很容易可看出這並不正確。S_n不會取負值，且隨著n之持續漸增，S_n取值很大的機率，將愈來愈接近1；至於S_n/n取值乃介於0與1之間。因此就算n再怎麼大，不論S_n或S_n/n，其機率密度函數的圖形，一點都不會近似定義在整個x軸，函數y=ϕ(x)，x∈R，那一對稱於y軸的圖形。這方面的詳細討論，可參考黃文璋(2011a)一文。

自問世以來，歷經不同學者的推廣，大數法則及中央極限定理，條件均早已放寬不少，因此適用性更廣。也讓諸如人的身高、體重、智商，及量測的誤差等，常可以常態分佈來當模式。常態分佈遂處處可見，於眾多分佈裡，享有獨尊的地位。在常見的版本裡，不限伯努力分佈，對一數列相互獨立且有共同分佈的隨機變數，當共同分佈的期望值存在，大數法則便適用；當期望值及變異數皆存在，則中央極限定理便適用。雖相互獨立與分佈相同，皆可以較鬆的條件取代，但就是須有些條件。並非只要有很多隨機變數，大數法則或中央極限定理，便能派上用場，這點須特別留意。

回到本節一開始所引那位臺北市長候選人的談話。大數法則或中央極限定理，雖為極限下的結果，但實務上，遇到的樣本數自然都是有限。有些教科書指出，“通常”樣本數n並不必太大，如n至少達到30，或者更小些，n至少有25，則關於樣本平均，及樣本和之機率，就都可利用中央極限定理來求近似值。這可能是那位候選人說“在統計學上，N＞25就會接近大數法則，也就是中央極限定理”，其中“N＞25”的由來。但此不求甚解的候選人，不但將大數法則與中央極限定理混為一談，甚至並不了解大數法則的內涵。只要樣本數夠大，就不太會出現偏頗嗎？不妨以電影獎項之評審為例。

世界各地年度的大小電影獎項，超過100個應毫無疑義。即使在台灣，也設有金馬獎，及台北電影獎等兩個。其中奧斯卡金像獎(The Academy Awards，或簡單稱為Oscars)，不僅是美國，甚至可說是全世界最受矚目的電影獎。每年頒發包含最佳影片、最佳導演、最佳男主角、最佳女主角、最佳男配角，及最佳女配角等，共二十餘個獎項。各獎如何產生？美國影藝學院(The Academy of Motion Picture Arts and Sciences) 的會員總數超過6千人。各獎入圍名單，由相關分會的成員投票決定。如演員會員(有1千3百多位)可對最佳男、女主角，及最佳男、女配角獎，有關演技的4個獎項投票。待全部獎項的入圍名單確定後，每一會員，皆可對任一獎項投票。投票人數這麼多，又都是專業人士，應不會有爭議吧!

聽過“奧斯卡好白”(Oscars So White)嗎？2016年1月，奧斯卡金像獎入圍名單公佈後，掀起的“種族歧視”質疑聲浪，幾乎淹沒了提名的喜悅。因連續兩年，有關演員的那4個獎項，20位入圍者(4獎每年均各有5人入圍)，清一色都是白人。此外，幾個重要的獎項，如最佳影片，及最佳導演等，也幾乎是白人的天下。每一獎項，參與入圍名單投票的人數，均遠遠超過25，甚至上千，但因此就不會出現偏頗的情況嗎？由影藝界的反應來看，顯然覺得相當偏頗。

一般在做民調時，會在意誤差的大小。直觀上，欲誤差小，樣本數便不能少。為使誤差不超過3%的機率，大於0.95，藉助中央極限定理，同時也採用一些其他的近似(見黃文璋(2011b))，一開始設定的成功樣本數為1,068。1千個左右宣稱是隨機所產生的樣本，由於有拒訪等人為因素，都還常被批評取樣的代表性不足，因此做出的調查偏差太大，未能準確反映真相等。為特定目的而成立的遴選委員會，了不起數十個委員，怎敢說一定客觀？其委員幾乎不可能隨機產生，大抵是被指派。因此從委員會成立之始，便難以避免主觀了。而不同委員的立場迥異，更不會是“有共同分佈＂；委員不乏具同質性或相異立場，也難以獨立。因此不論大數法則或中央極限定理，在此皆不適用。怎會異想天開，拿中央極限定理，來為遴選的公正性背書？

2014年11月落幕的第51屆金馬獎，得獎名單由總共17位委員共同討論決定。但未獲最佳女主角獎的著名演員鞏俐，事後透過經紀人表示，金馬獎不專業、不公正，今後不會再參加了。由此可看出，像遴選這類評比，有相當程度的主觀成分，爭議難免，並無所謂“只要15個人就會蠻準確的＂這種推論。

大數法則及中央極限定理，乃機率中二極重要的隨機法則，用途廣泛，但卻也沒那麼無所不包，連選才都用的上。正確運用為上，不必過度推崇，也不可意圖用來唬人。

參考文獻

1. 黃文璋(2011a)。關於中央極限定理之圖示。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)。

2. 黃文璋(2011b)。庶民中央極限定理。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)。